حل کاردرکلاس صفحه 51 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 51 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این فعالیت در مورد مفهوم **ریشه‌ی $n$اُم زوج** (ریشه‌ی چهارم) است. نکته‌ی مهم این است که اعداد مثبت دو ریشه‌ی چهارم دارند: یکی مثبت و دیگری منفی. ### **تکمیل جدول ریشه‌های چهارم** ما باید اعدادی را پیدا کنیم که وقتی به توان $4$ می‌رسند، برابر با عدد ستون اول شوند ($a^4 = \text{عدد}$). 1. **ستون سوم ($10,000$):** * $$a^4 = 10,000 \Rightarrow a = \sqrt[4]{10,000}$$ * چون $10^4 = 10,000$ و $(-10)^4 = 10,000$. * **ریشه‌ها:** $\mathbf{10, -10}$ 2. **ستون چهارم ($3125$):** * $$a^4 = 3125$$ * توجه: $5^4 = 625$. پس $3125$ ریشه‌ی چهارم صحیح ندارد. شاید منظور ریشه‌ی **پنجم** باشد (چون $5^5 = 3125$)، اما چون عنوان ستون "ریشه‌های چهارم" است و عدد $3125$ ریشه‌ی چهارم کامل نیست، ریشه‌ها به صورت زیر خواهند بود: * **ریشه‌ها:** $\mathbf{\sqrt[4]{3125}, -\sqrt[4]{3125}}$ (در صورت تمایل به ساده‌سازی: $\sqrt[4]{3125} = \sqrt[4]{625 \times 5} = 5\sqrt[4]{5}$) 3. **ستون پنجم (دلخواه):** ما عدد $\mathbf{81}$ را انتخاب می‌کنیم. * $$a^4 = 81$$ * **ریشه‌ها:** $\mathbf{3, -3}$ **جدول کامل‌شده:** | عدد | $16$ | $625$ | $10,000$ | $3125$ | $\mathbf{81}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | ریشه‌های چهارم | $2, -2$ | $5, -5$ | $\mathbf{10, -10}$ | $\mathbf{\sqrt[4]{3125}, -\sqrt[4]{3125}}$ | $\mathbf{3, -3}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 51 ریاضی دهم - مسئله ۲ این فعالیت در مورد مفهوم **ریشه‌ی $n$اُم فرد** (ریشه‌ی پنجم) است. نکته‌ی مهم این است که اعداد مثبت و منفی، تنها **یک ریشه‌ی پنجم حقیقی** دارند که هم‌علامت خود عدد است. ### **تکمیل جدول ریشه‌های پنجم** ما باید از رابطه‌ی $a^5 = \text{عدد}$ استفاده کنیم. 1. **ستون اول ($-32$):** * ریشه‌ی پنجم: $-2$. (چون $(-2)^5 = -32$) 2. **ستون دوم (عدد مجهول):** ریشه‌ی پنجم $5$ است. * $a = 5 \Rightarrow \text{عدد} = 5^5 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = \mathbf{3125}$ 3. **ستون سوم ($-243$):** * $$a^5 = -243$$ * چون $3^5 = 243$، پس $(-3)^5 = -243$. * **ریشه‌ی پنجم:** $\mathbf{-3}$ 4. **ستون چهارم (عدد مجهول):** ریشه‌ی پنجم $-1$ است. * $a = -1 \Rightarrow \text{عدد} = (-1)^5 = \mathbf{-1}$ 5. **ستون پنجم (عدد مجهول):** ریشه‌ی پنجم $-10$ است. * $a = -10 \Rightarrow \text{عدد} = (-10)^5 = \mathbf{-100,000}$ **جدول کامل‌شده:** | عدد | $-32$ | $\mathbf{3125}$ | $-243$ | $\mathbf{-1}$ | $\mathbf{-100,000}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | ریشه پنجم | $-2$ | $5$ | $\mathbf{-3}$ | $-1$ | $-10$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 51 ریاضی دهم - مسئله ۳ این سوال می‌پرسد که برای چه اعدادی، اگر آن‌ها را **پنج بار** در خودشان ضرب کنیم (ریشه‌ی پنجم آن‌ها را