پاسخ تمرین صفحه 14 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: برای حل، هر یک از عملیات مجموعه‌ها را با استفاده از مجموعه‌های داده شده انجام می‌دهیم: $A=\{2,4,6,8,9\}$ $B=\{1,3,5,7,9\}$ $C=\{1,7,10,11\}$ * **الف) $A \cup B$ (اجتماع):** شامل تمام اعضای A و B بدون تکرار. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ * **ب) $B \cup C$ (اجتماع):** $B \cup C = \{1, 3, 5, 7, 9, 10, 11\}$ * **ج) $A \cup C$ (اجتماع):** $A \cup C = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ * **د) $A \cap B$ (اشتراک):** شامل اعضای مشترک بین A و B. $A \cap B = \{9\}$ * **ه) $A - B$ (تفاضل):** شامل اعضایی که در A هستند ولی در B نیستند. $A - B = \{2, 4, 6, 8\}$ * **و) $C - B$ (تفاضل):** شامل اعضایی که در C هستند ولی در B نیستند. $C - B = \{10, 11\}$ * **ز) $(A - C) \cup (B - C)$:** ابتدا تفاضل‌ها را محاسبه می‌کنیم. $A - C = \{2, 4, 6, 8, 9\}$ $B - C = \{3, 5, 9\}$ حالا اجتماع آنها: $(A - C) \cup (B - C) = \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$ * **ح) $(A \cup B) - C$:** ابتدا اجتماع را محاسبه می‌کنیم. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ حالا اعضای C را از آن کم می‌کنیم: $(A \cup B) - C = \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$ * **ط) $A \cap A$:** اشتراک هر مجموعه با خودش، خود مجموعه است. $A \cap A = \{2, 4, 6, 8, 9\}$ * **ی) $A \cap \emptyset$:** اشتراک هر مجموعه با مجموعه‌ی تهی، تهی است. $A \cap \emptyset = \emptyset$ * **ک) $B \cup B$:** اجتماع هر مجموعه با خودش، خود مجموعه است. $B \cup B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ * **ل) $C \cup \emptyset$:** اجتماع هر مجموعه با مجموعه‌ی تهی، خود مجموعه است. $C \cup \emptyset = \{1, 7, 10, 11\}$

پاسخ تشریحی: ابتدا بر اساس نمودار ون، اعضای مجموعه‌ها را مشخص می‌کنیم: * $A = \{1, 2, 9, 3, 4, 5\}$ * $B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$ * $A - B = \{1, 2, 9\}$ (ناحیه‌ی اختصاصی A) * $B - A = \{6, 7\}$ (ناحیه‌ی اختصاصی B) * $A \cap B = \{3, 4, 5\}$ (ناحیه‌ی اشتراک) * $A \cup B = \{1, 2, 9, 3, 4, 5, 6, 7\}$ (کل نواحی) حال هر عبارت را بررسی می‌کنیم: * **الف) $B - A = \{6, 7\}$ (✓ درست):** این عبارت با ناحیه‌ی اختصاصی B در نمودار مطابقت دارد. * **ب) $(A - B) \cup (A \cap B) = A$ (✓ درست):** اجتماع ناحیه‌ی اختصاصی A با ناحیه‌ی اشتراک، کل مجموعه‌ی A را تشکیل می‌دهد. این یک اتحاد مجموعه‌ای است. * **ج) $(A - B) \cup (B - A) = \{1, 2, 6\}$ (× نادرست):** اجتماع نواحی اختصاصی A و B برابر با $ \{1, 2, 9\} \cup \{6, 7\} = \{1, 2, 6, 7, 9\} $ است. * **د) $n(A \cup B) = 8$ (✓ درست):** تعداد کل اعضای موجود در نمودار برابر با ۸ است. * **ه) $A - B = B - A$ (× نادرست):** تفاضل مجموعه‌ها خاصیت جابجایی ندارد. همانطور که می‌بینیم $ \{1, 2, 9\} \neq \{6, 7\} $. * **و) $n(A - B) = n(B - A)$ (× نادرست):** تعداد اعضای $A-B$ برابر ۳ است ($n(A-B)=3$) و تعداد اعضای $B-A$ برابر ۲ است ($n(B-A)=2$). این دو عدد برابر نیستند.

