پاسخ فعالیت و کاردرکلاس صفحه 86 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 86 - کار در کلاس 1 و 2 برای حل این تمرینات، از **رابطه‌ی فیثاغورس** استفاده می‌کنیم که فقط برای **مثلث‌های قائم‌الزاویه** کاربرد دارد. این رابطه بیان می‌کند که مجذور وتر (بلندترین ضلع، مقابل زاویه‌ی $90$ درجه) برابر است با مجموع مجذورهای دو ضلع قائمه‌ی دیگر. $$\text{ضلع قائم اول}^2 + \text{ضلع قائم دوم}^2 = \text{وتر}^2$$ یا اگر اضلاع را $a$ و $b$ (قائمه) و $c$ (وتر) نامگذاری کنیم: $$a^2 + b^2 = c^2$$ --- ### **حل سؤال ۱: بررسی درستی رابطه‌ی فیثاغورس** برای هر مثلث، باید بررسی کنیم که آیا مجموع مجذور دو ضلع کوچک‌تر (اضلاع قائم) با مجذور ضلع بزرگ‌تر (وتر) برابر است یا خیر. **۱. مثلث آبی (سمت چپ):** اضلاع: $5$، $12$، $13$. (وتر $13$ است) $$\text{ضلع قائم اول}^2 + \text{ضلع قائم دوم}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$ $$\text{وتر}^2 = 13^2 = 169$$ چون $169 = 169$، پس **رابطه‌ی فیثاغورس برقرار است**. **۲. مثلث قرمز (وسط):** اضلاع: $\sqrt{2}$، $\sqrt{2}$، $2$. (وتر $2$ است) $$\text{ضلع قائم اول}^2 + \text{ضلع قائم دوم}^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$$ $$\text{وتر}^2 = 2^2 = 4$$ چون $4 = 4$، پس **رابطه‌ی فیثاغورس برقرار است**. **۳. مثلث سبز (سمت راست):** اضلاع: $\frac{5}{4}$، $\frac{7}{2}$، $9$. (وتر $9$ است) ابتدا $\frac{7}{2}$ و $\frac{5}{4}$ را به صورت اعشاری می‌نویسیم تا مقایسه آسان‌تر شود: $\frac{7}{2} = 3.5$ و $\frac{5}{4} = 1.25$. وتر $9$ است. $$\text{ضلع قائم اول}^2 + \text{ضلع قائم دوم}^2 = (\frac{5}{4})^2 + (\frac{7}{2})^2$$ $$= \frac{5^2}{4^2} + \frac{7^2}{2^2} = \frac{25}{16} + \frac{49}{4}$$ برای جمع، مخرج مشترک $16$ می‌گیریم: $$= \frac{25}{16} + \frac{49 \times 4}{4 \times 4} = \frac{25}{16} + \frac{196}{16} = \frac{25+196}{16} = \frac{221}{16}$$ حالا مجذور وتر را محاسبه می‌کنیم: $$\text{وتر}^2 = 9^2 = 81$$ برای مقایسه، $\frac{221}{16}$ را به عدد مخلوط تبدیل می‌کنیم: $221 \div 16 \approx 13.8125$. چون $\frac{221}{16} \neq 81$ (یا $13.8125 \neq 81$)، پس **رابطه‌ی فیثاغورس برقرار نیست**. **توجه:** مثلث سبز قائم‌الزاویه نیست، زیرا رابطه‌ی فیثاغورس برای آن برقرار نشد. --- ### **حل سؤال ۲: محاسبه طول $x$، $y$ و $z$** برای این بخش از تصویر دوم استفاده می‌کنیم (تصویر شماره ۴). باید طول $x$، $y$ و $z$ را با استفاده از رابطه‌ی فیثاغورس به دست آوریم. **۱. محاسبه $x$ (مثلث سمت چپ):** این مثلث قائم‌الزاویه است. اضلاع قائم هر دو $1$ و وتر $x$ است. $$x^2 = 1^2 + 1^2$$ $$x^2 = 1 + 1$$ $$x^2 = 2$$ $$x = \sqrt{2}$$ **۲. محاسبه $y$ (شکل وسط):** این شکل از دو مثلث قائم‌الزاویه‌ی به هم چسبیده تشکیل