حل تمرین صفحه 12 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۳ ریاضی دهم سلام! این تمرین بر محاسبه و نمایش متمم مجموعه‌ها با فرض مجموعه‌ی مرجع **اعداد حقیقی** ($\mathbb{R}$) تمرکز دارد. برای یافتن متمم یک بازه، کافیه **سمت مخالف** بازه را در نظر بگیریم و **علائم مرزها** را برعکس کنیم. ### الف) $\text{A}'$ متمم $\text{A}=[-۲, ۳)$ * **مجموعه‌ی $\text{A}$:** شامل اعداد حقیقی از $-۲$ (شامل خود $-۲$) تا ۳ (بدون خود ۳). * **متمم $\text{A}'$:** تمام اعداد حقیقی خارج از این بازه. * سمت چپ: $[-۲$ تبدیل به $(-\infty, -۲)$ می‌شود. * سمت راست: $۳)$ تبدیل به $[۳, +\infty)$ می‌شود. $$\mathbf{\text{A}' = (-\infty, -۲) \cup [۳, +\infty)}$$ --- ### ب) $\text{B}'$ متمم $\text{B}=\{۰, ۱, \sqrt{۲}, ۴, \dots\}$ * **مجموعه‌ی $\text{B}$:** مجموعه‌ای از نقاط گسسته و مشخص روی محور اعداد. * **متمم $\text{B}'$:** تمام اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) به جز نقاط $۰, ۱, \sqrt{۲}, ۴, \dots$. $$\mathbf{\text{B}' = \mathbb{R} - \{۰, ۱, \sqrt{۲}, ۴, \dots\}}$$ * **نمایش روی محور:** کل محور اعداد حقیقی به صورت یک خط پررنگ نمایش داده می‌شود، به جز نقاط $۰, ۱, \sqrt{۲}, ۴, \dots$ که روی آن‌ها دایره‌های توخالی رسم می‌شود (یعنی آن نقاط حذف شده‌اند). --- ### پ) $\text{C}'$ متمم $\text{C}=(۰, +\infty)$ * **مجموعه‌ی $\text{C}$:** اعداد حقیقی بزرگتر از صفر (بدون خود صفر). * **متمم $\text{C}'$:** شامل اعداد حقیقی کوچکتر یا مساوی صفر. * سمت چپ: تمام اعداد تا $-\infty$. * سمت راست: $۰)$ تبدیل به $(-\infty, ۰]$ می‌شود. $$\mathbf{\text{C}' = (-\infty, ۰]}$$ --- ### ت) $\text{D}'$ متمم $\text{D}=(-\infty, ۱]$ * **مجموعه‌ی $\text{D}$:** اعداد حقیقی کوچکتر یا مساوی ۱ (شامل خود ۱). * **متمم $\text{D}'$:** شامل اعداد حقیقی بزرگتر از ۱. * سمت چپ: از $-\infty$ تا $۱]$. متمم آن می‌شود $(۱, +\infty)$. $$\mathbf{\text{D}' = (۱, +\infty)}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۳ ریاضی دهم در این تمرین، **مجموعه‌ی مرجع** ما **اعداد طبیعی** ($\\mathbb{N} = \{۱, ۲, ۳, ۴, \dots\}$) است. باید حواسمون باشه که تمام مجموعه‌ها و متمم‌هاشون زیرمجموعه‌ی $\mathbb{N}$ هستند. ### الف) $\text{A}$ نامتناهی و $\text{A}'$ نامتناهی برای این حالت، باید $\text{A}$ و $\text{A}'$ هر دو بی‌نهایت عضو داشته باشند. بهترین مثال، تقسیم کردن $\mathbb{N}$ به دو زیرمجموعه‌ی نامتناهی است. * **مثال:** مجموعه‌ی $\text{A}$ را **اعداد زوج طبیعی** در نظر می‌گیریم. $$\mathbf{\text{A} = \{۲, ۴, ۶, ۸, \dots\}}$$ * $\text{A}$ نامتناهی است. $\text{A}' = \mathbb{N} - \text{A}$. * متمم $\text{A}'$ می‌شود **اعداد فرد طبیعی**. $$\mathbf{\text{A}' = \{۱, ۳, ۵, ۷, \dots\}}$$ * $\text{A}'$ نیز **نامتناهی** است. ✅ --- ### ب) $\text{B}$ نامتناهی و $\text{B}'$ متناهی برای اینکه متمم ($\text{B}'$) متناهی (محدود) باشد، خود مجموعه‌ی $\text{B}$ باید تقریباً تمام اعضای مجموعه‌ی مرجع ($athbb{N}$) را شامل شود. * **مثال:** مجموعه‌ی $\text{B}$ را **اعداد طبیعی بزرگتر از ۵** در نظر