۱_ شمارنده‌های اول صورت یک کسر ۲ و ۳ هستند. شمارنده‌های اول مخرج آن کسر ۵ و ۷ هستند. آیا این کسر ساده می‌شود؟ چرا؟
۲_ سه کسر بنویسید که پس از ساده شدن برابر $\frac{۳}{۵}$ شود.
۳_ با شمارنده‌های اول ۲ و ۳ چند عدد تولید می‌شود که بین ۳۰ و ۵۰ باشد؟
۴_ عدد a پس از تجزیه به صورت $a=۲ \times ۲ \times ۳ \times ۵ \times ۵$ درآمده است. شمارنده‌های اول آن چه عددهایی‌اند؟
۵_ عدد b پس از تجزیه به صورت $b=۴ \times ۳ \times ۱۵ \times ۶$ درآمده است. شمارنده‌های اول آن چه عددهایی‌اند؟
۶_ عددهای زیر را با رسم نمودار درختی تجزیه کنید و شمارنده‌های اول آنها را مشخص کنید.
**۱. ساده شدن کسر:**
**خیر**، این کسر ساده نمی‌شود. زیرا برای ساده شدن یک کسر، باید صورت و مخرج آن حداقل یک شمارنده اول مشترک داشته باشند. در اینجا، شمارنده‌های اول صورت ($۲, ۳$) و مخرج ($۵, ۷$) هیچ اشتراکی با هم ندارند.
**۲. کسرهایی معادل $\frac{۳}{۵}$:**
برای ساختن کسرهای مساوی، صورت و مخرج را در یک عدد یکسان ضرب می‌کنیم:
$$ \frac{۳ \times ۲}{۵ \times ۲} = \frac{۶}{۱۰} \quad , \quad \frac{۳ \times ۳}{۵ \times ۳} = \frac{۹}{۱۵} \quad , \quad \frac{۳ \times ۱۰}{۵ \times ۱۰} = \frac{۳۰}{۵۰} $$
**۳. اعداد بین ۳۰ و ۵۰ با شمارنده‌های اول ۲ و ۳:**
باید اعدادی به فرم $۲^x \times ۳^y$ را پیدا کنیم که در بازه $(۳۰, ۵۰)$ باشند:
- $۲^۵ = ۳۲$
- $۲^۲ \times ۳^۲ = ۴ \times ۹ = ۳۶$
- $۲^۴ \times ۳ = ۱۶ \times ۳ = ۴۸$
سه عدد **۳۲**، **۳۶** و **۴۸** این ویژگی را دارند.
**۴. شمارنده‌های اول عدد a:**
شمارنده‌های اول، اعداد اول متمایزی هستند که در تجزیه عدد وجود دارند. برای عدد $a=۲ \times ۲ \times ۳ \times ۵ \times ۵$ شمارنده‌های اول عبارتند از: **۲، ۳ و ۵**.
**۵. شمارنده‌های اول عدد b:**
ابتدا باید b را به عوامل اول تجزیه کنیم:
$b = ۴ \times ۳ \times ۱۵ \times ۶ = (۲ \times ۲) \times ۳ \times (۳ \times ۵) \times (۲ \times ۳)$
شمارنده‌های اول متمایز عبارتند از: **۲، ۳ و ۵**.
**۶. تجزیه درختی:**
- **۲۹۷:** $۲۹۷ = ۳ \times ۹۹ = ۳ \times ۹ \times ۱۱ = ۳ \times ۳ \times ۳ \times ۱۱$. شمارنده‌های اول: **۳ و ۱۱**.
- **۱۰۴:** $۱۰۴ = ۲ \times ۵۲ = ۲ \times ۲ \times ۲۶ = ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۱۳$. شمارنده‌های اول: **۲ و ۱۳**.
- **۱۸۰:** $۱۸۰ = ۱۰ \times ۱۸ = (۲ \times ۵) \times (۲ \times ۹) = ۲ \times ۵ \times ۲ \times ۳ \times ۳$. شمارنده‌های اول: **۲، ۳ و ۵**.
۷_ عددهای ۷ و ۵ و ۱۳ اول‌اند. شمارنده‌های آنها را بنویسید و براساس آن، تعریف دیگری برای عددهای اول ارائه کنید.
ابتدا شمارنده‌های اعداد داده شده را می‌نویسیم:
- **شمارنده‌های ۵:** $۱, ۵$
- **شمارنده‌های ۷:** $۱, ۷$
- **شمارنده‌های ۱۳:** $۱, ۱۳$
**مشاهده و نتیجه‌گیری:**
با توجه به این مثال‌ها، مشاهده می‌کنیم که هر یک از این اعداد **دقیقاً دو شمارنده** دارند: عدد یک و خودشان.
**تعریف دیگر عدد اول:**
«عدد اول، یک عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک است که **دقیقاً دو شمارنده** دارد.»
۸_ جملات درست را با ✓ و نادرست را با ✕ مشخص کنید. دلیل نادرستی را توضیح دهید.
- **الف) تمام عددها شمارندهٔ اول دارند.** (✕)
**دلیل نادرستی:** عدد **۱** هیچ شمارنده اولی ندارد.
- **ب) اگر عددی زوج باشد، یکی از شمارنده‌های اولش ۲ است.** (✓)
(زیرا «زوج بودن» به معنای بخش‌پذیری بر عدد اول ۲ است.)
- **ج) هیچ عددی پیدا نمی‌شود که ۵ شمارندهٔ اول داشته باشد.** (✕)
**دلیل نادرستی:** می‌توانیم با ضرب کردن ۵ عدد اول متمایز، چنین عددی بسازیم. برای مثال، عدد $۲ \times ۳ \times ۵ \times ۷ \times ۱۱ = ۲۳۱۰$ دقیقاً پنج شمارنده اول دارد.
۹_ الگوهای شکل‌ها را به الگوهای عددی تبدیل کنید. جملهٔ nام هر کدام را بنویسید.
با شمردن تعداد مربع‌ها یا مکعب‌های کوچک در هر شکل، الگوی عددی را به دست آورده و سپس رابطه جبری آن را پیدا می‌کنیم.
**الگوی اول (مربع‌ها):**
- **الگوی عددی:** با شمردن تعداد مربع‌های کوچک در هر شکل، به دنباله زیر می‌رسیم:
$$۱, ۴, ۹, ۱۶, ...$$
- **جمله $n$ام:** هر جمله برابر با شماره شکل به توان ۲ است. این اعداد، **اعداد مربعی** نامیده می‌شوند.
**جمله $n$ام:** $$n^۲$$
**الگوی دوم (مکعب‌ها):**
- **الگوی عددی:** با شمردن تعداد مکعب‌های کوچک در هر شکل، به دنباله زیر می‌رسیم:
$$۱, ۸, ۲۷, ...$$
- **جمله $n$ام:** هر جمله برابر با شماره شکل به توان ۳ است. این اعداد، **اعداد مکعبی** نامیده می‌شوند.
**جمله $n$ام:** $$n^۳$$
