۱_ با یکی از روش‌های بالا شمارنده‌های هر عدد را مشخص کنید.
شمارنده‌های یک عدد، اعدادی هستند که آن عدد بر آنها بخش‌پذیر است. برای پیدا کردن شمارنده‌ها، می‌توان تمام تقسیم‌های بدون باقی‌مانده را در نظر گرفت.
- **شمارنده‌های ۱۵:**
$$۱, ۳, ۵, ۱۵$$
- **شمارنده‌های ۱۴:**
$$۱, ۲, ۷, ۱۴$$
- **شمارنده‌های ۸:**
$$۱, ۲, ۴, ۸$$
- **شمارنده‌های ۹:**
$$۱, ۳, ۹$$
۲_ عدد ۲، شمارندهٔ ۴ است. ۴ هم شمارندهٔ ۱۲ است. آیا می‌توان نتیجه گرفت که ۲ شمارندهٔ ۱۲ هم هست؟ چرا؟
**بله**، می‌توان نتیجه گرفت که ۲ شمارندهٔ ۱۲ نیز هست.
**چرا؟**
این موضوع به دلیل **خاصیت تعدی** در بخش‌پذیری است.
- **توضیح ساده:** وقتی می‌گوییم ۴ شمارنده ۱۲ است، یعنی عدد ۱۲ از دسته‌های ۴ تایی تشکیل شده ($۱۲ = ۳ \times ۴$). همچنین وقتی می‌گوییم ۲ شمارنده ۴ است، یعنی هر کدام از آن دسته‌های ۴ تایی، خودشان از دسته‌های ۲ تایی تشکیل شده‌اند ($۴ = ۲ \times ۲$). بنابراین، می‌توانیم کل عدد ۱۲ را نیز به دسته‌های ۲ تایی تقسیم کنیم.
- **توضیح ریاضی:**
- $۴$ شمارندهٔ $۱۲$ است، یعنی: $۱۲ = ۴ \times ۳$
- $۲$ شمارندهٔ $۴$ است، یعنی: $۴ = ۲ \times ۲$
- حالا در رابطه اول، به جای $۴$ مقدار معادل آن را قرار می‌دهیم:
$$۱۲ = (۲ \times ۲) \times ۳ = ۲ \times ۶$$
چون ۱۲ به صورت حاصل‌ضرب ۲ در یک عدد طبیعی نوشته شد، پس ۲ شمارندهٔ ۱۲ است.
۳_ به طور کلی اگر a شمارندهٔ b باشد، b هم شمارندهٔ c باشد، آیا می‌توان نتیجه گرفت که a شمارندهٔ c هم هست؟ چرا؟
**بله**، می‌توان این نتیجه را گرفت. این قانون به عنوان **خاصیت تعدی بخش‌پذیری** شناخته می‌شود.
**چرا؟**
با استفاده از تعریف شمارنده می‌توانیم این موضوع را اثبات کنیم.
- «$a$ شمارنده $b$ است» به این معناست که یک عدد طبیعی مانند $k$ وجود دارد به طوری که:
$$b = a \times k$$
- «$b$ شمارنده $c$ است» به این معناست که یک عدد طبیعی مانند $m$ وجود دارد به طوری که:
$$c = b \times m$$
- حالا در رابطه دوم، به جای $b$ مقدار معادل آن از رابطه اول را جایگزین می‌کنیم:
$$c = (a \times k) \times m$$
با توجه به خاصیت شرکت‌پذیری ضرب، داریم:
$$c = a \times (k \times m)$$
از آنجایی که $k$ و $m$ اعداد طبیعی هستند، حاصل‌ضرب آنها ($k \times m$) نیز یک عدد طبیعی خواهد بود. بنابراین، $c$ به صورت حاصل‌ضرب $a$ در یک عدد طبیعی نوشته شد، که این اثبات می‌کند **$a$ شمارنده $c$ است**.
