پاسخ فعالیت صفحه 76 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 76 هفتم - فعالیت 1 این فعالیت با هدف معرفی مفهوم **مساحت جانبی** در منشورها طراحی شده است. مساحت جانبی، در واقع مساحت سطح خارجی اطراف یک جسم است که شامل مساحت قاعده و سقف نمی‌شود. ### **اصل کلی: شکل وجه‌های جانبی** در هر منشور، وجه‌های جانبی همگی به شکل **مستطیل** هستند. طول این مستطیل‌ها برابر با **ضلع قاعده** و عرض آن‌ها برابر با **ارتفاع منشور** است. --- ### **1. مکعب مستطیل (قهوه‌ای)** * **ابعاد قاعده:** $3 \text{ cm}$ و $2 \text{ cm}$. * **ارتفاع منشور ($h$):** $6 \text{ cm}$. * **تعداد وجه‌های جانبی:** $4$ وجه. * **مساحت وجه‌ها:** * **وجه 1 و 3:** $3 \times 6 = 18 \text{ cm}^2$ (دو بار) * **وجه 2 و 4:** $2 \times 6 = 12 \text{ cm}^2$ (دو بار) * **مساحت جانبی ($S_{\text{جانبی}}$):** $$S_{\text{جانبی}} = (2 \times 18) + (2 \times 12) = 36 + 24 = 60 \text{ cm}^2$$ --- ### **2. منشور شش پهلو (قرمز)** * **ابعاد قاعده:** یک شش ضلعی منتظم (تمام اضلاع برابر) با ضلع $2 \text{ cm}$. * **ارتفاع منشور ($h$):** $5 \text{ cm}$. * **تعداد وجه‌های جانبی:** $6$ وجه. * **مساحت وجه‌ها:** از آنجایی که اضلاع قاعده برابر هستند، مساحت $6$ مستطیل یکسان است. * **مساحت هر وجه:** $2 \times 5 = 10 \text{ cm}^2$ * **مساحت جانبی ($S_{\text{جانبی}}$):** $$S_{\text{جانبی}} = 6 \times (10) = 60 \text{ cm}^2$$ --- ### **3. منشور سه پهلو (بنفش)** * **ابعاد قاعده (مثلث قائم الزاویه):** اضلاع قائم $3 \text{ cm}$ و $4 \text{ cm}$. وتر $5 \text{ cm}$. * **ارتفاع منشور ($h$):** $7 \text{ cm}$. * **تعداد وجه‌های جانبی:** $3$ وجه. * **مساحت وجه‌ها:** (هر سه وجه مستطیل هستند، اما ابعاد متفاوتی دارند) * **وجه 1 (زیر):** $5 \times 7 = 35 \text{ cm}^2$ * **وجه 2 (پشت):** $4 \times 7 = 28 \text{ cm}^2$ * **وجه 3 (جلوی چپ):** $3 \times 7 = 21 \text{ cm}^2$ * **مساحت جانبی ($S_{\text{جانبی}}$):** $$S_{\text{جانبی}} = 35 + 28 + 21 = 84 \text{ cm}^2$$ > **نکته:** در همه‌ی این موارد، مساحت جانبی برابر است با **محیط قاعده $\times$ ارتفاع منشور**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 76 هفتم - فعالیت 2 این فعالیت یک نمایش تصویری عالی از مفهوم **گسترده‌ی منشور** و نحوه‌ی محاسبه‌ی **مساحت جانبی** آن است. ### **شکل وجه‌های جانبی منشور سه پهلو** وقتی یک منشور (مثل منشور سه پهلو) را باز می‌کنیم، وجه‌های جانبی آن کنار هم قرار می‌گیرند و یک شکل واحد را تشکیل می‌دهند. این شکل واحد همیشه یک **مستطیل بزرگ** است. * **عرض مستطیل بزرگ:** عرض این مستطیل برابر است با **ارتفاع منشور** ($h=7$ در شکل). * **طول مستطیل بزرگ:** طول این مستطیل برابر است با **مجموع اضلاع قاعده** یا همان **محیط قاعده**. ### **رابطه‌ی مساحت جانبی** در منشور سه پهلوی مثال (با اضلاع قاعده $5$، $3$ و $4$): 1. **محیط قاعده ($P$):** $P = 5 + 3 + 4 = 12$ 2. **ارتفاع منشور ($h$):** $h = 7$ 3. **مساحت جانبی ($S_{\text{جانبی}}$):** مساحت مستطیل بزرگ است: $$S_{\text{جانبی}} = \text{طول} \times \text{عرض} = \text{محیط قاعده} \times \text{ارتفاع منشور}$$ $$S_{\text{جانبی}} = P \times h = 12 \times 7 = 84$$ > این روش، محاسبه‌ی مساحت جانبی را بسیار ساده می‌کند: به جای محاسبه‌ی مساحت هر وجه مستطیلی به صورت جداگانه و جمع کردن آن‌ها، کافی است **محیط قاعده** را به دست آورده و در **ارتفاع منشور** ضرب کنید.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 76 هفتم - فعالیت 3 این فعالیت شما را به مرحله‌ی **تعمیم دادن** مفهوم هندسی و تبدیل آن به یک **رابطه‌ی جبری** می‌رساند. در فعالیت‌های قبلی دیدیم که وقتی وجه‌های جانبی یک منشور را باز می‌کنیم (گسترده می‌کنیم)، در نهایت یک مستطیل بزرگ به دست می‌آید که: * **طول مستطیل** برابر است با **محیط قاعده منشور** ($P$). * **عرض مستطیل** برابر است با **ارتفاع منشور** ($h$). چون مساحت جانبی ($S_{\text{جانبی}}$) همان مساحت این مستطیل بزرگ است، فرمول جبری آن به صورت زیر تعریف می‌شود: $$S_{\text{جانبی}} = \text{محیط قاعده} \times \text{ارتفاع منشور}$$ با استفاده از نمادهای جبری که در سوال ذکر شده است ($S$ برای مساحت، $P$ برای محیط و $h$ برای ارتفاع)، رابطه‌ی جبری مساحت جانبی منشورها به صورت زیر خواهد بود: $$\mathbf{S = P \times h}$$ > **توضیح نمادها:** در این فرمول، **$S$** نشان‌دهنده‌ی مساحت جانبی، **$P$** نشان‌دهنده‌ی محیط قاعده‌ی منشور (مجموع اضلاع قاعده) و **$h$** نشان‌دهنده‌ی ارتفاع منشور است. این فرمول برای محاسبه‌ی مساحت جانبی **تمام منشورها و استوانه‌ها** کاربرد دارد.