جواب کاردرکلاس صفحه 74 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 74 هفتم - فعالیت 2 این تمرین بر محاسبه‌ی **حجم منشورها و استوانه‌ها** متمرکز است. فرمول اصلی که در بالای سوال آمده، کلید حل است: $$V = s \times h$$ که در آن $V$ حجم، $s$ **مساحت قاعده** و $h$ **ارتفاع** شکل است. به یاد داشته باشید که در منشورها و استوانه‌ها، قاعده و سطح مقطع در طول ارتفاع ثابت باقی می‌مانند، به همین دلیل این فرمول کاربرد دارد. بیایید حجم هر یک از شکل‌ها را بر اساس اندازه‌های داده شده محاسبه کنیم: | شکل | مساحت قاعده ($s$) | ارتفاع ($h$) | محاسبه حجم ($V = s \times h$) | حجم ($V$) | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | **مکعب مستطیل (آبی)** | $s = 5 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} = 15 \text{ cm}^2$ (نمونه حل شده) | $4 \text{ cm}$ | $V = 15 \times 4$ | $60 \text{ cm}^3$ | | **منشور مثلثی (صورتی)** | $s = 4 \text{ cm}$ | $3 \text{ cm}$ | $V = 4 \times 3$ | $12 \text{ cm}^3$ | | **منشور ذوزنقه‌ای (بنفش)** | $s = 4/5 \text{ cm}^2$ | $2 \text{ cm}$ | $V = 4/5 \times 2$ | $8/5 \text{ cm}^3$ (یا $1/6 \text{ cm}^3$) | | **منشور مثلثی (سبز)** | $s = 2/5 \text{ cm}^2$ | $4 \text{ cm}$ | $V = 2/5 \times 4$ | $8/5 \text{ cm}^3$ (یا $1/6 \text{ cm}^3$) | | **استوانه (سبز گِرد)** | $s = 4/5 \text{ cm}^2$ | $2/5 \text{ cm}$ | $V = 4/5 \times 2/5$ | $8/25 \text{ cm}^3$ (یا $0/32 \text{ cm}^3$) | | **نیم‌استوانه (صورتی گِرد)** | $s = 3/2 \text{ cm}^2$ | $5 \text{ cm}$ | $V = 3/2 \times 5$ | $15/2 \text{ cm}^3$ (یا $7/5 \text{ cm}^3$) | | **منشور ستاره‌ای (آبی ستاره)** | $s = 6/5 \text{ cm}^2$ | $1/5 \text{ cm}$ | $V = 6/5 \times 1/5$ | $6/25 \text{ cm}^3$ (یا $0/24 \text{ cm}^3$) | | **مکعب مستطیل (نارنجی)** | $s = 3 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 15 \text{ cm}^2$ | $5/5 \text{ cm}$ | $V = 15 \times 5/5$ | $75/5 \text{ cm}^3$ (یا $15 \text{ cm}^3$) | | **منشور ذوزنقه‌ای (بنفش)** | $s = 4/6 \text{ cm}^2$ | $6/2 \text{ cm}$ | $V = 4/6 \times 6/2$ | $24/12 \text{ cm}^3$ (یا $2 \text{ cm}^3$) | | **منشور U شکل (فیروزه‌ای)** | $s = 3/2 \text{ cm}^2$ | $5 \text{ cm}$ | $V = 3/2 \times 5$ | $15/2 \text{ cm}^3$ (یا $7/5 \text{ cm}^3$) | | **نیم‌استوانه‌ی توخالی (آبی گِرد)** | $s = 7/5 \text{ cm}^2$ | $2 \text{ cm}$ | $V = 7/5 \times 2$ | $14/5 \text{ cm}^3$ (یا $2/8 \text{ cm}^3$) | **توضیح:** دقت کنید که در این تمرین، مقدار **مساحت قاعده ($s$)** به صورت مستقیم برای اغلب اشکال داده شده است. تنها کاری که باید انجام دهید، ضرب آن در ارتفاع ($h$) است تا حجم ($V$) به دست آید. در مکعب مستطیل‌ها، مساحت قاعده را خودتان باید از ضرب طول در عرض حساب کنید.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 74 هفتم - فعالیت 3 هدف این فعالیت تقویت مهارت شما در نوشتن **روابط جبری** برای مساحت قاعده ($s$) و حجم ($V$) اجسام هندسی است. ### **1. مکعب مستطیل (صورتی)** * **ابعاد:** طول: $6 \text{ cm}$، عرض: $3 \text{ cm}$، ارتفاع: $5 \text{ cm}$ 1. **مساحت قاعده ($s$):** قاعده یک مستطیل است. * **رابطه جبری:** $$s_{\text{مستطیل}} = \text{طول} \times \text{عرض}$$ $$s = 6 \times 3$$ * **مقدار عددی:** $s = 18 \text{ cm}^2$ 2. **حجم ($V$):** حجم برابر است با مساحت قاعده ضربدر ارتفاع. * **رابطه جبری:** $$V_{\text{مکعب مستطیل}} = s \times h$$ $$V = (6 \times 3) \times 5$$ * **مقدار عددی:** $V = 18 \times 5 = 90 \text{ cm}^3$ *** ### **2. مکعب مربع (نارنجی)** * **ابعاد:** طول: $5 \text{ cm}$، عرض: $5 \text{ cm}$، ارتفاع: $5 \text{ cm}$ 1. **مساحت قاعده ($s$):** قاعده یک مربع است. * **رابطه جبری:** $$s_{\text{مربع}} = \text{ضلع} \times \text{ضلع}$$ $$s = 5 \times 5$$ * **مقدار عددی:** $s = 25 \text{ cm}^2$ 2. **حجم ($V$):** حجم برابر است با مساحت قاعده ضربدر ارتفاع. * **رابطه جبری:** $$V_{\text{مکعب}} = s \times h$$ $$V = (5 \times 5) \times 5$$ یا $$V = 5^3$$ * **مقدار عددی:** $V = 25 \times 5 = 125 \text{ cm}^3$ *** ### **3. استوانه (سبز)** * **ابعاد:** قطر: $4 \text{ cm}$ (شعاع $r = 2 \text{ cm}$)، ارتفاع: $7 \text{ cm}$ 1. **مساحت قاعده ($s$):** قاعده یک دایره است. * **رابطه جبری:** $$s_{\text{دایره}} = \pi r^2$$ $$s = \pi (2)^2$$ * **مقدار عددی:** $s = 4\pi \text{ cm}^2$ (تقریباً $12/56 \text{ cm}^2$) 2. **حجم ($V$):** حجم برابر است با مساحت قاعده ضربدر ارتفاع. * **رابطه جبری:** $$V_{\text{استوانه}} = s \times h$$ $$V = \pi r^2 h$$ $$V = \pi (2)^2 (7)$$ * **مقدار عددی:** $V = 4\pi \times 7 = 28\pi \text{ cm}^3$ (تقریباً $87/92 \text{ cm}^3$) *** ### **4. منشور ذوزنقه‌ای (بنفش)** * **ابعاد قاعده (ذوزنقه):** قاعده‌ی کوچک $3 \text{ cm}$، قاعده‌ی بزرگ $8 \text{ cm}$، ارتفاع ذوزنقه $3 \text{ cm}$. **ارتفاع منشور** $6 \text{ cm}$. 1. **مساحت قاعده ($s$):** قاعده یک ذوزنقه است. * **رابطه جبری:** $$s_{\text{ذوزنقه}} = \frac{(\text{قاعده‌ی کوچک} + \text{قاعده‌ی بزرگ}) \times \text{ارتفاع ذوزنقه}}{2}$$ $$s = \frac{(3 + 8) \times 3}{2}$$ (توجه: $h$ در این رابطه، ارتفاع ذوزنقه است نه ارتفاع منشور) * **مقدار عددی:** $s = \frac{11 \times 3}{2} = \frac{33}{2} = 16/5 \text{ cm}^2$ 2. **حجم ($V$):** حجم برابر است با مساحت قاعده ضربدر ارتفاع (ارتفاع منشور). * **رابطه جبری:** $$V_{\text{منشور}} = s \times h_{\text{منشور}}$$ $$V = \left(\frac{33}{2}\right) \times 6$$ (توجه: $h_{\text{منشور}} = 6 \text{ cm}$) * **مقدار عددی:** $V = 33 \times 3 = 99 \text{ cm}^3$ *** ### **5. منشور U شکل (آبی)** * **ابعاد قاعده (U شکل):** عرض کل $3 \text{ cm}$، ارتفاع کل $2 \text{ cm}$، ضخامت دیواره‌ها $1 \text{ cm}$. **ارتفاع منشور** $10 \text{ cm}$. 1. **مساحت قاعده ($s$):** قاعده یک مستطیل بزرگ ($3 \times 2$) منهای یک مستطیل کوچک حذف شده ($1 \times 1$) است. * **رابطه جبری:** $$s_{\text{U شکل}} = (\text{مساحت مستطیل بزرگ}) - (\text{مساحت فضای خالی})$$ $$s = (3 \times 2) - (1 \times 1)$$ * **مقدار عددی:** $s = 6 - 1 = 5 \text{ cm}^2$ 2. **حجم ($V$):** حجم برابر است با مساحت قاعده ضربدر ارتفاع منشور. * **رابطه جبری:** $$V_{\text{منشور}} = s \times h$$ $$V = 5 \times 10$$ * **مقدار عددی:** $V = 50 \text{ cm}^3$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 74 هفتم - تمرین 4 این سوال یک کاربرد عملی از محاسبه‌ی **حجم استوانه** است. «چند متر مکعب آب می‌گیرد؟» یعنی باید حجم استوانه را بر حسب متر مکعب حساب کنیم. ### **گام 1: نوشتن فرمول حجم استوانه** حجم استوانه نیز مانند منشورها از فرمول کلی $$V = s \times h$$ به دست می‌آید. از آنجایی که قاعده‌ی استوانه دایره است، مساحت قاعده ($s$) از فرمول مساحت دایره ($s = \pi r^2$) محاسبه می‌شود. $$V = \pi r^2 h$$ ### **گام 2: مشخص کردن مقادیر** * **شعاع قاعده** ($r$): $0/8$ متر * **ارتفاع** ($h$): $2$ متر * **عدد پی** ($\pi$): معمولاً $3/14$ یا $\frac{22}{7}$ در نظر گرفته می‌شود. ما از $3/14$ استفاده می‌کنیم. ### **گام 3: جایگذاری و محاسبه** ابتدا مربع شعاع را محاسبه می‌کنیم: $$r^2 = (0/8)^2 = 0/8 \times 0/8 = 0/64 \text{ m}^2$$ سپس حجم را محاسبه می‌کنیم: $$V = \pi \times r^2 \times h$$ $$V = 3/14 \times 0/64 \times 2$$ $$V = 3/14 \times 1/28$$ $$V \approx 4/0192 \text{ m}^3$$ > **نتیجه:** این منبع آب تقریباً **$4/0192$ متر مکعب** آب می‌گیرد. **نکته مهم:** واحد حجم **متر مکعب ($m^3$)** است که در واقع ظرفیت منبع را نشان می‌دهد.