پاسخ تمرین صفحه 51 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: برای اثبات تساوی $MN=PQ$، از هم‌نهشتی دو مثلث $MBN$ و $QDP$ استفاده می‌کنیم. * **فرض (Hypothesis):** ۱. $ABCD$ متوازی‌الاضلاع است ($ \Rightarrow AB=DC, AD=BC, \hat{B}=\hat{D} $). ۲. $M, N, P, Q$ به ترتیب وسط‌های اضلاع $AB, BC, CD, AD$ هستند. * **حکم (Conclusion):** $ MN = PQ $ **اثبات:** | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ MB = \frac{۱}{۲}AB $ و $ DP = \frac{۱}{۲}DC $ | طبق فرض، M و P وسط اضلاع هستند. | | ۲) $ AB = DC $ | خاصیت متوازی‌الاضلاع (اضلاع روبه‌رو برابرند). | | ۳) $ MB = DP $ | **(ضلع)** از (۱) و (۲) نتیجه می‌شود (نصف مقادیر مساوی، با هم مساویند). | | ۴) $ \hat{B} = \hat{D} $ | **(زاویه)** خاصیت متوازی‌الاضلاع (زوایای روبه‌رو برابرند). | | ۵) $ BN = \frac{۱}{۲}BC $ و $ DQ = \frac{۱}{۲}AD $ | طبق فرض، N و Q وسط اضلاع هستند. | | ۶) $ BC = AD $ | خاصیت متوازی‌الاضلاع. | | ۷) $ BN = DQ $ | **(ضلع)** از (۵) و (۶) نتیجه می‌شود. | | ۸) $ \triangle MBN \cong \triangle QDP $ | به حالت هم‌نهشتی **دو ضلع و زاویه‌ی بین (ض‌زض)**، بر اساس مراحل (۳)، (۴) و (۷). | | ۹) $ MN = PQ $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۸)، نتیجه می‌شود که اضلاع متناظر آنها نیز با هم برابرند. |

پاسخ تشریحی: برای اثبات تساوی $AD=BC$، از هم‌نهشتی دو مثلث $ADO$ و $BCO$ استفاده می‌کنیم. * **فرض (Hypothesis):** ۱. $O$ مرکز دایره است. ۲. $AD$ در نقطه‌ی $A$ بر دایره مماس است. ۳. $BC$ در نقطه‌ی $B$ بر دایره مماس است. * **حکم (Conclusion):** $ AD = BC $ **اثبات:** | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ \angle OAD = \angle OBC = ۹۰^\circ $ | **(زاویه)** خاصیت خط مماس (شعاع در نقطه‌ی تماس بر خط مماس عمود است). | | ۲) $ OA = OB $ | **(ضلع)** هر دو شعاع دایره هستند. | | ۳) $ \angle AOD = \angle BOC $ | **(زاویه)** زوایای متقابل به رأس با هم برابرند. | | ۴) $ \triangle ADO \cong \triangle BCO $ | به حالت هم‌نهشتی **دو زاویه و ضلع بین (زض‌ز)**. | | ۵) $ AD = BC $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۴)، نتیجه می‌شود که اضلاع متناظر آنها نیز با هم برابرند. |

پاسخ تشریحی: برای اثبات اینکه $ \triangle AMN $ متساوی‌الساقین است، باید ثابت کنیم دو ضلع آن، یعنی $AM$ و $AN$ با هم برابرند. این کار را با اثبات هم‌نهشتی دو مثلث $ABM$ و $ACN$ انجام می‌دهیم. * **فرض (Hypothesis):** ۱. $ \triangle ABC $ متساوی‌الساقین است ($ AB = AC $). ۲. $BM = NC$. * **حکم (Conclusion):** $ \triangle AMN $ متساوی‌الساقین است ($ AM = AN $). **اثبات:** | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ AB = AC $ | **(ضلع)** طبق فرض، ساق‌های مثلث متساوی‌الساقین. | | ۲) $ \hat{B} = \hat{C} $ | **(زاویه)** در مثلث متساوی‌الساقین، زوایای روبه‌رو به ساق‌ها (زوایای قاعده) با هم برابرند. | | ۳) $ BM = NC $ | **(ضلع)** طبق فرض مسئله. | | ۴) $ \triangle ABM \cong \triangle ACN $ | به حالت هم‌نهشتی **دو ضلع و زاویه‌ی بین (ض‌زض)**. | | ۵) $ AM = AN $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۴)، نتیجه می‌شود که اضلاع متناظر آنها نیز با هم برابرند. | | ۶) $ \triangle AMN $ متساوی‌الساقین است. | چون دو ضلع این مثلث ($AM$ و $AN$) با هم برابرند. |

پاسخ تشریحی: برای اثبات تساوی $AF=BE$، هم‌نهشتی دو مثلث قائم‌الزاویه‌ی $ADF$ و $BCE$ را ثابت می‌کنیم. * **فرض (Hypothesis):** ۱. $ABCD$ مستطیل است ($ \Rightarrow AD=BC, \hat{D}=\hat{C}=۹۰^\circ $). ۲. $ \angle DAF = \angle CBE $ (یا $ \hat{A}_۱ = \hat{B}_۱ $). * **حکم (Conclusion):** $ AF = BE $ **اثبات:** | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ \hat{A}_۱ = \hat{B}_۱ $ | **(زاویه)** طبق فرض مسئله. | | ۲) $ AD = BC $ | **(ضلع)** خاصیت مستطیل (اضلاع روبه‌رو برابرند). | | ۳) $ \hat{D} = \hat{C} = ۹۰^\circ $ | **(زاویه)** خاصیت مستطیل (تمام زوایا قائمه هستند). | | ۴) $ \triangle ADF \cong \triangle BCE $ | به حالت هم‌نهشتی **دو زاویه و ضلع غیر بین (وزا)**. | | ۵) $ AF = BE $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۴)، نتیجه می‌شود که اضلاع متناظر آنها (وترهای دو مثلث) با هم برابرند. |

پاسخ تشریحی: برای اثبات این حکم، از هم‌نهشتی مثلث‌ها استفاده می‌کنیم. * **فرض (Hypothesis):** ۱. $ \triangle ABC $ متساوی‌الساقین است ($ AB = AC $). ۲. $AD$ نیمساز زاویه‌ی رأس $ \hat{A} $ است. ۳. $M$ یک نقطه‌ی دلخواه روی نیمساز $AD$ است. * **حکم (Conclusion):** $ MB = MC $ **اثبات:** دو مثلث $ABM$ و $ACM$ را در نظر می‌گیریم. | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ AB = AC $ | **(ضلع)** طبق فرض، ساق‌های مثلث متساوی‌الساقین. | | ۲) $ \angle BAM = \angle CAM $ | **(زاویه)** طبق فرض، $AM$ (که روی نیمساز $AD$ قرار دارد) نیمساز زاویه‌ی $ \hat{A} $ است. | | ۳) $ AM = AM $ | **(ضلع)** ضلع مشترک هر دو مثلث است. | | ۴) $ \triangle ABM \cong \triangle ACM $ | به حالت هم‌نهشتی **دو ضلع و زاویه‌ی بین (ض‌زض)**. | | ۵) $ MB = MC $ | از هم‌نهشتی مثلث‌ها (در مرحله ۴)، نتیجه می‌شود که اضلاع متناظر آنها نیز با هم برابرند. |