۱_ دو ظرف به گنجایش ۱۲ و ۱۸ لیتر داریم. می‌خواهیم با یک پیمانه که هر بار پر و خالی می‌شود، دو ظرف را به طور کامل پر کنیم. کدام پیمانه‌ها برای این کار مناسب است؟ بزرگ‌ترین پیمانه کدام است؟
برای اینکه بتوان هر دو ظرف را با یک پیمانه به طور کامل پر کرد، حجم پیمانه باید شمارنده‌ی حجم هر دو ظرف باشد.
- **پیمانه‌های مناسب:**
پیمانه‌های مناسب، **شمارنده‌های مشترک** دو عدد ۱۲ و ۱۸ هستند.
- شمارنده‌های ۱۲: $\{۱, ۲, ۳, ۴, \boldsymbol{۶}, ۱۲\}$
- شمارنده‌های ۱۸: $\{۱, ۲, ۳, \boldsymbol{۶}, ۹, ۱۸\}$
- شمارنده‌های مشترک (پیمانه‌های مناسب): **۱، ۲، ۳ و ۶ لیتری**
- **بزرگ‌ترین پیمانه:**
بزرگ‌ترین پیمانه مناسب، **بزرگ‌ترین شمارنده مشترک (ب.م.م)** دو عدد ۱۲ و ۱۸ است.
$$(۱۲, ۱۸) = ۶$$
بنابراین، بزرگ‌ترین پیمانه، پیمانهٔ **۶ لیتری** است.
۲_ یک مکعب مستطیل به ابعاد ۱۲ و ۳۶ و ۲۸ سانتی‌متر را با مکعب‌های مساوی پر کرده‌ایم. بزرگ‌ترین ضلع این مکعب چه عددی است؟ در این صورت چند مکعب در این مکعب مستطیل جا می‌شود؟
این مسئله از مفهوم بزرگ‌ترین شمارنده مشترک (ب.م.م) برای حل استفاده می‌کند.
- **بزرگ‌ترین ضلع مکعب:**
برای اینکه مکعب‌ها به طور کامل مکعب مستطیل را پر کنند، طول ضلع آنها باید شمارنده هر سه بعد (۱۲، ۳۶ و ۲۸) باشد. بزرگ‌ترین ضلع ممکن، **ب.م.م** این سه عدد است.
- شمارنده‌های ۱۲: $\{۱, ۲, ۳, \boldsymbol{۴}, ۶, ۱۲\}$
- شمارنده‌های ۳۶: $\{۱, ۲, ۳, \boldsymbol{۴}, ۶, ۹, ۱۲, ۱۸, ۳۶\}$
- شمارنده‌های ۲۸: $\{۱, ۲, \boldsymbol{۴}, ۷, ۱۴, ۲۸\}$
$$(۱۲, ۳۶, ۲۸) = ۴$$
بنابراین، بزرگ‌ترین ضلع مکعب **۴ سانتی‌متر** است.
- **تعداد مکعب‌ها:**
برای پیدا کردن تعداد کل، حجم مکعب مستطیل را بر حجم هر مکعب کوچک تقسیم می‌کنیم، یا تعداد مکعب‌ها در هر بعد را در هم ضرب می‌کنیم:
- تعداد در طول: $۲۸ \div ۴ = ۷$
- تعداد در عرض: $۳۶ \div ۴ = ۹$
- تعداد در ارتفاع: $۱۲ \div ۴ = ۳$
- **تعداد کل:** $۷ \times ۹ \times ۳ = ۱۸۹$
در این مکعب مستطیل **۱۸۹** مکعب جا می‌شود.
۳_ برای درستی جملات زیر دلیل بیاورید.
- **اگر دو عدد b و a اول باشند، ب.م.م. آنها عدد یک می‌شود. $(a, b)=۱$**
**دلیل:** این جمله در صورتی صحیح است که دو عدد اول **متمایز** باشند. چون یک عدد اول فقط بر ۱ و خودش بخش‌پذیر است، دو عدد اول متفاوت هیچ شمارنده مشترکی به جز **۱** ندارند.
- **اگر عددی بر عدد دیگری بخش‌پذیر باشد، عدد کوچک‌تر ب.م.م. دو عدد است.**
**دلیل:** فرض کنید $a$ بر $b$ بخش‌پذیر باشد ($a>b$). در این صورت، $b$ یکی از شمارنده‌های $a$ است. از طرفی، بزرگ‌ترین شمارنده خود $b$ نیز، خود عدد $b$ است. بنابراین، بزرگ‌ترین شمارنده مشترک بین $a$ و $b$ همان عدد **$b$** (عدد کوچک‌تر) خواهد بود.
