حل کار در کلاس صفحه 9 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۰ ریاضی دهم سلام! این تمرین مفهوم **متمم مجموعه** ($\text{A}'$) رو در دنیای واقعی بررسی می‌کنه. ### تعریف مجموعه * **مجموعه‌ی مرجع ($\text{U}$):** تمام استان‌های ایران (۳۱ استان). * **مجموعه‌ی $\text{A}$:** استان‌هایی که در کنار دریا یا آب‌های آزاد (خلیج فارس، دریای عمان یا دریای خزر) قرار **نگرفته‌اند** (استان‌های غیرساحلی). ### محاسبه‌ی متمم ($\text{A}'$) * **متمم مجموعه $\text{A}$ ($\text{A}'$):** شامل تمام اعضایی از $\text{U}$ است که در $\text{A}$ نیستند. * به عبارت ساده‌تر، اگر $\text{A}$ استان‌های **غیرساحلی** باشه، $\text{A}'$ باید استان‌های **ساحلی** باشه. $$\text{A}' = \text{U} - \text{A} = \{\text{استان‌های کشورمان}\} - \{\text{استان‌های غیرساحلی}\}$$ $$\text{A}' = \{\text{استان‌های ساحلی کشورمان}\}$$ **اعضای $\text{A}'$ (استان‌های ساحلی ایران):** $$\mathbf{\text{A}' = \{\text{گیلان}, \text{مازندران}, \text{گلستان}, \text{خوزستان}, \text{بوشهر}, \text{هرمزگان}, \text{سیستان و بلوچستان}\} }$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۰ ریاضی دهم این تمرین هم مفهوم **متمم مجموعه** رو با استفاده از مثال پلاک‌ها بررسی می‌کنه. ### تعریف مجموعه‌ها * **مجموعه‌ی مرجع ($\text{U}$):** تمام اتومبیل‌های پلاک‌گذاری شده در کشور. * **مجموعه‌ی $\text{B}$:** اتومبیل‌هایی که رقم آخر پلاک آن‌ها عددی **فرد** باشد. ### محاسبه‌ی متمم ($\text{B}'$) * **متمم مجموعه $\text{B}$ ($\text{B}'$):** شامل اتومبیل‌هایی از $\text{U}$ است که در $\text{B}$ نیستند. * اگر یک اتومبیل پلاک‌گذاری شده در $\text{B}$ نباشه (یعنی پلاک فرد نداشته باشه)، حتماً باید پلاک **زوج** داشته باشه. $$\text{B}' = \text{U} - \text{B}$$ $$\mathbf{\text{B}' = \text{مجموعه‌ی اتومبیل‌های با پلاک زوج خواهد بود.}}$$ **توضیح:** این یک تقسیم‌بندی کامل از اتومبیل‌های پلاک‌گذاری شده است؛ یا پلاک فرد دارند یا پلاک زوج. بنابراین متمم مجموعه‌ی پلاک‌های فرد، مجموعه‌ی پلاک‌های زوج است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه ۱۰ ریاضی دهم در این تمرین، **مجموعه‌ی مرجع** ($\text{U}$) مجموعه‌ی **اعداد طبیعی** ($\\mathbb{N} = \{۱, ۲, ۳, ۴, \dots\}$) است. متمم هر مجموعه ($\text{A}'$)، تمام اعضای $\mathbb{N}$ هستند که در $\text{A}$ نیستند. بیایید متمم‌ها را پیدا کنیم و وصل کنیم: | مجموعه ($\text{A}$) | توضیح $\text{A}$ | متمم $\text{A}' = \mathbb{N} - \text{A}$ | توضیح $\text{A}'$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $\mathbf{\{۱, ۳, ۵, ۷, ۹, \dots\}}$ | **اعداد فرد** طبیعی | $\mathbf{\{۲, ۴, ۶, ۸, ۱۰, \dots\}}$ | **اعداد زوج** طبیعی | | $\mathbf{\{۳, ۶, ۹, ۱۲, \dots\}}$ | **مضرب‌های ۳** | $\mathbf{\{۱, ۲, ۴, ۵, ۷, ۸, ۱۰, ۱۱, \dots\}}$ | اعداد طبیعی که مضرب ۳ نیستند | | $\mathbf{\{۱, ۲, ۳, \dots, ۹\}}$ | اعداد طبیعی ۱ تا ۹ | $\mathbf{\{۱۰, ۱۱, ۱۲, ۱۳, ۱۴, \dots\}}$ | اعداد طبیعی **بزرگتر یا مساوی ۱۰** | | $\mathbf{\{۲, ۳, ۵, ۷, ۱۱, ۱۳, \dots\}}$ | **اعداد اول** | $\mathbf{\{۱, ۴, ۶, ۸, ۹, ۱۰, ۱۲, ۱۴, \dots\}}$ | اعداد طبیعی که **اول نیستند** (عدد ۱ و اعداد مرکب) | ### مطابقت‌ها: 1. **اعداد فرد** ($\mathbf{\{۱, ۳, ۵, \dots\}}$) به **اعداد زوج** ($\mathbf{\{۲, ۴, ۶, ۸, ۱۰, \dots\}}$) وصل می‌شود. 2. **مضرب‌های ۳** ($\mathbf{\{۳, ۶, ۹, \dots\}}$) به **اعداد غیرمضرب ۳** ($\mathbf{\{۱, ۲, ۴, ۵, ۷, ۸, \dots\}}$) وصل می‌شود. 3. **اعداد ۱ تا ۹** ($\mathbf{\{۱, ۲, \dots, ۹\}}$) به **اعداد $\mathbf{۱۰}$ به بعد** ($\mathbf{\{۱۰, ۱۱, ۱۲, \dots\}}$) وصل می‌شود. 4. **اعداد اول** ($\mathbf{\{۲, ۳, ۵, \dots\}}$) به **اعداد غیر اول** ($athbf{\{۱, ۴, ۶, ۸, ۹, \dots\}}$) وصل می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۴ صفحه ۱۰ ریاضی دهم این تمرین مربوط به **خواص مهم متمم مجموعه‌ها**ست. درک این چهار قانون برای حل مسائل پیچیده‌تر ضروریه! 1. **$\mathbf{\emptyset'}$ (متمم مجموعه‌ی تهی):** * مجموعه‌ی تهی ($\emptyset$) هیچ عضوی ندارد. متمم آن، تمام اعضای مجموعه‌ی مرجع ($\text{U}$) را شامل می‌شود. $$\mathbf{\emptyset' = \text{U}}$$ 2. **$\mathbf{\text{U}'}$ (متمم مجموعه‌ی مرجع):** * مجموعه‌ی مرجع شامل همه‌ی اعضاست. متمم آن شامل هیچ عضوی نخواهد بود. $$\mathbf{\text{U}' = \emptyset}$$ 3. **$\mathbf{\text{A} \cup \text{A}'}$ (اجتماع یک مجموعه و متمم آن):** * $\text{A}$ و $\text{A}'$ (اعضای خارج از $\text{A}$) در کنار هم، تمام اعضای مجموعه‌ی مرجع ($\text{U}$) را تشکیل می‌دهند. $$\mathbf{\text{A} \cup \text{A}' = \text{U}}$$ 4. **$\mathbf{\text{A} \cap \text{A}'}$ (اشتراک یک مجموعه و متمم آن):** * $\text{A}$ و $\text{A}'$ هیچ عضو مشترکی ندارند (زیرا $\text{A}'$ دقیقاً اعضای خارج از $\text{A}$ هستند). $$\mathbf{\text{A} \cap \text{A}' = \emptyset}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۵ صفحه ۱۰ ریاضی دهم این تمرین اهمیت **مجموعه‌ی مرجع** در محاسبه‌ی متمم را نشان می‌دهد. ### الف) $\mathbb{N}'$ با مجموعه‌ی مرجع $\mathbb{Z}$ * **مجموعه‌ی مرجع ($\text{U}$):** اعداد صحیح ($\mathbb{Z} = \{\dots, -۲, -۱, ۰, ۱, ۲, \dots\}$) * **مجموعه‌ی $\mathbb{N}$:** اعداد طبیعی ($\mathbb{N} = \{۱, ۲, ۳, \dots\}$) * $\mathbb{N}' = \mathbb{Z} - \mathbb{N}$ (اعداد صحیحی که طبیعی نیستند). * این اعداد عبارتند از: **اعداد صحیح منفی** و **صفر**. $$\mathbf{\mathbb{N}' = \{\dots, -۳, -۲, -۱, ۰\}}$$ ### ب) $\mathbb{N}'$ با مجموعه‌ی مرجع $\mathbb{R}$ * **مجموعه‌ی مرجع ($\text{U}$):** اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) * **مجموعه‌ی $\mathbb{N}$:** اعداد طبیعی ($\mathbb{N} = \{۱, ۲, ۳, \dots\}$) * $\mathbb{N}' = \mathbb{R} - \mathbb{N}$ (تمام اعداد حقیقی به جز اعداد طبیعی). * $\mathbb{N}'$ شامل موارد زیر است: 1. تمام اعداد حقیقی منفی. 2. صفر. 3. تمام اعداد حقیقی بین اعداد طبیعی (مثل $۰.