پاسخ فعالیت صفحه 36 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 36 ریاضی دهم - بخش ۱ سلام! این فعالیت برای درک بهتر **مفهوم دایره‌ی مثلثاتی** و نمایش زوایا بر اساس جهت‌گیری مثبت و منفی است. در دایره‌ی مثلثاتی، مبدأ اندازه‌گیری همواره **جهت مثبت محور $x$ها** (ضلع ابتدایی زاویه) است. * **جهت مثبت:** حرکت پادساعتگرد (خلاف جهت عقربه‌های ساعت). * **جهت منفی:** حرکت ساعتگرد (هم جهت عقربه‌های ساعت). --- ### **نمایش زوایای داده‌شده:** **۱. زاویه‌ی $-30^\circ$** * **تحلیل:** این زاویه منفی است، پس باید **ساعتگرد** حرکت کنیم. از محور $x$ مثبت، $30$ درجه به سمت پایین (ربع چهارم) حرکت می‌کنیم. * **تصویر ذهنی:** یک خط که در ربع چهارم، $30$ درجه زیر محور $x$ قرار می‌گیرد. **۲. زاویه‌ی $135^\circ$** * **تحلیل:** این زاویه مثبت است، پس باید **پادساعتگرد** حرکت کنیم. * $90$ درجه اول، ما را به محور $y$ مثبت می‌رساند. * $45$ درجه دیگر ($135 - 90 = 45$) ما را وارد ربع دوم می‌کند. * **تصویر ذهنی:** یک خط که در ربع دوم قرار دارد و زاویه‌ی $45$ درجه با محور $y$ مثبت یا محور $x$ منفی می‌سازد. **۳. زاویه‌ی $-270^\circ$** * **تحلیل:** این زاویه منفی است، پس باید **ساعتگرد** حرکت کنیم. * $90$ درجه اول: رسیدن به محور $y$ منفی. * $90$ درجه دوم: رسیدن به محور $x$ منفی. * $90$ درجه سوم ($270 = 3 \times 90$): رسیدن به محور $y$ مثبت. * **تصویر ذهنی:** ضلع انتهایی زاویه دقیقاً روی **محور $y$ مثبت** قرار می‌گیرد. این زاویه معادل زاویه‌ی $\mathbf{+90^\circ}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 36 ریاضی دهم - بخش ۲ (الف) این بخش، **تعریف بنیادین** نسبت‌های مثلثاتی بر روی **دایره‌ی مثلثاتی** (دایره‌ی واحد با شعاع $r=1$) است. ### **تحلیل مثلث قائم‌الزاویه‌ی $OPQ$** نقطه‌ی $P(x, y)$ روی دایره قرار دارد و $Q$ پای عمود بر محور $x$ است. این سه نقطه یک مثلث قائم‌الزاویه $\triangle OPQ$ تشکیل می‌دهند. * **طول ضلع $OQ$ (ضلع مجاور به $\theta$):** فاصله از مبدأ تا $Q$ روی محور $x$، که برابر است با **مختصات $x$** نقطه‌ی $P$. یعنی $OQ = x$. * **طول ضلع $PQ$ (ضلع مقابل به $\theta$):** ارتفاع از محور $x$ تا $P$، که برابر است با **مختصات $y$** نقطه‌ی $P$. یعنی $PQ = y$. * **طول ضلع $OP$ (وتر):** شعاع دایره است. چون این دایره، **دایره‌ی مثلثاتی** نام دارد، شعاع آن همواره برابر با $\mathbf{1}$ است. یعنی $OP = 1$. ### **محاسبه نسبت‌های مثلثاتی** حالا با استفاده از تعاریف اولیه نسبت‌های مثلثاتی در مثلث قائم‌الزاویه، جاهای خالی را پر می‌کنیم: 1. **کسینوس (مجاور بر وتر):** $$\cos \theta = \frac{OQ}{OP} = \frac{x}{1} = \mathbf{x}$$ 2. **سینوس (مقابل بر وتر):** $$\sin \theta = \frac{PQ}{OP} = \frac{y}{1} = \mathbf{y}$$ 3. **تانژانت (مقابل بر مجاور):** $$\tan \theta = \frac{PQ}{OQ} = \mathbf{\frac{y}{x}}$$ **نتیجه‌ی مهم:** این نتایج نشان می‌دهند که در دایره‌ی مثلثاتی، **مختصات $x$ نقطه‌ی $P$** همان **$\cos \theta$** و **مختصات $y$ نقطه‌ی $P$** همان **$\sin \theta$** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 36 ریاضی دهم - بخش ۲ (ب) این بخش، جمع‌بندی مفهوم سینوس و کسینوس بر اساس مختصات نقاط روی دایره‌ی مثلثاتی است. ### **تحلیل و تکمیل جاهای خالی** از قسمت (الف) می‌دانیم که: * $\cos \theta = x$ (مختصات افقی نقطه‌ی $P$) * $\sin \theta = y$ (مختصات عمودی نقطه‌ی $P$) **۱. فاصله‌ی $Q$ تا مبدأ ($OQ$):** فاصله $OQ$ برابر با مختصات $x$ نقطه‌ی $P$ است. از آنجایی که $\cos \theta = x$، پس این فاصله با **$\mathbf{\cos \theta}$** برابر است. **۲. فاصله‌ی $P$ تا پای عمود ($PQ$):** فاصله $PQ$ برابر با مختصات $y$ نقطه‌ی $P$ است. از آنجایی که $\sin \theta = y$، پس این فاصله با **$\mathbf{\sin \theta}$** برابر است. **پاسخ نهایی جاهای خالی:** (ب) با توجه به قسمت (الف) می‌توان دید فاصله‌ی $Q$ تا مبدأ با **$\mathbf{\cos \theta}$** برابر است و فاصله‌ی نقطه‌ی $P$ تا پای عمود، یعنی نقطه‌ی $Q$ با **$\mathbf{\sin \theta}$** برابر است.