ریاضی دهم صفحه 136 - تمرین 1
۱) در کدام یک از موارد زیر، ترتیب قرار گرفتن اشیاء اهمیت دارد و باید تعداد جایگشتهای r شیء از n شیء متمایز مشخص شود و در کدام یک ترتیب قرار گرفتن اشیاء اهمیت ندارد و باید تعداد ترکیبهای r تایی از n شیء متمایز مشخص شود؟
الف) ساختن کلمهای سه حرفی بدون حرف تکراری با ۵ حرف متمایز (بامعنی و بیمعنی).
ب) انتخاب سه شاخه گل از بین پنج شاخه گل متمایز.
پ) انتخاب یک دفاع چپ، یک دفاع راست و یک دفاع وسط از بین هفت مدافع که همگی در تمامی پستها توانایی بازی دارند.
ت) از بین هفت بازیکن دفاعی یک تیم سه نفر قرار است از تیم کنار گذاشته شوند.
ث) ده نفر در یک دوره مسابقات شرکت خواهند کرد و سه نفر اول به المپیک راه خواهند یافت.
ج) ده نفر در یک مسابقه شرکت کردهاند و قرار است به نفرات اول تا سوم به ترتیب مدالهای طلا، نقره و برنز داده شود.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 136 - تمرین 1
برای تشخیص تفاوت بین **جایگشت** و **ترکیب**، کافی است از خودمان بپرسیم: «آیا اگر جای اعضای انتخاب شده را با هم عوض کنیم، نتیجه متفاوتی حاصل میشود؟» اگر پاسخ بله باشد، با **جایگشت** (ترتیب مهم) و اگر پاسخ خیر باشد، با **ترکیب** (ترتیب نامهم) روبرو هستیم.
تحلیل موارد:
* **الف) ساختن کلمه:** در کلمه سازی، ترتیب حروف بسیار مهم است (مثلاً کلمه «آبی» با «بیا» متفاوت است). پس این مورد **جایگشت** است.
* **ب) انتخاب شاخه گل:** وقتی سه شاخه گل برای یک دسته گل انتخاب میکنید، فرقی ندارد کدام را اول برداشتید. پس ترتیب اهمیت ندارد و این مورد **ترکیب** است.
* **پ) انتخاب بازیکن برای پستهای خاص:** چون هر بازیکن در یک پست مشخص (چپ، راست، وسط) قرار میگیرد، جابجایی آنها چیدمان تیم را عوض میکند. پس این مورد **جایگشت** است.
* **ت) کنار گذاشتن بازیکنان:** هر سه نفر وضعیت یکسانی دارند (اخراج/حذف) و ترتیب انتخاب آنها فرقی در نتیجه نهایی ندارد. پس این مورد **ترکیب** است.
* **ث) راهیابی به المپیک:** هر سه نفر اول سهمیه مشابهی میگیرند و رتبه اول یا سوم بودن برای صعود فرقی ندارد. پس این مورد **ترکیب** است.
* **ج) اهدای مدالهای طلا، نقره و برنز:** نوع مدالها متفاوت است، پس اینکه چه کسی طلا بگیرد و چه کسی برنز، کاملاً متفاوت است. بنابراین ترتیب اهمیت دارد و این مورد **جایگشت** است.
ریاضی دهم صفحه 136 - تمرین 3
۳) از میان ۸ ریاضیدان و ۶ فیزیکدان و ۵ شیمیدان قرار است کمیتهای علمی انتخاب شود. به چند طریق این کمیته میتواند انتخاب شود هرگاه:
الف) کمیته ۶ نفره باشد و از هر رشته ۲ نفر در آن عضو باشند؟
ب) کمیته ۳ نفره باشد و از هر رشته حداقل یک نفر در آن عضو باشند؟
پ) کمیته ۲ نفره باشد و حداقل یک ریاضیدان در آن باشد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 136 - تمرین 3
در تشکیل کمیته، ترتیب انتخاب افراد مهم نیست، بنابراین از فرمول **ترکیب** یا همان $$\binom{n}{r}$$ استفاده میکنیم.
**الف) انتخاب ۶ نفر (۲ نفر از هر رشته):**
باید از ۸ ریاضیدان ۲ نفر، از ۶ فیزیکدان ۲ نفر و از ۵ شیمیدان ۲ نفر انتخاب کنیم. چون این انتخابها همزمان انجام میشوند، طبق اصل ضرب داریم:
$$ \binom{8}{2} \times \binom{6}{2} \times \binom{5}{2} = 28 \times 15 \times 10 = 4200 $$
**ب) کمیته ۳ نفره با حداقل یک نفر از هر رشته:**
چون کلاً ۳ رشته داریم و کمیته هم ۳ نفره است، عبارت «حداقل یک نفر از هر رشته» یعنی دقیقاً ۱ ریاضیدان، ۱ فیزیکدان و ۱ شیمیدان انتخاب شود:
$$ \binom{8}{1} \times \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} = 8 \times 6 \times 5 = 240 $$
**پ) کمیته ۲ نفره با حداقل یک ریاضیدان:**
دو حالت داریم: یا ۱ ریاضیدان و ۱ غیر ریاضیدان انتخاب شود، یا هر ۲ نفر ریاضیدان باشند.
تعداد کل غیر ریاضیدانها: $$ 6 + 5 = 11 $$ نفر.
* حالت اول (۱ ریاضیدان و ۱ غیره): $$ \binom{8}{1} \times \binom{11}{1} = 8 \times 11 = 88 $$
* حالت دوم (۲ ریاضیدان): $$ \binom{8}{2} = 28 $$
جمع کل حالتها: $$ 88 + 28 = 116 $$ طریق.
(روش دوم: کل حالتهای انتخاب ۲ نفر از ۱۹ نفر منهای حالتی که هیچ ریاضیدانی نباشد: $$ \binom{19}{2} - \binom{11}{2} = 171 - 55 = 116 $$)