- **کوچک‌ترین مقسومٌ‌علیه مشترک (شمارندهٔ مشترک) هر دو عدد ۱ است.**
**دلیل:** عدد **۱** شمارنده تمام اعداد طبیعی است. بنابراین، همیشه در لیست شمارنده‌های مشترک هر دو عددی وجود دارد و چون کوچک‌ترین عدد طبیعی است، کوچک‌ترین شمارنده مشترک نیز می‌باشد.
۴_ ابتدا عددهای صورت و مخرج را تجزیه کنید، سپس کسرها را ساده کنید.
برای ساده کردن کسرها، ابتدا صورت و مخرج را به عوامل اول تجزیه کرده و سپس عوامل مشترک را با هم ساده می‌کنیم.
- **کسر اول: $\frac{۳۵}{۲۴۵}$**
- تجزیه صورت: $۳۵ = ۵ \times ۷$
- تجزیه مخرج: $۲۴۵ = ۵ \times ۴۹ = ۵ \times ۷ \times ۷$
- ساده کردن:
$$\frac{۳۵}{۲۴۵} = \frac{\cancel{۵} \times \cancel{۷}}{\cancel{۵} \times \cancel{۷} \times ۷} = \frac{۱}{۷}$$
- **کسر دوم: $\frac{۹۶}{۱۴۴}$**
- تجزیه صورت: $۹۶ = ۳۲ \times ۳ = ۲^۵ \times ۳$
- تجزیه مخرج: $۱۴۴ = ۱۲ \times ۱۲ = (۴ \times ۳) \times (۴ \times ۳) = ۲^۴ \times ۳^۲$
- ساده کردن:
$$\frac{۹۶}{۱۴۴} = \frac{۲^۵ \times ۳}{۲^۴ \times ۳^۲} = \frac{۲}{۳}$$
۵_ ب.م.م. عددهای زیر را محاسبه کنید.
برای محاسبه بزرگ‌ترین شمارنده مشترک (ب.م.م)، اعداد را به شمارنده‌های اول تجزیه کرده و عوامل مشترک با کمترین توان را در هم ضرب می‌کنیم.
- **ب.م.م (۵۵, ۱۲۱):**
- $۵۵ = ۵ \times \boldsymbol{۱۱}$
- $۱۲۱ = \boldsymbol{۱۱}^۲$
- ب.م.م = **۱۱**
- **ب.م.م (۲۱۶, ۱۰۸):**
- چون ۲۱۶ بر ۱۰۸ بخش‌پذیر است ($۲۱۶ = ۲ \times ۱۰۸$)، عدد کوچک‌تر یعنی **۱۰۸** ب.م.م است.
- **ب.م.م (۱۱۷, ۹۱):**
- $۱۱۷ = ۹ \times ۱۳ = ۳^۲ \times \boldsymbol{۱۳}$
- $۹۱ = ۷ \times \boldsymbol{۱۳}$
- ب.م.م = **۱۳**
۶_ برای جملات درست زیر ۲ مثال بزنید.
- **$(n, n) = n$**
(ب.م.م هر عدد با خودش، خود آن عدد است.)
- **مثال ۱:** $(۷, ۷) = ۷$
- **مثال ۲:** $(۲۰, ۲۰) = ۲۰$
- **ب.م.م. دو عدد a و b، شمارندهٔ دو عدد a و b است.**
(ب.م.م دو عدد، هر دوی آنها را می‌شمارد.)
- **مثال ۱:** $(۱۲, ۱۸) = ۶$. عدد ۶ هم شمارنده ۱۲ و هم شمارنده ۱۸ است.
- **مثال ۲:** $(۱۰, ۱۵) = ۵$. عدد ۵ هم شمارنده ۱۰ و هم شمارنده ۱۵ است.
- **اگر عدد a اول باشد، ب.م.م. a و عدد دیگر مثل b، یا یک می‌شود یا خود a.**
- **مثال ۱ (حالت اول):** $a=۵$ (اول) و $b=۹$. چون ۹ بر ۵ بخش‌پذیر نیست، $(۵, ۹)=۱$.
- **مثال ۲ (حالت دوم):** $a=۵$ (اول) و $b=۱۰$. چون ۱۰ بر ۵ بخش‌پذیر است، $(۵, ۱۰)=۵$.
