ادامه حل تمرین صفحه 117 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 117 - تمرین 10 برای اینکه یک رابطه چندضابطه‌ای تابع باشد، نباید در دامنه‌های تعریف شده **هم‌پوشانی** داشته باشیم که باعث شود برای یک $$x$$ دو خروجی متفاوت به دست بیاید. **تحلیل رابطه f:** دامنه‌ی ضابطه اول $$x > 0$$ و ضابطه دوم $$x \le 2$$ است. دقت کنید که در بازه‌ی $$(0, 2]$$ این دو دامنه با هم مشترک هستند. مثلاً اگر $$x=1$$ را انتخاب کنیم، هم ضابطه اول آن را قبول می‌کند ($$y=1$$) و هم ضابطه دوم ($$y=1+2=3$$). چون یک ورودی دو خروجی متفاوت دارد، این رابطه **تابع نیست**. **تحلیل رابطه g:** دامنه‌ی ضابطه اول تمام اعداد منفی ($$x < 0$$) و ضابطه دوم تمام اعداد غیرمنفی ($$x \ge 0$$) است. این دو دامنه هیچ اشتراکی با هم ندارند و کل محور $$x$$ را هم پوشش می‌دهند. پس به ازای هر $$x$$ دقیقاً یک ضابطه و یک خروجی داریم. این رابطه **تابع است**. **رسم نمودار g:** * برای قسمت منفی، نیم‌خطی با شیب ۲ که به مبدأ (توخالی) می‌رسد. * برای قسمت مثبت، نیم‌خطی که از نقطه $$(0, 1)$$ (توپر) شروع شده و با شیب ۱ بالا می‌رود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 117 - تمرین 11 سلام به دوستان ریاضی‌دوست! بیایید با هم این الگوی هندسی زیبا را تحلیل کنیم. **گام اول: کشف الگو برای محیط شکل** با نگاه به تصویر، محیط هر مرحله را با جمع زدن طول اضلاع بیرونی حساب می‌کنیم: * **شکل ۱ (یک ذوزنقه):** محیط برابر است با $$1 + 1 + 1 + 2 = 5$$. * **شکل ۲ (دو ذوزنقه):** با چسبیدن دو ذوزنقه، دو ضلع به طول ۱ از محیط حذف می‌شوند. محیط جدید برابر است با $$1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 8$$. * **شکل ۳ (سه ذوزنقه):** با اضافه شدن هر ذوزنقه، محیط ۳ واحد افزایش می‌یابد. پس محیط برابر $$11$$ است. **گام دوم: تکمیل جدول و ضابطه عمومی** رابطه یک دنباله حسابی با قدرنسبت ۳ است. فرمول محیط ($$P$$) برحسب تعداد ذوزنقه‌ها ($$n$$) به صورت زیر است: $$P(n) = 3n + 2$$ تکمیل جدول: برای $$n=4$$ محیط ۱۴، برای $$n=5$$ محیط ۱۷ و برای $$n$$ محیط $$3n+2$$ است. **گام سوم: بررسی تابع بودن و مشخصات آن** * **چرا تابع است؟** زیرا به ازای هر تعداد مشخص از ذوزنقه‌ها، فقط و فقط یک مقدار منحصر‌به‌فرد برای محیط به دست می‌آید. * **دامنه:** تعداد ذوزنقه‌ها نمی‌تواند منفی یا کسری باشد، پس دامنه مجموعه **اعداد طبیعی** یا $$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$$ است. * **برد:** مقادیر محیط که به صورت $$\{5, 8, 11, 14, \dots\}$$ به دست می‌آیند. **گام چهارم: نمودار** نمودار این تابع به صورت **نقاط مجزا** در دستگاه مختصات است که همگی روی یک خط راست فرضی قرار می‌گیرند، اما نباید آن‌ها را به هم وصل کرد چون تعداد ذوزنقه عدد اعشاری نمی‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 117 - تمرین 12 در این مسئله می‌خواهیم معادله یک **سهمی** یا همان تابع درجه دوم را پیدا کنیم. فرم کلی این تابع به صورت $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ است. **گام اول: پیدا کردن مقدار c** سوال گفته سهمی محور $$y$$ها را در عرض ۱ قطع می‌کند. این یعنی نقطه $$(0, 1)$$ روی سهمی است. با جایگذاری $$x=0$$ در معادله، بلافاصله متوجه می‌شویم که $$c = 1$$. **گام دوم: تشکیل دستگاه معادلات برای a و b** حالا دو نقطه دیگر را در معادله $$f(x) = ax^2 + bx + 1$$ جایگذاری می‌کنیم: 1. برای نقطه $$(2, -1)$$: $$-1 = a(2)^2 + b(2) + 1 \Rightarrow 4a + 2b = -2 \Rightarrow 2a + b = -1$$ 2. برای نقطه $$(-3, 1)$$: $$1 = a(-3)^2 + b(-3) + 1 \Rightarrow 9a - 3b = 0 \Rightarrow 3a = b$$ **گام سوم: حل دستگاه** با جایگذاری $$b = 3a$$ در معادله اول: $$2a + 3a = -1 \Rightarrow 5a = -1 \Rightarrow a = -0.2$$ سپس: $$b = 3(-0.2) = -0.6$$. **گام چهارم: مشخصات نهایی** * **نمایش جبری:** $$f(x) = -0.2x^2 - 0.6x + 1$$ * **دامنه:** کل اعداد حقیقی ($$\mathbb{R}$$). * **برد:** چون $$a$$ منفی است، دهانه سهمی رو به پایین است. با پیدا کردن رأس سهمی، برد از منفی بی‌نهایت تا عرض رأس خواهد بود.