۵$, $\sqrt{۲}$, $-\pi$). * **نمایش روی محور:** محور باید به طور کامل رنگ شود، به جز نقاط $۱, ۲, ۳, ۴, \dots$ که باید به صورت دایره‌ی توخالی (حذف شده) نمایش داده شوند. (محتمل نیست که تصویر مناسب نمایش داده شود) **نمایش جبری:** $$\mathbf{\mathbb{N}' = (-\infty, ۱) \cup (۱, ۲) \cup (۲, ۳) \cup (۳, ۴) \cup \dots}$$ **نکته:** دقت کنید که در این حالت، $\mathbb{N}'$ یک مجموعه‌ی **نامتناهی** است که از اجتماع بی‌نهایت بازه تشکیل شده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۶ صفحه ۱۰ ریاضی دهم این فعالیت مهم‌ترین **قوانین مجموعه‌ها**، به خصوص **قوانین دمورگان** و رابطه‌ی تفاضل را از طریق مثال عددی تأیید می‌کنه. **مجموعه‌های اولیه:** $$\text{U} = \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵\}$$ $$\text{A} = \{۱, ۲, ۳\}$$ $$\text{B} = \{۲, ۵\}$$ ### ۱. محاسبه‌ی متمم‌ها ($\\text{A}'$ و $\\text{B}'$) * **متمم $\text{A}$ (اعضای $\text{U}$ که در $\text{A}$ نیستند):** $$\mathbf{\text{A}' = \{۴, ۵\}}$$ * **متمم $\text{B}$ (اعضای $\text{U}$ که در $\text{B}$ نیستند):** $$\mathbf{\text{B}' = \{۱, ۳, ۴\}}$$ --- ### ۲. قانون متمم متمم | $(\text{A}')'$ | $\text{A}$ | | :--- | :--- | | $\{۱, ۲, ۳\}$ | $\{۱, ۲, ۳\}$ | * **توضیح:** متمم $\text{A}'$ یعنی اعضای $\text{U}$ که در $\text{A}' = \{۴, ۵\}$ نیستند، که عبارتند از $\{۱, ۲, ۳\}$. $$\Longrightarrow \mathbf{(\text{A}')' = \text{A}}$$ --- ### ۳. قانون اول دِمورگان ابتدا $\text{A} \cup \text{B}$ را محاسبه می‌کنیم: $$\text{A} \cup \text{B} = \{۱, ۲, ۳\} \cup \{۲, ۵\} = \{۱, ۲, ۳, ۵\}$$ | $\text{A} \cup \text{B}$ | $(\text{A} \cup \text{B})'$ | $\text{A}' \cap \text{B}'$ | | :--- | :--- | :--- | | $\{۱, ۲, ۳, ۵\}$ | $\{۴\}$ | $\{۴, ۵\} \cap \{۱, ۳, ۴\} = \{۴\}$ | * **توضیح:** اعضای خارج از $\text{A} \cup \text{B}$ فقط عدد ۴ است. اشتراک $\text{A}'$ و $\text{B}'$ هم فقط عدد ۴ است. $$\Longrightarrow \mathbf{(\text{A} \cup \text{B})' = \text{A}' \cap \text{B}'}$$ --- ### ۴. قانون دوم دِمورگان ابتدا $\text{A} \cap \text{B}$ را محاسبه می‌کنیم: $$\text{A} \cap \text{B} = \{۱, ۲, ۳\} \cap \{۲, ۵\} = \{۲\}$$ | $\text{A} \cap \text{B}$ | $(\text{A} \cap \text{B})'$ | $\text{A}' \cup \text{B}'$ | | :--- | :--- | :--- | | $\{۲\}$ | $\{۱, ۳, ۴, ۵\}$ | $\{۴, ۵\} \cup \{۱, ۳, ۴\} = \{۱, ۳, ۴, ۵\}$ | * **توضیح:** اعضای خارج از $\text{A} \cap \text{B}$ (عدد ۲) عبارتند از $\{۱, ۳, ۴, ۵\}$. اجتماع $\text{A}'$ و $\text{B}'$ هم $\{۱, ۳, ۴, ۵\}$ است. $$\Longrightarrow \mathbf{(\text{A} \cap \text{B})' = \text{A}' \cup \text{B}'}$$ --- ### ۵. قانون تفاضل مجموعه‌ها | $\text{A} - \text{B}$ | $\text{A} - (\text{A} \cap \text{B})$ | $\text{A} \cap \text{B}'$ | | :--- | :--- | :--- | | $\{۱, ۳\}$ | $\{۱, ۲, ۳\} - \{۲\} = \{۱, ۳\}$ | $\{۱, ۲, ۳\} \cap \{۱, ۳, ۴\} = \{۱, ۳\}$ | * **توضیح:** تفاضل $\text{A} - \text{B}$ (اعضای $\text{A}$ که در $\text{B}$ نیستند) $\{۱, ۳\}$ است. دو ستون دیگر هم همین نتیجه را می‌دهند. $$\Longrightarrow \mathbf{\text{A} - \text{B} = \text{A} - (\text{A} \cap \text{B}) = \text{A} \cap \text{B}'}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۷ صفحه ۱۰ ریاضی دهم این فعالیت یک **قانون اساسی** در مورد متمم‌ها را بررسی می‌کند: **وارونگی** رابطه‌ی زیرمجموعه. ### الف) بررسی رابطه زیرمجموعه بین $\text{A}'$ و $\text{B}'$ * **فرض:** $\mathbf{\text{A} \subseteq \text{B}}$ (تمام اعضای $\text{A}$ در $\text{B}$ هم هستند؛ $\text{A}$ مجموعه‌ی کوچکتر است). * **متمم $\text{B}$ ($\text{B}'$):** اعضایی که در **$\\text{B}$ نیستند** (بیرون $\text{B}$). * **متمم $\text{A}$ ($\text{A}'$):** اعضایی که در **$\\text{A}$ نیستند** (بیرون $\text{A}$). $\text{A}'$ فضای بزرگتری را دربر می‌گیرد (هم بیرون $\text{B}$ و هم فضایی که $\text{B}$ گرفته ولی $\text{A}$ نگرفته). * **نتیجه‌گیری:** اگر $\text{A}$ درون $\text{B}$ باشد، منطق حکم می‌کند که متمم $\text{B}$ (فضای بیرون $\text{B}$) باید **درون** متمم $\text{A}$ (فضای بیرون $\text{A}$) قرار گیرد. * **رابطه‌ی برقرار:** بله، رابطه‌ی زیرمجموعه برقرار است، اما به صورت **وارونه**: $$\text{A} \subseteq \text{B} \Longrightarrow \mathbf{\text{B}' \subseteq \text{A}'}$$ * **چگونه؟** چون هر چیزی که بیرون از مجموعه‌ی بزرگتر ($ ext{B}$) باشد، قطعاً بیرون از مجموعه‌ی کوچکتر ($ ext{A}$) هم هست. اگر عضوی در $\text{B}'$ باشد، یعنی در $\text{B}$ نیست، و چون $\text{A}$ زیرمجموعه‌ی $\text{B}$ است، پس آن عضو حتماً در $\text{A}$ هم نیست (یعنی در $\text{A}'$ هست). ### ب) اثبات عددی * **مجموعه‌ی مرجع:** $\text{U}=\{\text{a}, \text{b}, \text{c}, \text{d}, \text{e}\}$ * **مجموعه‌ها:** $\text{A}=\{\text{a}, \text{b}\}$ و $\text{B}=\{\text{a}, \text{b}, \text{c}\}$ * **رابطه:** $\text{A}$ زیرمجموعه‌ی $\text{B}$ است. ($\text{A} \subseteq \text{B}$) **۱. محاسبه‌ی متمم‌ها:** * **$\text{A}' = \text{U} - \text{A}$:** اعضای $\text{U}$ که در $\text{A}$ نیستند: $$\mathbf{\text{A}' = \{\text{c}, \text{d}, \text{e}\}}$$ * **$\text{B}' = \text{U} - \text{B}$:** اعضای $\text{U}$ که در $\text{B}$ نیستند: $$\mathbf{\text{B}' = \{\text{d}, \text{e}\}}$$ **۲. بررسی زیرمجموعه بودن بین $\text{A}'$ و $\text{B}'$:** * اعضای $\text{B}'$ (یعنی $\text{d}, \text{e}$) را با اعضای $\text{A}'$ (یعنی $\text{c}, \text{d}, \text{e}$) مقایسه می‌کنیم. * تمام اعضای $\text{B}'$ در $\text{A}'$ وجود دارند. $$\mathbf{\text{B}' \subseteq \text{A}'}$$ این مثال نشان می‌دهد که اگر $\text{A}$ زیرمجموعه‌ی $\text{B}$ باشد، متمم مجموعه‌ی بزرگتر ($ ext{B}'$) زیرمجموعه‌ی متمم مجموعه‌ی کوچکتر ($ ext{A}'$) خواهد بود.