پاسخ فعالیت صفحه 8 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه ۸ ریاضی دهم سلام دانش‌آموزان خوب! این فعالیت تفاوت اساسی بین مجموعه‌های **اعداد صحیح** ($\mathbb{Z}$) و **اعداد حقیقی** ($\mathbb{R}$) و همچنین مفهوم مهم **متمم مجموعه** را نشان می‌دهد. با دقت به هر مرحله توجه کنید. ### الف) نمایش اعضا روی محور **۱. مجموعه‌ی $\text{A}$:** $$\text{A} = \{x \in \mathbb{Z} \mid -۳ < x \leq ۲\}$$ * $\mathbf{x \in \mathbb{Z}}$: یعنی فقط **اعداد صحیح** (بدون کسر و اعشار) را شامل می‌شود. * $\mathbf{-۳ < x \leq ۲}$: یعنی اعداد صحیح بزرگتر از $-۳$ و کوچکتر یا مساوی $۲$. * اعداد صحیح مورد نظر: **$-۲, -۱, ۰, ۱, ۲$**. * **نمایش روی محور:** فقط نقاط گسسته (جدا از هم) $-۲$، $-۱$، $۰$، $۱$ و $۲$ را پررنگ می‌کنیم. **۲. مجموعه‌ی $\text{B}$:** $$\text{B} = \{x \in \mathbb{R} \mid -۳ < x \leq ۲\}$$ * $\mathbf{x \in \mathbb{R}}$: یعنی **تمام اعداد حقیقی** (شامل کسر و اعشار) بین حدود مشخص شده. * $\mathbf{-۳ < x \leq ۲}$: یعنی تمام اعداد بزرگتر از $-۳$ (بدون خود $-۳$) تا عدد $۲$ (با شمول خود $۲$). * **نمایش روی محور:** یک **پاره‌خط پیوسته** از $-۳$ تا $۲$ رسم می‌کنیم. دایره‌ی **باز** روی $-۳$ و دایره‌ی **بسته** روی $۲$ قرار می‌گیرد. --- ### ب) نوشتن $\text{A}$ با اعضا و $\text{B}$ به صورت بازه * **$\\text{A}$ با نمایش اعضا:** $$\mathbf{\text{A} = \{-۲, -۱, ۰, ۱, ۲\}}$$ * **$\\text{B}$ به صورت بازه:** * در سمت چپ، چون $-۳ < x$، بازه **باز** است (پرانتز). * در سمت راست، چون $x \leq ۲$، بازه **بسته** است (قلاب). $$\mathbf{\text{B} = (-۳, ۲]}$$ --- ### پ) متمم $\text{A}$ ($\\text{A}'$) با مجموعه‌ی مرجع $\mathbb{Z}$ **متمم مجموعه** ($\text{A}'$) شامل اعضایی از **مجموعه‌ی مرجع** ($\mathbb{U}$) است که در $\text{A}$ نیستند. در این بخش مجموعه‌ی مرجع ما **اعداد صحیح** ($\mathbb{Z}$) است. * $\text{A}' = \mathbb{Z} - \text{A}$ * $\text{A}$ شامل $\{-۲, -۱, ۰, ۱, ۲\}$ است. * $\text{A}'$ شامل تمام اعداد صحیحی است که در این لیست نیستند. * بنابراین، $\text{A}'$ شامل تمام اعداد صحیح **کوچکتر یا مساوی $-۳$** و تمام اعداد صحیح **بزرگتر یا مساوی $۳$** است. $$\mathbf{\text{A}' = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \leq -۳ \text{ یا } x \geq ۳\}}$$ * **به صورت اعضا:** $\text{A}' = \{\dots, -۵, -۴, -۳\} \cup \{۳, ۴, ۵, \dots\}$ --- ### ت) متمم $\text{B}$ ($\\text{B}'$) با مجموعه‌ی مرجع $\mathbb{R}$ و نمایش روی محور در این بخش مجموعه‌ی مرجع ما **اعداد حقیقی** ($\mathbb{R}$) است و $\text{B} = (-۳, ۲]$. * $\text{B}' = \mathbb{R} - \text{B}$ * $\text{B}'$ شامل تمام اعداد حقیقی است که در بازه‌ی $(-۳, ۲]$ نیستند. برای پیدا کردن متمم یک بازه، کافیه **سمت مخالف** بازه را در نظر بگیریم و **علائم مرزها** را برعکس کنیم: 1. **سمت چپ:** بازه‌ی $\text{B}$ از $-۳$ شروع می‌شود (باز). متمم آن تمام اعداد تا $-۳$ (بسته) خواهد بود: $\mathbf{(-\infty, -۳]}$ 2. **سمت راست:** بازه‌ی $\text{B}$ در $۲$ تمام می‌شود (بسته). متمم آن تمام اعداد بزرگتر از $۲$ (باز) خواهد بود: $\mathbf{(۲, +\infty)}$ **نمایش به صورت اجتماع دو بازه:** $$\mathbf{\text{B}' = (-\infty, -۳] \cup (۲, +\infty)}$$ **نمایش روی محور:** * محور را از $-\infty$ تا $-۳$ پر می‌کنیم و روی $-۳$ یک دایره‌ی بسته (پُر) می‌گذاریم. * محور را از $۲$ تا $+\infty$ پر می‌کنیم و روی $۲$ یک دایره‌ی باز (خالی) می‌گذاریم.