شده است. * **گام اول:** طول ضلع مشترک (وتر مثلث پایینی) را که در واقع $x$ در مثال قبل بود، محاسبه می‌کنیم. اگر این ضلع را $d$ بنامیم: $$d^2 = 1^2 + 1^2 \implies d^2 = 2 \implies d = \sqrt{2}$$ * **گام دوم:** در مثلث بالایی، اضلاع قائم $d = \sqrt{2}$ و $1$ و وتر $y$ است. $$y^2 = d^2 + 1^2$$ $$y^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2$$ $$y^2 = 2 + 1$$ $$y^2 = 3$$ $$y = \sqrt{3}$$ **۳. محاسبه $z$ (شکل سمت راست):** این شکل از سه مثلث قائم‌الزاویه‌ی به هم چسبیده تشکیل شده است. $\sqrt{3}$ همان $y$ است. * **گام اول:** طول ضلع مشترک (وتر مثلث میانی) که $y$ بود، را داریم: $y = \sqrt{3}$. * **گام دوم:** در مثلث بالایی (سومین مثلث)، اضلاع قائم $y = \sqrt{3}$ و $1$ و وتر $z$ است. $$z^2 = y^2 + 1^2$$ $$z^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$$ $$z^2 = 3 + 1$$ $$z^2 = 4$$ $$z = \sqrt{4} = 2$$ **پاسخ نهایی:** طول $x$، $y$ و $z$ به ترتیب $\sqrt{2}$، $\sqrt{3}$ و $2$ هستند. این سازه به **مارپیچ فیثاغورس** معروف است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 86 - کار در کلاس 2 (ادامه) این تمرین بخش دوم سؤال ۲ از «کار در کلاس» است و به محاسبه‌ی طول‌های مجهول $x$، $y$ و $z$ در یک دنباله از مثلث‌های قائم‌الزاویه (مارپیچ فیثاغورس) می‌پردازد. ما باید قدم به قدم پیش برویم و از وتر مثلث قبلی برای محاسبه‌ی وتر مثلث بعدی استفاده کنیم. --- ### **۱. محاسبه طول $x$ (مثلث اول):** در مثلث قائم‌الزاویه اول، اضلاع قائم هر دو برابر با $1$ هستند. $x$ وتر است. $$\text{ضلع قائم اول}^2 + \text{ضلع قائم دوم}^2 = \text{وتر}^2$$ $$1^2 + 1^2 = x^2$$ $$1 + 1 = x^2$$ $$x^2 = 2$$ $$\mathbf{x = \sqrt{2}}$$ ### **۲. محاسبه طول $y$ (مثلث دوم):** مثلث دوم یک ضلع قائم به طول $1$ و یک ضلع قائم دیگر به طول $x = \sqrt{2}$ دارد. $y$ وتر این مثلث است. $$\text{ضلع قائم اول}^2 + \text{ضلع قائم دوم}^2 = \text{وتر}^2$$ $$x^2 + 1^2 = y^2$$ $$(\sqrt{2})^2 + 1^2 = y^2$$ $$2 + 1 = y^2$$ $$y^2 = 3$$ $$\mathbf{y = \sqrt{3}}$$ ### **۳. محاسبه طول $z$ (مثلث سوم):** مثلث سوم یک ضلع قائم به طول $1$ و یک ضلع قائم دیگر به طول $y = \sqrt{3}$ دارد. $z$ وتر این مثلث است. $$\text{ضلع قائم اول}^2 + \text{ضلع قائم دوم}^2 = \text{وتر}^2$$ $$y^2 + 1^2 = z^2$$ $$(\sqrt{3})^2 + 1^2 = z^2$$ $$3 + 1 = z^2$$ $$z^2 = 4$$ $$\mathbf{z = \sqrt{4} = 2}$$ **نکته مهم:** همانطور که می‌بینید، با هر بار اضافه کردن یک ضلع قائم به طول $1$ به وتر قبلی، رادیکال به اندازه‌ی یک واحد افزایش می‌یابد: $\sqrt{1}$ (ضلع شروع)، $\sqrt{2}$، $\sqrt{3}$، $\sqrt{4}$ ($=2$) و همینطور ادامه پیدا می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 86 - فعالیت 1 (بخش اول) در این