حل تمرین صفحه20 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۲۰ ریاضی دهم سلام! این تمرین یک نمونه‌ی خوب برای درک روابط متغیر بین دو دنباله‌ی مختلف (کاشی‌های تیره و سفید) در یک الگوی هندسی است. ### ۱. تحلیل الگو | $\text{a}$ : شماره‌ی شکل | $\mathbf{۱}$ | $\mathbf{۲}$ | $\mathbf{۳}$ | $\mathbf{۴}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **کاشی تیره (T)** | ۶ | ۸ | ۱۰ | **۱۲** | | **کاشی سفید (W)** | ۱ | ۲ | ۳ | **۴** | **رابطه‌ی کاشی تیره:** هر مرحله ۲ کاشی تیره اضافه می‌شود (دنباله‌ی حسابی با $d=۲$). **رابطه‌ی کاشی سفید:** هر مرحله ۱ کاشی سفید اضافه می‌شود (دنباله‌ی حسابی با $d=۱$). --- ### الف) رسم شکل بعدی (شکل ۴) * **تعداد ردیف‌ها:** ۳ (ثابت است) * **تعداد ستون‌ها:** در شکل $n$، تعداد ستون‌ها برابر با $n+۲$ است. پس شکل ۴ دارای $۳$ ردیف و $۴+۲=۶$ ستون خواهد بود (کل کاشی‌ها: ۱۸) * **کاشی سفید:** $\mathbf{۴}$ (در ردیف وسط، از کاشی دوم تا پنجم) * **کاشی تیره:** $۱۸ - ۴ = \mathbf{۱۴}$ **پاسخ الف (اصلاح شده بر اساس دنباله‌ی کاشی تیره):** بر اساس الگوی داده شده $۶, ۸, ۱۰, \dots$ که هر مرحله ۲ واحد اضافه می‌شود، شکل ۴ باید **۱۲** کاشی تیره داشته باشد و **۴** کاشی سفید. (تعداد ستون‌ها: ۵ و ردیف‌ها ۳ است: $۳ \times ۵ = ۱۵$ کل. $۱۵ - ۳ = ۱۲$ تیره و ۳ سفید است. در شکل کتاب، اشتباهاتی در شمارش رخ داده است، اما ما از الگوی ارائه شده در متن استفاده می‌کنیم.) * $\text{n}_{\text{تیره}}$: $۶, ۸, ۱۰, \mathbf{۱۲}$ * $\text{n}_{\text{سفید}}$: $۱, ۲, ۳, \mathbf{۴}$ --- ### ب) دنباله‌ی کاشی‌های تیره تا جمله‌ی هفتم این یک دنباله‌ی حسابی با جمله‌ی اول $\text{t}_{\text{۱}} = ۶$ و قدر نسبت $\text{d} = ۲$ است. $$\mathbf{\{۶, ۸, ۱۰, ۱۲, ۱۴, ۱۶, ۱۸\}}$$ --- ### پ) $\text{t}_{\text{n}}$ (کاشی تیره) بر حسب $\text{n}$ (کاشی سفید) * **رابطه‌ی $\text{n}$ (تعداد کاشی سفید) بر حسب شماره‌ی شکل ($athbf{k}$):** $\text{n} = \mathbf{k}$ * یعنی اگر $\mathbf{k}$ شماره‌ی شکل باشد، تعداد کاشی سفید $\mathbf{W}_{\mathbf{k}} = \mathbf{k}$ است. * **رابطه‌ی $\text{t}_{\text{n}}$ (تعداد کاشی تیره) بر حسب شماره‌ی شکل ($athbf{k}$):** (دنباله‌ی حسابی) $$\text{T}_{\text{k}} = \text{t}_{\text{۱}} + (\text{k}-۱)\text{d} = ۶ + (\text{k}-۱)۲ = ۶ + ۲\text{k} - ۲ = ۲\text{k} + ۴$$ * **نوشتن $\text{t}_{\text{n}}$ بر حسب $\text{n}$:** چون $\text{k} = \text{n}$ است، به جای $\text{k}$ در فرمول بالا، $\text{n}$ را قرار می‌دهیم. $$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = ۲\text{n} + ۴}$$ --- ### ت) برای ۱۰۰ کاشی سفید، چند کاشی تیره لازم است؟ * **مقدار $\text{n}$ (کاشی سفید):** $\text{n} = ۱۰۰$ * **مقدار $\text{t}_{\text{۱۰۰}}$ (کاشی تیره):** $$\text{t}_{\text{۱۰۰}} = ۲(۱۰۰) + ۴$$ $$\text{t}_{\text{۱۰۰}} = ۲۰۰ + ۴ = \mathbf{۲۰۴}$$ **پاسخ:** ۲۰۴ کاشی تیره لازم است. --- ### ث) آیا شکلی با ۵۰ کاشی تیره وجود دارد؟ اگر هست، تعداد سفید آن چندتاست؟ * **مقدار $\text{t}_{\text{n}}$ (کاشی تیره):** $\text{t}_{\text{n}} = ۵۰$ * **یافتن شماره‌ی شکل ($athbf{n}$):** $$۵۰ = ۲\text{n} + ۴$$ $$۵۰ - ۴ = ۲\text{n}$$ $$۴۶ = ۲\text{n}$$ $$\text{n} = \frac{۴۶}{۲} = ۲۳$$ * **بررسی وجود:** چون $\mathbf{\text{n} = ۲۳}$ یک عدد طبیعی است، بله، چنین شکلی **وجود دارد**. * **تعداد کاشی سفید:** $\text{n}$ تعداد کاشی‌های سفید است. **پاسخ:** بله، شکل شماره ۲۳ شامل ۵۰ کاشی تیره است و تعداد کاشی‌های سفید آن **۲۳** تا است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۲۰ ریاضی دهم این الگو به دلیل شکل لوزی‌مانند آن، به **اعداد لوزی (Rhombic Numbers)** یا گاهی به دنباله‌ی $\mathbf{۲\text{n}^{۲}-۲\text{n}+۱}$ (بسته به تعریف) نزدیک است. بیایید با تحلیل افزایش جملات، الگو را پیدا کنیم. ### ۱. تحلیل الگو | $\text{n}$ : شماره‌ی شکل | $athbf{۱}$ | $athbf{۲}$ | $athbf{۳}$ | $athbf{۴}$ | $athbf{۵}$ | $athbf{۶}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **تعداد نقطه‌ها ($\text{a}_{\text{n}}$)** | ۱ | ۶ | ۱۵ | ۲۸ | **۴۵** | **۶۶** | * $\mathbf{\text{n}=۱}$: ۱ نقطه * $\mathbf{\text{n}=۲}$: $۱ + ۵ = ۶$ نقطه * $\mathbf{\text{n}=۳}$: $۶ + ۹ = ۱۵$ نقطه * $\mathbf{\text{n}=۴}$: $۱۵ + ۱۳ = ۲۸$ نقطه * **اختلاف سطح اول:** $\{۵, ۹, ۱۳, \dots\}$ (ثابت نیست) * **اختلاف سطح دوم:** $۹ - ۵ = ۴$, $۱۳ - ۹ = ۴$ (ثابت است: $\mathbf{۴}$) --- ### الف) دنباله تا جمله‌ی ششم و رسم شکل بعدی * **رسم شکل ۵:** چون اختلاف سطح اول ۴ تا افزایش می‌یابد، جمله بعدی $۲۸ + ۱۷ = ۴۵$ است (اختلاف بعدی $۱۳+۴=۱۷$). این الگو یک ردیف مرکزی با $\text{n}^{۲}$ نقطه و دو 'بال' در بالا و پایین دارد. در شکل ۵، $۵ \times ۶$ در مرکز و دو نقطه در گوشه‌ها داریم. $(۵ \times ۶) - ۵ = ۲۵$ (لوزی). * $\text{a}_{\text{۵}}$: $۲۸ + (۱۳+۴) = ۲۸ + ۱۷ = \mathbf{۴۵}$ نقطه * $\text{a}_{\text{۶}}$: $۴۵ + (۱۷+۴) = ۴۵ + ۲۱ = \mathbf{۶۶}$ نقطه $$\mathbf{\text{دنباله} = \{۱, ۶, ۱۵, ۲۸, ۴۵, ۶۶, \dots\}}$$ --- ### ب) جمله‌ی عمومی الگو چون اختلاف سطح دوم ثابت و برابر ۴ است، این یک **دنباله‌ی درجه دوم** ($athbf{\text{a}_{\text{n}} = \text{a}\text{n}^{۲} + \text{b}\text{n} + \text{c}}$) است. * **پیدا کردن ضریب $\mathbf{a}$:** $a = \frac{\text{اختلاف سطح دوم}}{۲} = \frac{۴}{۲} = ۲$ * **پیدا کردن $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$:** با حل دستگاه معادلات: * $\text{n}=۱ \implies ۲(۱)^{۲} + \text{b}(۱) + \text{c} = ۱ \implies ۲ + \text{b} + \text{c} = ۱ \implies \mathbf{\text{b} + \text{c} = -۱}$ * $\text{n}=۲ \implies ۲(۲)^{۲} + \text{b}(۲) + \text{c} = ۶ \implies ۸ + ۲\text{b} + \text{c} = ۶ \implies \mathbf{۲\text{b} + \text{c} = -۲}$ * **حل دستگاه:** با کم کردن معادله اول از دوم: $\text{b} = -۱$. * با جایگذاری $\text{b}=-۱$ در معادله اول: $-۱ + \text{c} = -۱ \implies \text{c} = ۰$. * **جمله‌ی عمومی:** $$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = ۲\text{n}^{۲} - \text{n}}$$ --- ### پ) شکل دهم چند نقطه دارد؟ $ ext{n}=۱۰$ را در جمله‌ی عمومی جایگذاری می‌کنیم: $$\text{a}_{\text{۱۰}} = ۲(۱۰)^{۲} - ۱۰$$ $$\text{a}_{\text{۱۰}} = ۲(۱۰۰) - ۱۰$$ $$\text{a}_{\text{۱۰}} = ۲۰۰ - ۱۰ = \mathbf{۱۹۰}$$ **پاسخ:** شکل دهم ۱۹۰ نقطه دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۲۰ ریاضی دهم این تمرین به شما کمک می‌کنه تا ارتباط بین فرمول‌های جبری دنباله‌ها و الگوهای بصری و هندسی را درک کنید. ### الف) $\text{a}_{\text{n}} = ۴\text{n}$ * **چهار جمله‌ی اول:** $۴(۱)=\mathbf{۴}$, $۴(۲)=\mathbf{۸}$, $۴(۳)=\mathbf{۱۲}$, $۴(۴)=\mathbf{۱۶}$. * **دنباله:** $\{۴, ۸, ۱۲, ۱۶, \dots\}$ * **الگوی هندسی نظیر:** الگوی **چندضلعی‌های منتظم** (محیط هر چهارضلعی منظم با ضلع $\text{n}$) یا الگوی **پیرامون مربع** (تعداد چوب کبریت‌های دور یک مربع با ضلع $\text{n}$).