حل تمرین صفحه 148 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 150 - تمرین ترکیبی 2 این تمرین به رابطه‌ی بین **زاویه‌ی مرکزی** و **تعداد کمان‌های مساوی** که با استفاده از طول وتر ایجاد می‌شوند، می‌پردازد. ### قسمت اول: اندازه‌ی کمان $\overparen{AB}$ 1. **رابطه‌ی زاویه‌ی مرکزی و کمان:** اندازه‌ی کمان $\overparen{AB}$ **برابر** با اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی روبه‌رو به آن است ($\mathbf{\angle AOB}$). $${ \text{اندازه‌ی کمان } \overparen{AB} = \angle AOB }$$ $${ \mathbf{\overparen{AB} = 72^{\circ}} }$$ ### قسمت دوم: تعداد کمان‌های مساوی با طول وتر $\mathbf{\overline{AB}}$ 1. **وتر مساوی:** وقتی دهانه‌ی پرگار را به اندازه‌ی وتر $\mathbf{\overline{AB}}$ باز می‌کنیم و پی در پی کمان می‌زنیم، داریم وترهایی رسم می‌کنیم که همگی برابر با $\mathbf{\overline{AB}}$ هستند. 2. **رابطه‌ی وتر و کمان:** وترهای مساوی در یک دایره، **کمان‌های مساوی** جدا می‌کنند. 3. **اندازه‌ی کمان جدا شده:** هر کمان جدا شده اندازه‌ای برابر با کمان اولیه ($\overparen{AB}$) خواهد داشت، یعنی $\mathbf{72^{\circ}}$. 4. **تعداد تقسیمات:** برای پیدا کردن تعداد کمان‌های مساوی که کل دایره را پوشش می‌دهند، کافی است $360^{\circ}$ را بر اندازه‌ی هر کمان تقسیم کنیم: $${ \text{تعداد کمان‌ها} = \frac{360^{\circ}}{\text{اندازه‌ی هر کمان}} }$$ $${ \text{تعداد کمان‌ها} = \frac{360^{\circ}}{72^{\circ}} = 5 }$$ **پاسخ نهایی:** * اندازه‌ی کمان $\overparen{AB}$ برابر **۷۲ درجه** است. * **۵ کمان مساوی** روی دایره جدا می‌شود. (این در واقع به معنای محاط کردن یک **پنج ضلعی منتظم** است).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 150 - تمرین ترکیبی 4 این تمرین به یک قضیه‌ی مهم در مورد **چهارضلعی‌های محاطی** (چهارضلعی‌هایی که رئوس آن‌ها روی محیط دایره است) می‌پردازد. ### اثبات مجموع زوایای روبه‌رو 1. **زاویه‌های روبه‌رو:** در چهارضلعی $\mathbf{ABCD}$، زوایای روبه‌رو به هم عبارتند از: ($\mathbf{\hat{A}}$ و $\mathbf{\hat{C}}$) و ($\mathbf{\hat{B}}$ و $\mathbf{\hat{D}}$). 2. **رابطه‌ی زاویه‌ی محاطی و کمان:** هر زاویه‌ی داخلی این چهارضلعی، یک **زاویه‌ی محاطی** است و نصف کمان روبه‌رو به خود می‌باشد. * $\mathbf{\hat{B}}$ (زاویه‌ی محاطی) روبه‌رو به کمان $\overparen{ADC}$ است: $${ \hat{B} = \frac{1}{2} \overparen{ADC} }$$ * $\mathbf{\hat{D}}$ (زاویه‌ی محاطی) روبه‌رو به کمان $\overparen{ABC}$ است: $${ \hat{D} = \frac{1}{2} \overparen{ABC} }$$ 3. **محاسبه‌ی مجموع:** مجموع $\mathbf{\hat{B}}$ و $\mathbf{\hat{D}}$ را محاسبه می‌کنیم: $${ \hat{B} + \hat{D} = \frac{1}{2} \overparen{ADC} + \frac{1}{2} \overparen{ABC} }$$ $${ \hat{B} + \hat{D} = \frac{1}{2} (\overparen{ADC} + \overparen{ABC}) }$$ 4. **جمع کمان‌ها:** کمان $\overparen{ADC}$ و کمان $\overparen{ABC}$ در کنار هم، **کل دایره** را تشکیل می‌دهند. اندازه‌ی کل دایره $\mathbf{360^{\circ}}$ است. $${ \overparen{ADC} + \overparen{ABC} = 360^{\circ} }$$ 5. **نتیجه‌ی نهایی:** با جایگذاری $360^{\circ}$ در عبارت مجموع: $${ \hat{B} + \hat{D} = \frac{1}{2} (360^{\circ}) }$$ $${ \mathbf{\hat{B} + \hat{D} = 180^{\circ}} }$$ **نتیجه‌گیری:** مجموع دو زاویه‌ی روبه‌رو به هم در هر چهارضلعی که رئوس آن روی دایره باشد (چهارضلعی محاطی)، همواره برابر **$180^{\circ}$** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 150 - تمرین ترکیبی 5 این تمرین به رابطه‌ی زوایای مختلف در یک دایره (زاویه مرکزی، زاویه محاطی، و کمان‌ها) می‌پردازد. ### الف) اندازه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{O}_{۱}$ (زاویه‌ی مرکزی) 1. **زاویه‌ی $\mathbf{O}_{۱}$:** این زاویه ($\mathbf{\angle AOB}$) یک **زاویه‌ی مرکزی** است که روبه‌رو به کمان $\overparen{AB}$ با اندازه‌ی $\mathbf{x}$ درجه قرار دارد. 2. **رابطه:** اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی **برابر** با اندازه‌ی کمان روبه‌رو به آن است. * **پاسخ:** $\mathbf{\angle O}_{۱} = \mathbf{x}$ ### ب) اندازه‌ی کمان قرمزرنگ 1. **کمان قرمزرنگ:** این کمان، همان **کمان بزرگ‌تر** $\overparen{AB}$ است که از $\mathbf{A}$ شروع شده و از طریق $\mathbf{C}$ به $\mathbf{B}$ می‌رسد. این کمان، مکمل کمان کوچک‌تر $\overparen{AB}$ در دایره است. 2. **محاسبه:** اندازه‌ی کل دایره $360^{\circ}$ است. $${ \text{کمان قرمزرنگ} = 360^{\circ} - \text{کمان کوچک‌تر } \overparen{AB} }$$ * **پاسخ:** $\mathbf{360^{\circ} - x}$ ### ج) اندازه‌ی زاویه‌ی $\mathbf{\hat{C}}$ (زاویه‌ی محاطی) 1. **زاویه‌ی $\mathbf{\hat{C}}$:** این زاویه ($\mathbf{\angle ACB}$) یک **زاویه‌ی محاطی** است که رأس آن روی دایره قرار دارد. 2. **کمان روبه‌رو:** این زاویه روبه‌رو به کمان $\overparen{AB}$ (کمان کوچک‌تر) با اندازه‌ی $\mathbf{x}$ درجه قرار دارد. 3. **رابطه:** اندازه‌ی زاویه‌ی محاطی **نصف** اندازه‌ی کمان روبه‌رو به آن است. * **پاسخ:** $\mathbf{\hat{C} = \frac{x}{2}}$ **نتیجه‌گیری:** با مقایسه‌ی نتایج (الف) و (ج)، دیده می‌شود که $\mathbf{\hat{C} = \frac{1}{2} \angle O_{۱}}$، یعنی زاویه‌ی محاطی نصف زاویه‌ی مرکزی روبه‌رو به همان کمان است.