حل تمرین صفحه 126 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 126 - فعالیت 5 این تمرین به شما یاد می‌دهد که چگونه **میانگین** داده‌های **دسته‌بندی شده** را محاسبه کنید. ### گام اول: تکمیل جدول فراوانی 1. **پیدا کردن فراوانی‌ها از 'خط نشان':** * دسته اول $[0, 4)$: $\text{IIII I}$ $\rightarrow$ **۶** * دسته دوم $[4, 8)$: $\text{IIII}$ $\rightarrow$ **۴** * دسته پنجم $[16, 20)$: $\text{IIII IIII}$ $\rightarrow$ **۹** 2. **پیدا کردن فراوانی دسته چهارم ($12 \le x < 16$):** مجموع کل فراوانی‌ها $44$ است. $$فراوانی \ دسته \ ۴ = 44 - (6 + 4 + 8 + 9) = 44 - 27 = 17$$ 3. **پیدا کردن 'مرکز دسته' برای دسته‌های خالی:** * **مرکز دسته**، میانگین حدود دسته است. (طول هر دسته $4$ است) * دسته $[0, 4)$: $\frac{0 + 4}{2} = 2$ * دسته $[4, 8)$: $\frac{4 + 8}{2} = 6$ * دسته $[12, 16)$: $\frac{12 + 16}{2} = 14$ 4. **محاسبه ستون 'مرکز $\times$ فراوانی':** | دسته‌ها | خط نشان | فراوانی ($f_i$) | مرکز دسته ($x_i$) | مرکز $\times$ فراوانی ($f_i x_i$) | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $0 \le x < 4$ | $\text{IIII I}$ | **۶** | **۲** | $6 \times 2 = **12**$ | | $4 \le x < 8$ | $\text{IIII}$ | **۴** | **۶** | $4 \times 6 = **24**$ | | $8 \le x < 12$ | $\text{IIII III}$ | $8$ | $10$ | $8 \times 10 = **80**$ | | $12 \le x < 16$ | $\text{IIII IIII IIII II}$ | **۱۷** | **۱۴** | $17 \times 14 = **238**$ | | $16 \le x < 20$ | $\text{IIII IIII}$ | **۹** | $18$ | $9 \times 18 = **162**$ | | **جمع** | | $44$ | | **$516$** | (***توجه***: برای سطر سوم و پنجم، خط نشان حدسی پر شده است تا فراوانی‌ها مطابقت داشته باشد.) --- ### گام دوم: محاسبه میانگین داده‌های دسته‌بندی شده برای داده‌های دسته‌بندی شده، میانگین از فرمول زیر به دست می‌آید: $$\overline{x} = \frac{\text{مجموع (مرکز } \times \text{ فراوانی)}}{\text{مجموع فراوانی‌ها}} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$$ $$\overline{x} = \frac{12 + 24 + 80 + 238 + 162}{44}$$ $$\overline{x} = \frac{516}{44} \approx 11.727$$ **میانگین این داده‌های دسته‌بندی شده تقریباً $11.73$ است.**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 126 - فعالیت 4 این فعالیت به بررسی تأثیر داده‌های **دورافتاده (Outliers)** بر روی **میانگین** می‌پردازد. ### قسمت الف: حذف نمره بسیار پایین ($3.5$) **داده‌های اولیه:** * تعداد دانش‌آموزان: $n_1 = 30$ * میانگین نمرات: $\overline{x}_1 = 17.25$ * نمره دانش‌آموز مورد نظر: $x_{\text{حذف}} = 3.5$ **حدس شما:** اگر نمره $3.5$ (که بسیار پایین‌تر از میانگین $17.25$ است) را حذف کنیم، **میانگین کلاس بیشتر می‌شود.** زیرا این نمره، میانگین کل را به سمت پایین می‌کشیده است. **محاسبه برای بررسی حدس: ** 1. **محاسبه مجموع نمرات اولیه:** $$S_1 = \overline{x}_1 \times n_1 = 17.25 \times 30 = 517.5$$ 2. **محاسبه مجموع نمرات جدید (پس از حذف $3.5$):** $$S_{\text{جدید}} = S_1 - x_{\text{حذف}} = 517.5 - 3.5 = 514$$ 3. **تعداد دانش‌آموزان جدید:** $$n_{\text{جدید}} = 30 - 1 = 29$$ 4. **محاسبه میانگین جدید:** $$\overline{x}_{\text{جدید}} = \frac{514}{29} \approx 17.724$$ **نتیجه‌گیری:** میانگین جدید $17.724$ از میانگین اولیه $17.25$ **بیشتر** است. بنابراین، حدس ما درست بود. حذف یک داده بسیار دورافتاده (کوچک)، میانگین را به سمت بالا می‌کشد. --- ### قسمت ب: حذف نمره بسیار بالا ($20$) **داده‌های اولیه:** * تعداد دانش‌آموزان: $n_2 = 30$ * میانگین نمرات: $\overline{x}_2 = 10.25$ * نمره دانش‌آموز مورد نظر: $x_{\text{حذف}} = 20$ **حدس شما:** اگر نمره $20$ (که بسیار بالاتر از میانگین $10.25$ است، در حالی که بقیه نمرات زیر $14$ هستند) را حذف کنیم، **میانگین کلاس کمتر می‌شود.** زیرا این نمره، میانگین کل را به سمت بالا می‌کشیده است. **محاسبه برای بررسی حدس: ** 1. **محاسبه مجموع نمرات اولیه:** $$S_2 = \overline{x}_2 \times n_2 = 10.25 \times 30 = 307.5$$ 2. **محاسبه مجموع نمرات جدید (پس از حذف $20$):** $$S_{\text{جدید}} = 307.5 - 20 = 287.5$$ 3. **تعداد دانش‌آموزان جدید:** $$n_{\text{جدید}} = 30 - 1 = 29$$ 4. **محاسبه میانگین جدید:** $$\overline{x}_{\text{جدید}} = \frac{287.5}{29} \approx 9.914$$ **نتیجه‌گیری:** میانگین جدید $9.914$ از میانگین اولیه $10.25$ **کمتر** است. بنابراین، حدس ما درست بود. حذف یک داده بسیار دورافتاده (بزرگ)، میانگین را به سمت پایین می‌کشد. **میانگین** به شدت تحت تأثیر داده‌های **دورافتاده** قرار می‌گیرد.