۱_ در دورهٔ دبستان آموختید که چگونه کسرها را ساده کنید. به مثال‌های زیر توجه کنید. با تجزیه کردن (نوشتن عدد به صورت ضرب عامل‌های اول)، عددهای صورت و مخرج، کسرها را تا حد امکان ساده کنید. در واقع شمارنده‌های مشترک صورت و مخرج را ساده کنید.
برای ساده کردن کسرها با این روش، ابتدا صورت و مخرج را به شمارنده‌های اول تجزیه می‌کنیم و سپس شمارنده‌های مشترک را از صورت و مخرج با هم خط می‌زنیم.
- **کسر اول: $\frac{۲۰}{۵۰}$**
$$ \frac{۲۰}{۵۰} = \frac{۲ \times ۲ \times ۵}{۲ \times ۵ \times ۵} = \frac{۲ \times \cancel{۲} \times \cancel{۵}}{\cancel{۲} \times \cancel{۵} \times ۵} = \frac{۲}{۵} $$
- **کسر دوم: $\frac{۲۸}{۴۲}$**
$$ \frac{۲۸}{۴۲} = \frac{۲ \times ۲ \times ۷}{۲ \times ۳ \times ۷} = \frac{۲ \times \cancel{۲} \times \cancel{۷}}{\cancel{۲} \times ۳ \times \cancel{۷}} = \frac{۲}{۳} $$
- **کسر سوم: $\frac{۸۱}{۳۲}$**
$$ \frac{۸۱}{۳۲} = \frac{۳ \times ۳ \times ۳ \times ۳}{۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲} $$
چون صورت و مخرج هیچ شمارنده اول مشترکی ندارند، این کسر **ساده نمی‌شود** و در ساده‌ترین حالت خود قرار دارد.
۲_ مساحت یک مستطیل که طول و عرض آن عددهای طبیعی‌اند، ۱۸ شده است. تمام حالت‌هایی را که طول و عرض مستطیل می‌تواند داشته باشد، بنویسید. طول و عرض این مستطیل چه ارتباطی با مساحت آن دارد؟
برای پیدا کردن تمام حالت‌های ممکن برای طول و عرض، باید تمام جفت عددهای طبیعی را پیدا کنیم که حاصل‌ضرب آنها ۱۸ شود.
**تمام حالت‌های ممکن برای (طول، عرض):**
- $(۱۸, ۱)$
- $(۹, ۲)$
- $(۶, ۳)$
(همچنین حالت‌های جابجا شده $(۱, ۱۸)$ و $(۲, ۹)$ و $(۳, ۶)$ نیز ممکن هستند.)
**ارتباط طول و عرض با مساحت:**
طول و عرض یک مستطیل، **شمارنده‌های (عامل‌های ضرب)** مساحت آن هستند. به عبارت دیگر، حاصل‌ضرب طول در عرض همیشه برابر با مساحت مستطیل است.