می‌گیریم. $$\mathbf{\text{B} = \{۶, ۷, ۸, ۹, \dots\}}$$ * $\text{B}$ نامتناهی است. * متمم $\text{B}' = \mathbb{N} - \text{B}$ می‌شود اعداد طبیعی‌ای که در $\text{B}$ نیستند، یعنی اعداد طبیعی کوچکتر یا مساوی ۵. $$\mathbf{\text{B}' = \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵\}}$$ * $\text{B}'$ دارای ۵ عضو و **متناهی** است. ✅ --- ### پ) $\text{C}$ متناهی و تعیین $\text{C}'$ یک مجموعه‌ی متناهی از $\mathbb{N}$ انتخاب می‌کنیم. * **مثال:** مجموعه‌ی $\text{C}$ را **اعداد اول کوچکتر از ۱۰** در نظر می‌گیریم. $$\mathbf{\text{C} = \{۲, ۳, ۵, ۷\}}$$ * $\text{C}$ متناهی است. * $\text{C}' = \mathbb{N} - \text{C}$ شامل تمام اعداد طبیعی به جز $\{۲, ۳, ۵, ۷\}$ است. $$\mathbf{\text{C}' = \{۱, ۴, ۶, ۸, ۹, ۱۰, ۱۱, \dots\}}$$ **تعیین متناهی یا نامتناهی بودن $\text{C}'$:** * چون مجموعه‌ی مرجع ($athbb{N}$) نامتناهی است و ما فقط تعداد **محدودی** (۴ عدد) از آن را حذف کرده‌ایم، مجموعه باقی‌مانده ($\text{C}'$) همچنان تا بی‌نهایت ادامه خواهد داشت. * $\mathbf{\text{C}'}$ **نامتناهی** است. **نتیجه‌گیری مهم:** متمم یک مجموعه‌ی متناهی در یک مجموعه‌ی مرجع نامتناهی، همواره **نامتناهی** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۳ ریاضی دهم برای محاسبه‌ی تعداد اعضای مجموعه‌ی $\text{B}$ از **فرمول اصل شمول و عدم شمول** استفاده می‌کنیم. این فرمول تعداد اعضای اجتماع را به تعداد اعضای دو مجموعه و اشتراک آن‌ها مرتبط می‌کند: $$\mathbf{\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = \text{n}(\text{A}) + \text{n}(\text{B}) - \text{n}(\text{A} \cap \text{B})}$$ ### ۱. جایگذاری مقادیر معلوم مقادیر داده شده در مسئله را در فرمول وارد می‌کنیم: * $\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = ۳۰$ * $\text{n}(\text{A}) = ۱۵$ * $\text{n}(\text{A} \cap \text{B}) = ۵$ $$۳۰ = ۱۵ + \text{n}(\text{B}) - ۵$$ ### ۲. ساده‌سازی معادله طرف راست معادله را ساده می‌کنیم: $$۳۰ = (۱۵ - ۵) + \text{n}(\text{B})$$ $$۳۰ = ۱۰ + \text{n}(\text{B})$$ ### ۳. محاسبه‌ی $\text{n}(\text{B})$ با جابجایی ۱۰ به طرف دیگر، مقدار $\text{n}(\text{B})$ را به دست می‌آوریم: $$\text{n}(\text{B}) = ۳۰ - ۱۰$$ $$\mathbf{\text{n}(\text{B}) = ۲۰}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۳ ریاضی دهم این تمرین کامل‌ترین حالت استفاده از اصل شمول و عدم شمول و خواص متمم است. ابتدا باید مقادیر اساسی را با استفاده از **نمودار ون** یا فرمول‌های تفاضل و اشتراک متمم‌ها محاسبه کنیم. ### مقادیر داده شده: * $\mathbf{\text{n}(\text{U}) = ۱۰۰}$ * $\mathbf{\text{n}(\text{A}) = ۶۰}$ * $\mathbf{\text{n}(\text{B}) = ۴۰}$ * $\mathbf{\text{n}(\text{A} \cap \text{B}) = ۲۰}$ --- ### الف) $\mathbf{\text{n}(\text{A} \cup \text{B})}$ (اجتماع) از فرمول اصلی اجتماع استفاده می‌کنیم: $$\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = \text{n}(\text{A}) + \text{n}(\text{B}) - \text{n}(\text{A} \cap \text{B})$$ $$\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = ۶۰ + ۴۰ - ۲۰$$ $$\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = ۱۰۰ - ۲۰ = \mathbf{۸۰}$$ --- ### ب) $\mathbf{\text{n}(\text{A} \cap \text{B}')}$ (فقط $\text{A}$) $\text{A} \cap \text{B}'$ برابر با تفاضل $\text{A} - \text{B}$ است، یعنی **اعضایی که فقط در $\text{A}$ هستند** و در $\text{B}$ نیستند: $$\text{n}(\text{A} \cap \text{B}') = \text{n}(\text{A}) - \text{n}(\text{A} \cap \text{B})$$ $$\text{n}(\text{A} \cap \text{B}') = ۶۰ - ۲۰ = \mathbf{۴۰}$$ --- ### پ) $\mathbf{\text{n}(\text{A}' \cap \text{B})}$ (فقط $\text{B}$) $\text{A}' \cap \text{B}$ برابر با تفاضل $\text{B} - \text{A}$ است، یعنی **اعضایی که فقط در $\text{B}$ هستند** و در $\text{A}$ نیستند: $$\text{n}(\text{A}' \cap \text{B}) = \text{n}(\text{B}) - \text{n}(\text{A} \cap \text{B})$$ $$\text{n}(\text{A}' \cap \text{B}) = ۴۰ - ۲۰ = \mathbf{۲۰}$$ --- ### ت) $\mathbf{\text{n}(\text{A}' \cap \text{B}')}$ (خارج از هر دو) بر اساس **قانون دِمورگان**، $\text{A}' \cap \text{B}'$ برابر با $\mathbf{(\text{A} \cup \text{B})'}$ است، یعنی اعضایی که **نه در $\text{A}$ و نه در $\text{B}$ هستند** (خارج از اجتماع): $$\text{n}(\text{A}' \cap \text{B}') = \text{n}((\text{A} \cup \text{B})') = \text{n}(\text{U}) - \text{n}(\text{A} \cup \text{B})$$ $$\text{n}(\text{A}' \cap \text{B}') = ۱۰۰ - ۸۰ = \mathbf{۲۰}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۳ ریاضی دهم این مسئله یک کاربرد مستقیم از فرمول‌های مجموعه‌هاست. بهتر است ابتدا اطلاعات را مرتب کنیم. ### اطلاعات مسئله * $\text{U}$: کل دانش‌آموزان $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{U}) = ۳۱}$ * $\text{S}$: گروه سرود $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{S}) = ۱۴}$ * $\text{T}$: گروه تئاتر $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{T}) = ۱۹}$ * $\text{S} \cap \text{T}$: عضو هر دو گروه $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{S} \cap \text{T}) = ۵}$ --- ### الف) دانش‌آموزانی که فقط عضو گروه سرودند ($athbf{\text{n}(\text{S} - \text{T})}$) تعداد دانش‌آموزانی که فقط عضو گروه سرودند، برابر است با تعداد کل اعضای سرود، منهای اعضای مشترک (آن‌هایی که هم سرودند و هم تئاتر): $$\text{n}(\text{S} - \text{T}) = \text{n}(\text{S}) - \text{n}(\text{S} \cap \text{T})$$ $$\text{n}(\text{S} - \text{T}) = ۱۴ - ۵ = \mathbf{۹}$$ **پاسخ:** ۹ نفر فقط عضو گروه سرود هستند. --- ### ب) دانش‌آموزانی که عضو هیچ یک از این دو گروه نیستند ($athbf{\text{n}((\text{S} \cup \text{T})')}$) این تعداد برابر است با متمم اجتماع دو گروه، یعنی کل کلاس منهای کسانی که حداقل عضو یکی از دو گروه هستند. **۱. محاسبه‌ی اجتماع ($\mathbf{\text{n}(\text{S} \cup \text{T})}$):** $$\text{n}(\text{S} \cup \text{T}) = \text{n}(\text{S}) + \text{n}(\text{T}) - \text{n}(\text{S} \cap \text{T})$$ $$\text{n}(\text{S} \cup \text{T}) = ۱۴ + ۱۹ - ۵$$ $$\text{n}(\text{S} \cup \text{T}) = ۳۳ - ۵ = ۲۸$$ **۲. محاسبه‌ی متمم اجتماع (خارج از دو گروه):** $$\text{n}((\text{S} \cup \text{T})') = \text{n}(\text{U}) - \text{n}(\text{S} \cup \text{T})$$ $$\text{n}((\text{S} \cup \text{T})') = ۳۱ - ۲۸ = \mathbf{۳}$$ **پاسخ:** ۳ نفر عضو هیچ یک از این دو گروه نیستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۱۳ ریاضی دهم این تمرین در مورد شمارش اعضا در یک نظرسنجی است و تمام جنبه‌های اصلی فرمول‌های مجموعه‌ها (اجتماع، تفاضل و متمم) را پوشش می‌دهد. ### اطلاعات مسئله * $\text{U}$: کل مشتریان $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{U}) = ۱۱۰}$ * $\text{A}$: خرید از $\text{A}$ $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{A}) = ۷۰}$ * $\text{B}$: خرید از $\text{B}$ $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{B}) = ۵۷}$ * $\text{A} \cap \text{B}$: خرید از هر دو $\Longrightarrow \mathbf{\text{n}(\text{A} \cap \text{B}) = ۳۲}$ --- ### الف) دست کم از یکی از این دو شرکت خرید کرده‌اند ($athbf{\text{n}(\text{A} \cup \text{B})}$) **دست کم از یکی** یعنی عضو $\text{A}$ باشند **یا** عضو $\text{B}$، که همان **اجتماع** دو مجموعه است: $$\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = \text{n}(\text{A}) + \text{n}(\text{B}) - \text{n}(\text{A} \cap \text{B})$$ $$\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = ۷۰ + ۵۷ - ۳۲$$ $$\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) = ۱۲۷ - ۳۲ = \mathbf{۹۵}$$ **پاسخ:** ۹۵ نفر دست کم از یکی از دو شرکت خرید کرده‌اند. --- ### ب) فقط از شرکت $\text{A}$ خرید کرده‌اند ($athbf{\text{n}(\text{A} - \text{B})}$) **فقط از $\text{A}$** یعنی از $\text{A}$ خرید کرده باشند ولی از $\text{B}$ خرید نکرده باشند (تفاضل): $$\text{n}(\text{A} - \text{B}) = \text{n}(\text{A}) - \text{n}(\text{A} \cap \text{B})$$ $$\text{n}(\text{A} - \text{B}) = ۷۰ - ۳۲ = \mathbf{۳۸}$$ **پاسخ:** ۳۸ نفر فقط از شرکت $\text{A}$ خرید کرده‌اند. --- ### پ) دقیقاً از یکی از این دو شرکت خرید کرده‌اند ($athbf{\text{n}(\text{فقط A}) + \text{n}(\text{فقط B})}$) **دقیقاً از یکی** یعنی یا فقط از $\text{A}$ و یا فقط از $\text{B}$ خرید کرده باشند. باید «فقط $\text{A}$» و «فقط $\text{B}$» را حساب کرده و با هم جمع کنیم. **۱. فقط $\text{A}$:** (از بخش ب) $\text{n}(\text{A} - \text{B}) = ۳۸$ **۲. فقط $\text{B}$:** $\text{n}(\text{B} - \text{A}) = \text{n}(\text{B}) - \text{n}(\text{A} \cap \text{B}) = ۵۷ - ۳۲ = ۲۵$ **۳. جمع کردن:** $$\text{n}(\text{دقیقاً یکی}) = ۳۸ + ۲۵ = \mathbf{۶۳}$$ **راه حل جایگزین:** $\text{n}(\text{A} \cup \text{B}) - \text{n}(\text{A} \cap \text{B}) = ۹۵ - ۳۲ = ۶۳$ **پاسخ:** ۶۳ نفر دقیقاً از یکی از دو شرکت خرید کرده‌اند. --- ### ت) از هیچ یک از این دو شرکت خرید نکرده‌اند ($athbf{\text{n}((\text{A} \cup \text{B})')}$) **از هیچ یک** یعنی خارج از اجتماع دو مجموعه (متمم اجتماع): $$\text{n}((\text{A} \cup \text{B})') = \text{n}(\text{U}) - \text{n}(\text{A} \cup \text{B})$$ $$\text{n}((\text{A} \cup \text{B})') = ۱۱۰ - ۹۵ = \mathbf{۱۵}$$ **پاسخ:** ۱۵ نفر از هیچ یک از دو شرکت خرید نکرده‌اند.