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۲۰ ریاضی دهم این تمرین بر مهارت شما در یافتن جمله‌ی عمومی برای **دنباله‌های درجه دوم** (غیرخطی) تمرکز دارد. ### الف) دنباله‌ی $۵, ۸, ۱۳, ۲۰, ۲۹, \dots$ **۱. تحلیل الگو (پیدا کردن ضرایب $\mathbf{a, b, c}$):** * **اختلاف سطح اول:** $۸-۵=۳, ۱۳-۸=۵, ۲۰-۱۳=۷, ۲۹-۲۰=۹$ * **اختلاف سطح دوم:** $۵-۳=۲, ۷-۵=۲, ۹-۷=۲$ (ثابت: $\mathbf{۲}$) * **پیدا کردن $\mathbf{a}$:** $a = \frac{\text{اختلاف سطح دوم}}{۲} = \frac{۲}{۲} = ۱$ * **پیدا کردن $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$ (با $\text{a}_{\text{n}} = \text{n}^{۲} + \text{b}\text{n} + \text{c}$):** * $\text{n}=۱ \implies ۱ + \text{b} + \text{c} = ۵ \implies \mathbf{\text{b} + \text{c} = ۴}$ * $\text{n}=۲ \implies ۴ + ۲\text{b} + \text{c} = ۸ \implies \mathbf{۲\text{b} + \text{c} = ۴}$ * **حل دستگاه:** $(۲\text{b} + \text{c}) - (\text{b} + \text{c}) = ۴ - ۴ \implies \mathbf{\text{b} = ۰}$. * با جایگذاری $\text{b}=۰$: $۰ + \text{c} = ۴ \implies \mathbf{\text{c} = ۴}$. * **جمله‌ی عمومی:** $$\mathbf{\text{a}_{\text{n}} = \text{n}^{۲} + ۴}$$ * **الگوی هندسی نظیر:** **تعداد کل مربع‌ها در یک مربع $\mathbf{n \times \text{n}}$ که ۴ مربع اضافی به آن متصل شده است.** --- ### ب) دنباله‌ی $۱۲, ۲۲, ۳۵, ۵۱, \dots$ **۱. تحلیل الگو (پیدا کردن ضرایب $\mathbf{a, b, c}$):** * **اختلاف سطح اول:** $۲۲-۱۲=۱۰, ۳۵-۲۲=۱۳, ۵۱-۳۵=۱۶$ * **اختلاف سطح دوم:** $۱۳-۱۰=۳, ۱۶-۱۳=۳$ (ثابت: $\mathbf{۳}$) * **پیدا کردن $\mathbf{a}$:** $a = \frac{\text{اختلاف سطح دوم}}{۲} = \mathbf{۱.۵} \text{ یا } \frac{۳}{۲}$ * **پیدا کردن $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$ (با $\text{b}_{\text{n}} = ۱.۵\text{n}^{۲} + \text{b}\text{n} + \text{c}$):** * $\text{n}=۱ \implies ۱.۵ + \text{b} + \text{c} = ۱۲ \implies \mathbf{\text{b} + \text{c} = ۱۰.۵}$ * $\text{n}=۲ \implies ۱.۵(۴) + ۲\text{b} + \text{c} = ۲۲ \implies ۶ + ۲\text{b} + \text{c} = ۲۲ \implies \mathbf{۲\text{b} + \text{c} = ۱۶}$ * **حل دستگاه:** $(۲\text{b} + \text{c}) - (\text{b} + \text{c}) = ۱۶ - ۱۰.۵ \implies \mathbf{\text{b} = ۵.۵}$ * با جایگذاری $\text{b}=۵.۵$: $۵.۵ + \text{c} = ۱۰.۵ \implies \mathbf{\text{c} = ۵}$ * **جمله‌ی عمومی:** $$\mathbf{\text{b}_{\text{n}} = ۱.۵\text{n}^{۲} + ۵.۵\text{n} + ۵}$$ * **الگوی هندسی نظیر:** این الگو پیچیده‌تر است و شامل ترکیب مربع‌ها، مستطیل‌ها و مقدار ثابت است. مثلاً: $\mathbf{\text{b}_{\text{n}} = \frac{۳\text{n}^{۲} + ۱۱\text{n} + ۱۰}{۲}}$ که می‌تواند الگوی **تعداد خانه‌های شطرنجی در یک ذوزنقه با ابعاد $\text{n}$** باشد.