در شکل مقابل میدانیم AB=CD،
۱- چرا $ \overarc{AB} = \overarc{CD} $؟
۲- جاهای خالی را با عبارتهای مناسب پرکنید:
$ \{ \overarc{AB} = \overarc{CD}, \overarc{BC} = \overarc{BC} \} \Rightarrow \overarc{AB} + \overarc{BC} = \overarc{CD} + \overarc{BC} \Rightarrow = $
۳- چرا AC=BD؟
پاسخ تشریحی:
این مسئله به بررسی روابط بین وترها و کمانهای نظیرشان در یک دایره میپردازد.
**۱. چرا $ \overarc{AB} = \overarc{CD} $؟**
* **پاسخ:** بر اساس یک قضیهی اساسی در هندسهی دایره، **«در یک دایره، وترهای مساوی، کمانهای مساوی نظیر خود را جدا میکنند»**. چون در فرض مسئله داده شده است که وتر $AB$ با وتر $CD$ برابر است، پس کمانهای نظیر آنها یعنی $ \overarc{AB} $ و $ \overarc{CD} $ نیز با هم برابرند.
**۲. تکمیل جاهای خالی:**
* **پاسخ:** این بخش از خاصیت جمعپذیری کمانها استفاده میکند. وقتی به دو مقدار مساوی ($ \overarc{AB} $ و $ \overarc{CD} $)، یک مقدار یکسان ($ \overarc{BC} $) اضافه کنیم، حاصلها نیز با هم برابر خواهند بود.
* $ \overarc{AB} + \overarc{BC} $ کمان بزرگتری را تشکیل میدهد که از A شروع شده و به C ختم میشود، یعنی $ \overarc{ABC} $.
* $ \overarc{CD} + \overarc{BC} $ کمان بزرگتری را تشکیل میدهد که از B شروع شده و به D ختم میشود، یعنی $ \overarc{BCD} $.
بنابراین، تساوی کامل شده به این صورت است:
$ \overarc{ABC} = \overarc{BCD} $
**۳. چرا AC=BD؟**
* **پاسخ:** این بخش از عکس قضیهی اول استفاده میکند: **«در یک دایره، کمانهای مساوی، وترهای مساوی دارند»**. در قسمت (۲) ثابت کردیم که $ \overarc{ABC} = \overarc{BCD} $ است.
* وتری که کمان $ \overarc{ABC} $ را دربرمیگیرد، پارهخط $AC$ است.
* وتری که کمان $ \overarc{BCD} $ را دربرمیگیرد، پارهخط $BD$ است.
چون این دو کمان با هم برابرند، پس وترهای نظیر آنها نیز باید با هم برابر باشند. در نتیجه، $AC = BD$.