بگیریم)، نتیجه همان خود عدد می‌شود. ### **تحلیل ریاضی** ما دنبال اعدادی مثل $x$ هستیم که در معادله‌ی زیر صدق کنند: $$\sqrt[5]{x} = x$$ برای حل این معادله، دو طرف را به توان $5$ می‌رسانیم: $$x = x^5$$ حالا معادله را مرتب می‌کنیم: $$x^5 - x = 0$$ از عامل مشترک $x$ فاکتور می‌گیریم: $$x(x^4 - 1) = 0$$ برای اینکه حاصل‌ضرب دو عبارت صفر شود، حداقل یکی از آن‌ها باید صفر باشد: 1. **حالت اول:** $x = \mathbf{0}$ 2. **حالت دوم:** $x^4 - 1 = 0 \Rightarrow x^4 = 1$ * اعدادی که توان $4$ آن‌ها $1$ می‌شود، $1$ و $-1$ هستند. * $x = \mathbf{1}$ * $x = \mathbf{-1}$ **بررسی ریشه‌ی پنجم:** * $\sqrt[5]{0} = 0 \quad (0 = 0)$ * $\sqrt[5]{1} = 1 \quad (1 = 1)$ * $\sqrt[5]{-1} = -1 \quad (-1 = -1)$ **پاسخ نهایی:** ریشه‌ی پنجم عددهای **$0$، $1$ و $-1$** با خودشان برابر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 51 ریاضی دهم - مسئله ۴ برای محاسبه‌ی ریشه‌ی $n$اُم یک کسر یا عدد اعشاری، کافی است صورت و مخرج را (یا عدد اعشاری را به کسر تبدیل کرده و سپس صورت و مخرج) جداگانه ریشه‌ی $n$اُم بگیریم. ### **۱. $\mathbf{\sqrt[5]{\frac{1}{100,000}}}$** $$\sqrt[5]{\frac{1}{100,000}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{100,000}}$$ * $\sqrt[5]{1} = 1$ * $\sqrt[5]{100,000} = 10 \quad (\text{چون } 10^5 = 100,000)$ $$\sqrt[5]{\frac{1}{100,000}} = \mathbf{\frac{1}{10}}$$ (یا $0.1$) --- ### **۲. $\mathbf{\sqrt[5]{-0.00032}}$** ابتدا عدد اعشاری را به کسر تبدیل می‌کنیم: $$-0.00032 = -\frac{32}{100,000}$$ $$\sqrt[5]{-\frac{32}{100,000}} = \frac{\sqrt[5]{-32}}{\sqrt[5]{100,000}}$$ * $\sqrt[5]{-32} = -2 \quad (\text{چون } (-2)^5 = -32)$ * $\sqrt[5]{100,000} = 10$ (محاسبه‌شده در بالا) $$\sqrt[5]{-0.00032} = \frac{-2}{10} = \mathbf{-\frac{1}{5}}$$ (یا $-0.2$) --- ### **۳. $\mathbf{\sqrt[5]{\frac{1}{32}}}$** $$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}$$ * $\sqrt[5]{1} = 1$ * $\sqrt[5]{32} = 2 \quad (\text{چون } 2^5 = 32)$ $$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$ (یا $0.5$)

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 51 ریاضی دهم - مسئله ۵ این عبارت، جمع‌بندی‌ای از ویژگی‌های اصلی **ریشه‌ی $n$اُم فرد** (ریشه‌ی پنجم) در مجموعه‌ی اعداد حقیقی است. ### **تکمیل عبارت (ریشه‌ی پنجم)** **توضیح:** ریشه‌ی فرد یک عدد حقیقی (مانند ریشه‌ی سوم، پنجم، هفتم و...) همواره **یکتا** است و علامتش با خود عدد یکسان است. * **هر عدد مثبت یا منفی دارای:** **یک** ریشه‌ی پنجم است. * **اگر عدد مثبت باشد:** ریشه‌ی پنجم آن **مثبت** است. (مثلاً $\sqrt[5]{32} = 2$) * **اگر عدد منفی باشد:** ریشه‌ی پنجم آن **منفی** است. (مثلاً $\sqrt[5]{-32} = -2$) **عبارت کامل‌شده:** هر عدد مثبت یا منفی دارای **یک** ریشه‌ی پنجم است. اگر عدد مثبت باشد، ریشه‌ی پنجم آن **مثبت** و اگر عدد منفی باشد، ریشه‌ی پنجم آن **منفی** است.