ریاضی نهم صفحه ۱۱۷ - تمرین ۱
۱- عبارتهای گویای زیر را ساده کنید :
الف) $$\frac{m^2 - 16}{4 - m}$$
ب) $$\frac{6m + 18}{7m + 21}$$
ج) $$\frac{a^2 - 5a - 14}{a^2 + a - 2}$$
د) $$\frac{x^4 - y^4}{y - x}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۱۷ - تمرین ۱
سلام به شما دانشآموزان عزیز! برای ساده کردن عبارتهای گویا، مهمترین ابزار ما **تجزیه** است. ابتدا صورت و مخرج را تا حد امکان تجزیه میکنیم و سپس عوامل مشترک را خط میزنیم.
**حل گام به گام:**
* **الف) $$\frac{m^2 - 16}{4 - m}$$:**
۱. صورت کسر یک **اتحاد مزدوج** است: $$(m-4)(m+4)$$.
۲. مخرج کسر ($$4-m$$) قرینه یکی از عوامل صورت ($$m-4$$) است. پس میتوانیم از یک منفی فاکتور بگیریم: $$-(m-4)$$.
۳. با ساده کردن عامل مشترک، حاصل برابر است با: $$-(m+4)$$ یا $$-m-4$$.
* **ب) $$\frac{6m + 18}{7m + 21}$$:**
۱. در صورت از عدد ۶ فاکتور میگیریم: $$6(m+3)$$.
۲. در مخرج از عدد ۷ فاکتور میگیریم: $$7(m+3)$$.
۳. عامل مشترک $$(m+3)$$ را ساده میکنیم. حاصل: $$\frac{6}{7}$$.
* **ج) $$\frac{a^2 - 5a - 14}{a^2 + a - 2}$$:**
۱. صورت را با **اتحاد جمله مشترک** تجزیه میکنیم (دو عدد که ضربشان ۱۴- و جمعشان ۵- باشد): $$(a-7)(a+2)$$.
۲. مخرج را هم با همان اتحاد تجزیه میکنیم (ضرب ۲- و جمع ۱+): $$(a+2)(a-1)$$.
۳. عامل $$(a+2)$$ را ساده میکنیم. حاصل نهایی: $$\frac{a-7}{a-1}$$.
* **د) $$\frac{x^4 - y^4}{y - x}$$:**
۱. صورت را با اتحاد مزدوج باز میکنیم: $$(x^2-y^2)(x^2+y^2)$$.
۲. خود $$(x^2-y^2)$$ دوباره مزدوج است: $$(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$$.
۳. مخرج ($$y-x$$) قرینه $$(x-y)$$ است. پس حاصل تقسیم آنها **۱-** میشود.
۴. حاصل نهایی: $$-(x+y)(x^2+y^2)$$.
ریاضی نهم صفحه ۱۱۷ - تمرین ۲
۲- عبارت $$\frac{a + ax}{a}$$ به دو شکل ساده شده است؛ کدام درست و کدام نادرست است؟
الف) $$\frac{a + ax}{a} = a + x$$
ب) $$\frac{a + ax}{a} = \frac{a(1 + x)}{a} = 1 + x$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۱۷ - تمرین ۲
این یکی از مهمترین نکات در ساده کردن کسرهاست. دقت کنید که ما هیچوقت نمیتوانیم بخشی از یک **جمع** را با مخرج ساده کنیم!
**بررسی:**
* **شکل (الف) نادرست است:** در این روش، دانشآموز به اشتباه $a$ مخرج را فقط با یکی از جملات صورت ساده کرده است. یادمان باشد که خط زدن فقط مخصوص **ضرب** است، نه جمع!
* **شکل (ب) درست است:** در این روش، ابتدا در صورت کسر از $a$ **فاکتورگیری** شده تا رابطه بین صورت و مخرج به صورت ضرب درآید. حالا که کل صورت در $a$ ضرب شده، میتوانیم $a$ را از صورت و مخرج ساده کنیم.
**مثال ساده برای درک بهتر:** اگر داشته باشیم $$\frac{2+4}{2}$$، حاصل واقعی $$\frac{6}{2}=3$$ است. اگر مثل روش غلط الف عمل کنیم، جواب ۲+۴ میشود که غلط است! اما اگر فاکتور بگیریم: $$\frac{2(1+2)}{2}=1+2=3$$ که کاملاً درست است.
