جواب کاردرکلاس صفحه 88 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 88 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! برای تعیین علامت تابع درجه دوم $\mathbf{y = -x^2 + x + 2}$، از روش پیدا کردن **ریشه‌ها** و استفاده از **قاعده‌ی علامت** استفاده می‌کنیم. ### **گام ۱: پیدا کردن ریشه‌ها** معادله را برابر صفر قرار می‌دهیم: $-x^2 + x + 2 = 0$. **روش تجزیه:** برای سادگی، در $-1$ ضرب می‌کنیم: $x^2 - x - 2 = 0$. دو عدد که حاصل‌ضربشان $-2$ و حاصل‌جمعشان $-1$ باشد، $-2$ و $+1$ هستند. $$(x - 2)(x + 1) = 0$$ * **ریشه‌ها:** $x_1 = -1$ و $x_2 = 2$. ### **گام ۲: تشکیل جدول تعیین علامت** * **ضریب $a$:** ضریب $x^2$ در معادله‌ی اصلی ($y = -x^2 + x + 2$) برابر $\mathbf{a = -1}$ است (منفی). * **قاعده:** خارج ریشه‌ها **موافق** $a$ و بین ریشه‌ها **مخالف** $a$ است. | $\mathbf{x}$ | $-\infty$ | $-1$ | $2$ | $+\infty$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{-x^2 + x + 2}$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | ### **گام ۳: بررسی با رسم نمودار (سهمی)** 1. **جهت سهمی:** چون $\mathbf{a = -1}$ (منفی) است، دهانه‌ی سهمی **رو به پایین** باز می‌شود. 2. **ریشه‌ها (محل برخورد با محور $\mathbf{x}$):** در $athbf{x = -1}$ و $\mathbf{x = 2}$، نمودار محور $x$ را قطع می‌کند. 3. **بررسی علامت:** * **خارج ریشه‌ها ($x < -1$ و $x > 2$):** نمودار زیر محور $x$ است، پس $y$ **منفی** است. (تأیید جدول) * **بین ریشه‌ها ($-1 < x < 2$):** نمودار بالای محور $x$ است، پس $y$ **مثبت** است. (تأیید جدول) $$\text{نمودار سهمی رو به پایین است، بنابراین بین ریشه‌ها مثبت و خارج ریشه‌ها منفی است.}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 88 ریاضی دهم - مسئله ۲ ### **الف) $\mathbf{A = (x^2 - 9)(3x - 1)}$ (عبارت درجه سوم)** **گام ۱: تجزیه و پیدا کردن ریشه‌ها** * **عامل اول ($x^2 - 9$):** تفاضل مربع‌ها. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ * **ریشه‌ها:** $x_1 = 3$ و $x_2 = -3$ * **عامل دوم ($3x - 1$):** $athbf{3x - 1 = 0} \Rightarrow x_3 = \frac{1}{3} \approx 0.33$ **گام ۲: تشکیل جدول تعیین علامت (به ترتیب صعودی ریشه‌ها)** * **ریشه‌ها:** $-3, \frac{1}{3}, 3$ | $\mathbf{x}$ | $-\infty$ | $-3$ | $\frac{1}{3}$ | $3$ | $+\infty$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{x-3}$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $\mathbf{x+3}$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $\mathbf{3x-1}$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | $\mathbf{A}$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{+}$ | **نتیجه‌ی نهایی:** * $\mathbf{A > 0}$ در بازه‌های $(-3, \frac{1}{3}) \cup (3, +\infty)$ * $\mathbf{A < 0}$ در بازه‌های $(-\infty, -3) \cup (\frac{1}{3}, 3)$ --- ### **ب) $\mathbf{B = \frac{-x^2 + 6x - 9}{x^2 + x + 3}}$ (عبارت گویا)** **گام ۱: تجزیه و تحلیل صورت و مخرج** * **صورت ($P(x) = -x^2 + 6x - 9$):** * با فاکتورگیری از منفی: $P(x) = -(x^2 - 6x + 9) = \mathbf{-(x - 3)^2}$ * **ریشه:** $x = 3$ (ریشه‌ی مضاعف) * **علامت صورت:** چون مربع کامل است و در $-1$ ضرب شده، $\mathbf{P(x) \le 0}$ است. ($P(x)$ همیشه منفی است، فقط در $x=3$ صفر می‌شود.) * **مخرج ($Q(x) = x^2 + x + 3$):** * **دلتا:** $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = \mathbf{-11}$ * **علامت مخرج:** چون $\Delta < 0$ و ضریب $x^2$ ($athbf{a=1}$) مثبت است، مخرج $\mathbf{Q(x)}$ برای هر $x \in \mathbb{R}$ **مثبت** است. **گام ۲: تعیین علامت کل عبارت** $B = \frac{\text{صورت}}{\text{مخرج}} = \frac{\mathbf{-(x - 3)^2}}{\mathbf{\text{مثبت}}}$ * **علامت:** تقسیم یک عبارت نامثبت بر یک عبارت مثبت، همواره **نامثبت** است. * **نتیجه:** $\mathbf{B}$ همواره منفی یا صفر است. | $\mathbf{x}$ | $-\infty$ | $3$ | $+\infty$ | | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{ ext{صورت}}$ | $-$ | $0$ | $-$ | | $\mathbf{ ext{مخرج}}$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $\mathbf{B}$ | $\mathbf{-}$ | $0$ | $\mathbf{-}$ | **نتیجه‌ی نهایی:** \mathbf{B \le 0} \text{ برای تمام } x \in \mathbb{R}$.