فعالیت از ما خواسته شده است که از **رابطه‌ی فیثاغورس** برای پیدا کردن اندازه‌ی ضلع مجهول در مسائل کاربردی استفاده کنیم. در هر دو مثال، شکل تشکیل شده یک **مثلث قائم‌الزاویه** است. --- ### **حل مثال نردبان و خانه (محاسبه $y$):** نردبان، دیوار خانه و زمین تشکیل یک مثلث قائم‌الزاویه می‌دهند. در این مثلث: * دیوار و زمین، **اضلاع قائم** هستند (زاویه‌ی $90$ درجه بین آن‌ها است). طول هر دو ضلع قائم $3$ متر است. * نردبان، **وتر** مثلث است (مقابل زاویه‌ی $90$ درجه). طول وتر $y$ است. طبق رابطه‌ی فیثاغورس: $$\text{ضلع قائم اول}^2 + \text{ضلع قائم دوم}^2 = \text{وتر}^2$$ $$3^2 + 3^2 = y^2$$ **گام ۱: مجذورگیری و جمع** $$9 + 9 = y^2$$ $$18 = y^2$$ **گام ۲: ریشه‌گیری** $$y = \sqrt{18}$$ (طول همیشه مثبت است) **گام ۳: ساده‌سازی رادیکال** (اختیاری اما بهتر است) $$y = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2}$$ $$y = 3\sqrt{2} \text{ متر}$$ بنابراین، طول نردبان $3\sqrt{2}$ متر (حدوداً $4.24$ متر) است. --- ### **حل مثال بادبادک (محاسبه $z$):** نخ بادبادک، فاصله‌ی افقی و ارتفاع بادبادک تشکیل یک مثلث قائم‌الزاویه‌ی فرضی می‌دهند. در این مثلث: * فاصله‌ی افقی و ارتفاع عمودی ($z$)، **اضلاع قائم** هستند. طول ضلع افقی $3$ متر است. * نخ بادبادک، **وتر** مثلث است. طول وتر $5$ متر است. طبق رابطه‌ی فیثاغورس: $$\text{ضلع قائم اول}^2 + \text{ضلع قائم دوم}^2 = \text{وتر}^2$$ $$3^2 + z^2 = 5^2$$ **گام ۱: مجذورگیری** $$9 + z^2 = 25$$ **گام ۲: جدا کردن $z^2$** $$z^2 = 25 - 9$$ $$z^2 = 16$$ **گام ۳: ریشه‌گیری** $$z = \sqrt{16}$$ $$z = 4 \text{ متر}$$ بنابراین، ارتفاع بادبادک از نقطه‌ی نگهدارنده $4$ متر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 86 - فعالیت 2 (تکمیل تساوی‌های جبری) این فعالیت برای تثبیت فرمول‌های مختلف **رابطه‌ی فیثاغورس** است. در مثلث قائم‌الزاویه‌ی داده شده، اضلاع $b$ و $c$ **اضلاع قائم** و $a$ **وتر** است (چون مقابل زاویه‌ی $90$ درجه قرار دارد). --- ### **فرمول اصلی (پیدا کردن وتر):** مجذور وتر ($a^2$) برابر است با مجموع مجذورهای دو ضلع قائمه‌ی دیگر ($b^2$ و $c^2$): $$\mathbf{a^2 = b^2 + c^2}$$ ### **فرمول‌های فرعی (پیدا کردن ضلع قائم):** برای پیدا کردن مجذور هر ضلع قائم، باید مجذور ضلع قائم دیگر را از مجذور وتر کم کنیم. همیشه باید **وتر (ضلع بلندتر) را ابتدا نوشت** و ضلع قائم دیگر را از آن کم کرد. * **پیدا کردن $b^2$:** $$\mathbf{b^2 = a^2 - c^2}$$ * **پیدا کردن $c^2$:** $$\mathbf{c^2 = a^2 - b^2}$$ **تذکر آموزشی:** همیشه یادتان باشد که در رابطه‌ی فیثاغورس، ضلع تکی در یک طرف تساوی، **فقط وتر** است. وقتی یکی از اضلاع قائم مجهول باشد، برای پیدا کردن آن باید **منها** کنیم (مجذور وتر منهای مجذور ضلع قائم معلوم).