پاسخ تشریحی: در این تمرین، نواحی مشخص شده در نمودارهای ون را هاشور می‌زنیم. * **شکل چپ: $A \cap B$** * **توضیح:** این نمودار حالتی را نشان می‌دهد که $B$ زیرمجموعه‌ی $A$ است ($B \subseteq A$). اشتراک ($ \cap $) به معنای اعضای مشترک است. چون تمام اعضای B در A نیز هستند، ناحیه‌ی مشترک دقیقاً خود مجموعه‌ی B است. * **ناحیه‌ی هاشور خورده:** **کل دایره‌ی داخلی (مجموعه‌ی B)** باید هاشور زده شود. * **شکل وسط: $B - A$** * **توضیح:** این نمودار دو مجموعه‌ی جدا از هم (گسسته) را نشان می‌دهد، یعنی هیچ عضو مشترکی ندارند ($A \cap B = \emptyset$). تفاضل $B - A$ به معنای اعضایی است که در B هستند ولی در A نیستند. چون هیچ‌کدام از اعضای B در A نیستند، نتیجه‌ی تفاضل، خود مجموعه‌ی B است. * **ناحیه‌ی هاشور خورده:** **کل دایره‌ی B** باید هاشور زده شود. * **شکل راست: $(A - C) \cup C$** * **توضیح:** این عبارت را می‌توان ساده کرد. $A - C$ یعنی قسمتی از A که با C مشترک نیست. وقتی این قسمت را با **کل C** اجتماع ($\cup$) بگیریم، در واقع کل فضای هر دو مجموعه را پوشش داده‌ایم. این عبارت معادل $A \cup C$ است. * **اثبات:** $(A - C) \cup C = (A \cap C') \cup C = (A \cup C) \cap (C' \cup C) = (A \cup C) \cap U = A \cup C$ * **ناحیه‌ی هاشور خورده:** **کل فضای هر دو دایره‌ی A و C** باید هاشور زده شود.

پاسخ تشریحی: این سوال به بررسی ویژگی‌های اساسی عملیات روی مجموعه‌ها می‌پردازد. * **الف) اشتراک دو مجموعه، زیرمجموعهٔ **اجتماع** همان دو مجموعه است.** * **توضیح:** هر عضوی که در اشتراک ($A \cap B$) باشد، حتماً در اجتماع ($A \cup B$) نیز هست. پس $A \cap B \subseteq A \cup B$. * **ب) هر یک از دو مجموعه‌ی A و B زیرمجموعه‌ی **$(A \cup B)$** است.** * **توضیح:** طبق تعریف، اجتماع دو مجموعه شامل تمام اعضای هر دو مجموعه است. پس هم $A \subseteq (A \cup B)$ و هم $B \subseteq (A \cup B)$ است. * **ج) اشتراک دو مجموعه‌ی A و B **زیرمجموعهٔ** هر یک از دو مجموعه‌ی A و B است.** * **توضیح:** اعضای اشتراک ($A \cap B$) هم در A هستند و هم در B. بنابراین، اشتراک، زیرمجموعه‌ی هر دو مجموعه است. * **د) مجموعه‌ی $A - B$ زیرمجموعه‌ی مجموعه‌ی **A** است.** * **توضیH:** تفاضل $A-B$ شامل اعضایی از A است که در B نیستند. بنابراین، تمام اعضای آن از مجموعه‌ی A آمده‌اند. * **ه) اجتماع دو مجموعه‌ی $(A - B)$ و $(A \cap B)$ با مجموعه‌ی **A** مساوی است.** * **توضیح:** این یک اتحاد مهم در مجموعه‌ها است. اگر اعضای A که در B نیستند را با اعضای A که در B هستند، اجتماع بگیریم، کل مجموعه‌ی A را بازسازی کرده‌ایم. $(A - B) \cup (A \cap B) = A$