فعالیت ریاضی دهم - تبدیل توان و رادیکال
اکنون با هر تساوی توانی یک تساوی رادیکالی بنویسید. همچنین نظیر هر تساوی رادیکالی یک تساوی توانی بنویسید. مانند نمونه‌ها:
$$(-3)^3 = -27 \Leftrightarrow \sqrt[3]{-27} = -3$$
$$9^2 = 81 \Leftrightarrow \sqrt{81} = 9$$
$$(-5)^3 = -125 \Leftrightarrow \underline{\hspace{1cm}}$$
$$(0.25)^2 = 0.0625 \Leftrightarrow \underline{\hspace{1cm}}$$
$$(0.5)^2 = 0.25 \Leftrightarrow \underline{\hspace{1cm}}$$
$$\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \Leftrightarrow \underline{\hspace{1cm}}$$
$$\sqrt[3]{-8} = -2 \Leftrightarrow \underline{\hspace{1cm}}$$
$$\sqrt{45} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow \underline{\hspace{1cm}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 48 ریاضی دهم - تبدیل توان و رادیکال
این فعالیت به شما کمک می‌کند تا رابطه‌ی متقابل و بنیادین بین **توان** (به‌ویژه توان‌های صحیح) و **ریشه** (رادیکال) را درک کنید.
**قاعده:** اگر $a^n = b$ باشد، آن‌گاه $\sqrt[n]{b} = a$.
### **تبدیل تساوی‌های توانی به رادیکالی**
1. **$$(-5)^3 = -125 \Leftrightarrow \mathbf{\sqrt[3]{-125} = -5}$$**
(ریشه‌ی سوم عدد منفی، یک عدد منفی است.)
2. **$$(0.25)^2 = 0.0625 \Leftrightarrow \mathbf{\sqrt{0.0625} = 0.25}$$**
(ریشه‌ی دوم یک عدد مثبت، یک عدد مثبت است.)
3. **$$(0.5)^2 = 0.25 \Leftrightarrow \mathbf{\sqrt{0.25} = 0.5}$$**
(ریشه‌ی دوم یک عدد مثبت، یک عدد مثبت است.)
### **تبدیل تساوی‌های رادیکالی به توانی**
توجه کنید که در ریشه‌ی دوم ($\sqrt{\hspace{0.1cm}}$)، فرجه‌ی $2$ نوشته نمی‌شود.
1. **$$\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \Leftrightarrow \mathbf{\sqrt{50^2} = 50}$$** (این تساوی، سمت چپ را ثابت نگه داشته است. اگر بخواهیم دقیقاً آن را به فرم توانی ببریم، باید از مبدأ آن شروع کنیم. اما با توجه به ساختار سؤال:
$$\mathbf{(5\sqrt{2})^2 = 50}$$ (چرا؟ $5^2 \times (\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$)
2. **$$\sqrt[3]{-8} = -2 \Leftrightarrow \mathbf{(-2)^3 = -8}$$**
(ریشه‌ی سوم $-8$ عدد $-2$ است، پس $-2$ به توان $3$ برابر $-8$ می‌شود.)
3. **$$\sqrt{45} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow \mathbf{(3\sqrt{5})^2 = 45}$$**
(چرا؟ $3^2 \times (\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45$)
