۱- عبارت جبری زیر را ساده کنید.
$ (a+b)^۲-(a-b)^۲= $
مقدار عددی عبارت حاصل را به ازاء a=۲ و b=-۲ به دست آورید.
**الف) ساده‌سازی عبارت جبری:**
برای ساده کردن این عبارت، از اتحادهای مربع دوجمله‌ای استفاده می‌کنیم:
- $ (a+b)^۲ = a^۲+۲ab+b^۲ $
- $ (a-b)^۲ = a^۲-۲ab+b^۲ $
حالا این دو را در عبارت اصلی جای‌گذاری می‌کنیم:
$ (a^۲+۲ab+b^۲) - (a^۲-۲ab+b^۲) $
علامت منفی را در پرانتز دوم توزیع می‌کنیم:
$ = a^۲+۲ab+b^۲ - a^۲+۲ab-b^۲ $
با حذف جملات قرینه، عبارت را ساده می‌کنیم:
$ = (a^۲-a^۲) + (b^۲-b^۲) + (۲ab+۲ab) = ۴ab $
بنابراین، شکل ساده شده عبارت برابر با **$۴ab$** است.
**ب) محاسبه مقدار عددی:**
مقادیر $a=۲$ و $b=-۲$ را در عبارت ساده شده ($۴ab$) قرار می‌دهیم:
$ ۴(۲)(-۲) = ۸(-۲) = -۱۶ $
مقدار عددی عبارت برابر با **$-۱۶$** است.
۲- معادله‌های زیر را حل کنید.
برای حل هر یک از این معادلات، با استفاده از عملیات جبری، متغیر $x$ را جدا می‌کنیم.
- **معادله اول:** $ ۲x - ۱ = ۳(x - ۱) $
۱. ابتدا عدد ۳ را در پرانتز ضرب می‌کنیم (خاصیت توزیع‌پذیری):
$ ۲x - ۱ = ۳x - ۳ $
۲. جملات شامل $x$ را به یک طرف و اعداد ثابت را به طرف دیگر منتقل می‌کنیم:
$ ۳ - ۱ = ۳x - ۲x $
۳. با ساده‌سازی، مقدار $x$ به دست می‌آید:
$ ۲ = x $
- **معادله دوم:** $ \frac{x-۱}{۲} - \frac{x+۱}{۳} = \frac{۱}{۶} $
۱. برای حذف مخرج‌ها، کل معادله را در کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها (ک.م.م ۲ و ۳ و ۶ که برابر با **۶** است) ضرب می‌کنیم:
$ ۶(\frac{x-۱}{۲}) - ۶(\frac{x+۱}{۳}) = ۶(\frac{۱}{۶}) $
۲. هر جمله را ساده می‌کنیم:
$ ۳(x-۱) - ۲(x+۱) = ۱ $
۳. پرانتزها را باز می‌کنیم (توجه به علامت منفی):
$ ۳x - ۳ - ۲x - ۲ = ۱ $
۴. جملات متشابه را با هم جمع می‌کنیم:
$ x - ۵ = ۱ $
۵. با انتقال عدد ثابت، $x$ به دست می‌آید:
$ x = ۱ + ۵ = ۶ $
