حل فعالیت صفحه 139 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 139 - فعالیت 1 سلام دانش‌آموزان خوبم! این فعالیت یک آزمایش عملی عالی برای کشف ویژگی‌های **دایره** و **وتر** است. ### گام‌های انجام فعالیت و تحلیل نتایج 1. **رسم وتر $\mathbf{AB}$:** پاره‌خطی که دو نقطه‌ی روی محیط دایره را به هم وصل می‌کند، **وتر** نام دارد. 2. **تا کردن کاغذ ($\mathbf{A}$ روی $\mathbf{B}$):** وقتی شما دایره را طوری تا می‌کنید که نقاط $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$ دقیقاً روی هم منطبق شوند، خط تای ایجاد شده: * بر وتر $\mathbf{AB}$ **عمود** است (زاویه‌ی $90^{\circ}$ می‌سازد). * وتر $\mathbf{AB}$ را **نصف** می‌کند (از وسط آن می‌گذرد). ### نام پاره‌خط ایجاد شده (خط تا) در هندسه، خطی که بر یک پاره‌خط عمود باشد و از وسط آن بگذرد، **عمودمنصف** آن پاره‌خط نامیده می‌شود. * **پاسخ:** در هندسه به این پاره‌خط **عمودمنصف وتر $\mathbf{AB}$** می‌گویند. ### تکرار عملیات برای وتر دوم اگر همین مراحل را برای یک وتر دیگر، مثلاً $\mathbf{CD}$، تکرار کنید، یک خط تای جدید (عمودمنصف وتر $\mathbf{CD}$) به دست می‌آید. ### محل تقاطع عمودمنصف‌ها **قانون مهم:** در هر دایره، **عمودمنصف هر وتر** همیشه از **مرکز دایره** می‌گذرد. * عمودمنصف وتر $\mathbf{AB}$ از مرکز دایره ($\mathbf{O}$) می‌گذرد. * عمودمنصف وتر $\mathbf{CD}$ نیز از مرکز دایره ($\mathbf{O}$) می‌گذرد. * **پاسخ:** دو پاره‌خط (خطوط تا) یکدیگر را در **مرکز دایره** (نقطه‌ی $\mathbf{O}$) قطع می‌کنند. **نتیجه‌گیری مهم:** با استفاده از این روش (رسم عمودمنصف دو وتر غیرموازی)، می‌توانیم **مرکز هر دایره** یا حتی مرکز قوسی از یک دایره را پیدا کنیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 139 - فعالیت 3 این فعالیت یک کاربرد بسیار جالب و عملی از خاصیت **عمودمنصف وتر** است که در فعالیت ۱ آن را بررسی کردیم. هدف ما پیدا کردن **قطر** بشقاب است، اما برای پیدا کردن قطر، ابتدا باید **مرکز دایره** (بشقاب) را مشخص کنیم. ### گام به گام برای پیدا کردن مرکز و قطر بشقاب 1. **رسم دو وتر:** روی لبه‌ی شکسته‌ی بشقاب (که بخشی از محیط دایره است)، دو نقطه‌ی دلخواه را به هم وصل کنید تا **وتر اول**، مثلاً $\mathbf{AB}$، به دست آید. سپس دو نقطه‌ی دیگر را به هم وصل کنید تا **وتر دوم**، مثلاً $\mathbf{CD}$، به دست آید. مهم است که این دو وتر **موازی نباشند**. 2. **رسم عمودمنصف وتر اول:** با استفاده از پرگار یا به روش تا کردن (مانند فعالیت ۱)، **عمودمنصف وتر $\mathbf{AB}$** را رسم کنید. 3. **رسم عمودمنصف وتر دوم:** به همین ترتیب، **عمودمنصف وتر $\mathbf{CD}$** را رسم کنید. 4. **پیدا کردن مرکز ($\mathbf{O}$):** طبق قانون هندسی دایره، **عمودمنصف هر وتر از مرکز دایره می‌گذرد.** بنابراین، نقطه‌ای که این دو عمودمنصف یکدیگر را قطع می‌کنند، همان **مرکز دایره** ($\mathbf{O}$) اصلی بشقاب است. 5. **اندازه‌گیری شعاع ($\mathbf{r}$):** حالا که مرکز $\mathbf{O}$ را داریم، می‌توانیم فاصله‌ی $\mathbf{O}$ را تا هر نقطه‌ای روی لبه‌ی بشقاب اندازه بگیریم. این فاصله همان **شعاع** ($\mathbf{r}$) بشقاب است. 6. **محاسبه‌ی قطر:** قطر دایره دو برابر شعاع آن است. $${ \mathbf{قطر} = 2 \times \mathbf{r} }$$ با این روش هندسی، اندازه‌ی قطر بشقاب قدیمی پیدا می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 139 - فعالیت 2 و 4 این فعالیت دو راه مختلف را برای اثبات یک خاصیت مهم وتـرها در دایره نشان می‌دهد: **خاصیت مورد نظر:** در هر دایره، خطی که از مرکز بر یک وتر عمود می‌شود، آن وتر را **نصف** می‌کند؛ و برعکس، خطی که از مرکز دایره به نقطه‌ی وسط وتر وصل می‌شود، بر آن وتر **عمود** است. ### تحلیل متن سمت چپ (اثبات نصف کردن وتر توسط خط عمود از مرکز) **فرض:** خطی از مرکز $\mathbf{O}$ بر وتر $\mathbf{AB}$ عمود شده است. پای عمود $\mathbf{H}$ است. ($ \mathbf{\overline{OH}} \perp \mathbf{\overline{AB}} $) **مراحل اثبات:** 1. مثلث‌های $\mathbf{AOH}$ و $\mathbf{BOH}$ را در نظر می‌گیریم. 2. ضلع $\mathbf{OA}$ و $\mathbf{OB}$ برابرند (چون هر دو **شعاع** دایره هستند). ($\mathbf{\overline{OA}} = \mathbf{\overline{OB}} = \mathbf{r}$) 3. ضلع $\mathbf{OH}$ در هر دو مثلث مشترک است. ($\mathbf{\overline{OH}}$ مشترک) 4. چون $\mathbf{\overline{OH}} \perp \mathbf{\overline{AB}}$ است، زاویه‌ی $\hat{H}_{۱}$ و $\hat{H}_{۲}$ برابر $90^{\circ}$ هستند (در متن به اشتباه به $\hat{A}$ اشاره شده است، باید $\hat{H}$ باشد). 5. بر اساس حالت هم‌نهشتی **وتر و یک ضلع** $(\mathbf{W.D})$ در مثلث‌های قائم‌الزاویه، دو مثلث $\mathbf{AOH}$ و $\mathbf{BOH}$ با هم **هم‌نهشت** هستند. ($\mathbf{\triangle AOH} \cong \mathbf{\triangle BOH}$) **نتیجه‌ی متن چپ:** چون دو مثلث هم‌نهشت هستند، اجزای متناظر آن‌ها برابرند. پس ضلع $\mathbf{\overline{AH}}$ با ضلع $\mathbf{\overline{BH}}$ برابر است. $${ \mathbf{\overline{AH}} = \mathbf{\overline{BH}} }$$ **نتیجه‌گیری:** **خطی که از مرکز بر وتر عمود می‌شود، آن وتر را نصف می‌کند.** ### تحلیل متن سمت راست (اثبات عمود بودن خط واصل مرکز به وسط وتر) **فرض:** نقطه‌ی $\mathbf{M}$ وسط وتر $\mathbf{AB}$ است. ($\mathbf{\overline{AM}} = \mathbf{\overline{BM}}$) **مراحل اثبات:** 1. مثلث‌های $\mathbf{AOM}$ و $\mathbf{BOM}$ را در نظر می‌گیریم. 2. ضلع $\mathbf{OA}$ و $\mathbf{OB}$ برابرند (هر دو شعاع). ($\mathbf{\overline{OA}} = \mathbf{\overline{OB}} = \mathbf{r}$) 3. ضلع $\mathbf{OM}$ در هر دو مثلث مشترک است. ($\mathbf{\overline{OM}}$ مشترک) 4. ضلع $\mathbf{AM}$ و $\mathbf{BM}$ برابرند (طبق فرض $\mathbf{M}$ وسط وتر است). ($\mathbf{\overline{AM}} = \mathbf{\overline{BM}}$) 5. بر اساس حالت هم‌نهشتی **سه ضلع** $(\mathbf{Z.Z.Z})$، دو مثلث $\mathbf{AOM}$ و $\mathbf{BOM}$ با هم **هم‌نهشت** هستند. ($\mathbf{\triangle AOM} \cong \mathbf{\triangle BOM}$) **نتیجه‌ی متن راست:** چون دو مثلث هم‌نهشت هستند، زوایای متناظر آن‌ها برابرند. پس زاویه‌ی $\hat{M}_{۱}$ با زاویه‌ی $\hat{M}_{۲}$ برابر است. ($\hat{M}_{۱} = \hat{M}_{۲}$) * زاویه‌های $\hat{M}_{۱}$ و $\hat{M}_{۲}$ روی یک خط راست قرار دارند و در نتیجه مکمل یکدیگرند (مجموعشان $180^{\circ}$ است). * چون $\hat{M}_{۱} = \hat{M}_{۲}$ و $\hat{M}_{۱} + \hat{M}_{۲} = 180^{\circ}$، پس $\hat{M}_{۱} = \hat{M}_{۲} = 90^{\circ}$. **نتیجه‌گیری:** **خطی که مرکز دایره را به وسط وتر وصل می‌کند، بر آن وتر عمود است.** ### تفاوت دو متن **تفاوت این دو اثبات در "فرض" و "حکم" آن‌هاست:** * **متن چپ:** فرض می‌کند که خط $\mathbf{OM}$ **عمود** است، و ثابت می‌کند که وتر **نصف** می‌شود. * **متن راست:** فرض می‌کند که خط $\mathbf{OM}$ به **وسط وتر** وصل شده، و ثابت می‌کند که خط $\mathbf{OM}$ بر وتر **عمود** است. در واقع، این دو متن دو روی یک سکه (خاصیت) هستند و در کنار هم، خاصیت **عمودمنصف وتر** را به طور کامل اثبات می‌کنند.