پاسخ فعالیت صفحه 142 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 142 - فعالیت علی برای حل این مسئله، ابتدا باید تصور کنیم که دوران این شکل چه حجم هندسی را پدید می‌آورد. **گام اول: تشخیص نوع حجم حاصل از دوران** وقتی یک دایره کامل حول قطرش دوران کند، یک کره می‌سازد. دوران یک نیم‌دایره حول قطرش نیز یک کره می‌سازد. اما در اینجا ما یک **ربع دایره** داریم که حول یکی از شعاع‌هایش دوران می‌کند. حاصل این دوران، یک **نیم‌کره** خواهد بود. **گام دوم: محاسبه حجم** شعاع ربع دایره برابر با شعاع نیم‌کره حاصل است، یعنی $$r = 5\text{cm}$$. فرمول حجم یک کره کامل برابر است با: $$V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}$$ بنابراین حجم نیم‌کره برابر است با نصف حجم کره: $$V = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^{3} = \frac{2}{3}\pi r^{3}$$ **گام سوم: جایگذاری عددها** $$V = \frac{2}{3} \times \pi \times (5)^{3}$$ $$V = \frac{2}{3} \times \pi \times 125$$ $$V = \frac{250}{3}\pi \approx 83.3\pi \text{ cm}^{3}$$ **نتیجه نهایی:** حجم حاصل از این دوران برابر با **$$\frac{250}{3}\pi$$** سانتی‌متر مکعب است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 142 - تمرین 3 سلام به شما دانش‌آموزان عزیز! بیایید با هم تصور کنیم که یک پرتقال یا یک توپ را با یک چاقو برش می‌دهیم. **تحلیل هندسی:** هرگاه یک صفحه تخت، کره‌ای را قطع کند، سطح مشترک بین آن‌ها همواره به شکل یک **دایره** خواهد بود. فرقی نمی‌کند صفحه از کجای کره عبور کند، مقطع حاصل همیشه دایره‌ای شکل است. **پیدا کردن بیشترین مساحت:** برای اینکه این دایره حاصل از برش، **بیشترین مساحت** ممکن را داشته باشد، صفحه باید دقیقاً از **مرکز کره** عبور کند. در این حالت، دایره ایجاد شده را «دایره عظیمه» می‌نامیم که شعاع آن با شعاع خودِ کره برابر است. **نکته مفهومی:** هرچه صفحه برش از مرکز کره دورتر شود، شعاع دایره مقطع کوچک‌تر شده و در نتیجه مساحت آن کمتر می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 142 - تمرین 4 در این تصویر، ما کره‌ای را می‌بینیم که بخشی از آن مانند یک قاچ هندوانه بریده شده است. **تحلیل بخش برداشته شده:** با دقت در نماد زاویه قائمه ($$90^{\circ}$$) در مرکز کره، متوجه می‌شویم که این بخش برداشته شده متناظر با یک‌چهارم ($$\frac{1}{4}$$) از یک دایره در سطح افقی است. اما چون این برش در کل حجم کره نفوذ کرده است، باید نسبت آن را نسبت به کل حجم در نظر بگیریم. یک دور کامل معادل $$360^{\circ}$$ است. بخشی که زاویه آن $$90^{\circ}$$ است، نسبت زیر را می‌سازد: $$\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$$ بنابراین، **یک‌چهارم ($$\frac{1}{4}$$)** از کل حجم کره از آن جدا شده و برداشته شده است. بخش باقی‌مانده نیز سه-چهارم حجم کره خواهد بود.