پاسخ فعالیت صفحه 79 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 79 هفتم - فعالیت 1 این فعالیت بسیار مهم است و نشان می‌دهد که اگرچه مساحت کل سطح یکسان باشد، اما نحوه‌ی شکل‌دهی به آن می‌تواند **حجم** متفاوتی ایجاد کند. ابعاد مستطیل $60$ و $40$ است. ما $\pi \approx 3$ را در نظر می‌گیریم. --- ### **حالت اول: استوانه‌ی شماره 1 ($V_1$)** در این حالت، مستطیل دور ضلع $40$ تا شده است. ضلع $40$ تبدیل به **ارتفاع** و ضلع $60$ تبدیل به **محیط قاعده** می‌شود. * **ارتفاع ($h_1$):** $$h_1 = 40$$ * **محیط قاعده ($P_1$):** $$P_1 = 60$$ **گام 1: محاسبه‌ی شعاع قاعده ($r_1$)** $$\text{محیط} = 2 \pi r$$ $$60 = 2 \times 3 \times r_1$$ $$60 = 6 r_1 \implies r_1 = 10$$ **گام 2: محاسبه‌ی حجم ($V_1$)** $$V_1 = \pi r_1^2 h_1$$ $$V_1 = 3 \times (10)^2 \times 40$$ $$V_1 = 3 \times 100 \times 40 = 12,000$$ > **نتیجه:** حجم استوانه‌ی اول **$12,000$ واحد مکعب** است. --- ### **حالت دوم: استوانه‌ی شماره 2 ($V_2$)** در این حالت، مستطیل دور ضلع $60$ تا شده است. ضلع $60$ تبدیل به **ارتفاع** و ضلع $40$ تبدیل به **محیط قاعده** می‌شود. * **ارتفاع ($h_2$):** $$h_2 = 60$$ * **محیط قاعده ($P_2$):** $$P_2 = 40$$ **گام 1: محاسبه‌ی شعاع قاعده ($r_2$)** $$\text{محیط} = 2 \pi r$$ $$40 = 2 \times 3 \times r_2$$ $$40 = 6 r_2 \implies r_2 = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6/66$$ **گام 2: محاسبه‌ی حجم ($V_2$)** $$V_2 = \pi r_2^2 h_2$$ $$V_2 = 3 \times \left(\frac{20}{3}\right)^2 \times 60$$ $$V_2 = 3 \times \frac{400}{9} \times 60$$ $$V_2 = \frac{400}{3} \times 60 = 400 \times 20 = 8,000$$ > **نتیجه:** حجم استوانه‌ی دوم **$8,000$ واحد مکعب** است. --- ### **نتیجه‌گیری** با وجود اینکه هر دو استوانه از یک مستطیل با مساحت یکسان ($60 \times 40 = 2400$) ساخته شده‌اند، حجم آن‌ها متفاوت است ($12,000$ در مقابل $8,000$). **نتیجه:** > "اگر مساحت جانبی دو استوانه برابر باشد، لزوماً حجم آن‌ها برابر نیست. استوانه‌ای که **شعاع قاعده‌ی بزرگ‌تر و ارتفاع کوتاه‌تر** دارد (استوانه‌ی 1: $r_1=10$، $h_1=40$)، **حجم بیشتری** خواهد داشت ($12,000$ در مقابل $8,000$)." **نکته کلیدی:** در محاسبه‌ی حجم، شعاع قاعده به توان 2 می‌رسد ($\mathbf{r^2}$)، به همین دلیل شعاع تأثیر بسیار بیشتری در حجم نسبت به ارتفاع دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 79 هفتم - تمرین 2 این یک مسئله‌ی تحلیلی و مدیریتی است که بر اساس **حجم** (مقدار چای) و **مساحت کل** (مقدار ورق گالوانیزه) دو نوع بسته‌بندی تصمیم‌گیری می‌شود. ابعاد هر دو ظرف $10 \times 10$ است و $\pi \approx 3$ در نظر گرفته می‌شود. --- ### **بخش اول: محاسبه‌ی حجم (مقدار چای)** #### **1. حجم بسته‌بندی مکعبی ($V_{\text{مکعب}}$)** * **ابعاد:** طول $10$، عرض $10$، ارتفاع $10$. * $$V_{\text{مکعب}} = \text{طول} \times \text{عرض} \times \text{ارتفاع}$$ $$V_{\text{مکعب}} = 10 \times 10 \times 10 = 1000$$ واحد مکعب #### **2. حجم بسته‌بندی استوانه‌ای ($V_{\text{استوانه}}$)** * **ابعاد:** قطر $10$ (پس شعاع $r=5$)، ارتفاع $h=10$. * $$V_{\text{استوانه}} = \pi r^2 h$$ $$V_{\text{استوانه}} = 3 \times (5)^2 \times 10$$ $$V_{\text{استوانه}} = 3 \times 25 \times 10 = 750$$ واحد مکعب > **نتیجه:** چای بیشتری در **بسته‌بندی مکعبی ($1000$ واحد)** جای می‌گیرد. --- ### **بخش دوم: محاسبه‌ی مساحت کل (ورق گالوانیزه)** #### **1. مساحت کل بسته‌بندی مکعبی ($S_{\text{مکعب}}$)** * **مساحت کل:** $6$ وجه مربع با ضلع $10$. * $$S_{\text{مکعب}} = 6 \times (10 \times 10) = 600$$ واحد مربع #### **2. مساحت کل بسته‌بندی استوانه‌ای ($S_{\text{استوانه}}$)** * **ابعاد:** $r=5$، $h=10$. * **مساحت کل:** مساحت جانبی ($2\pi r h$) + مساحت دو قاعده ($2\pi r^2$). * **مساحت جانبی:** $$2 \times 3 \times 5 \times 10 = 300$$ * **مساحت دو قاعده:** $$2 \times 3 \times (5)^2 = 2 \times 3 \times 25 = 150$$ * $$S_{\text{استوانه}} = 300 + 150 = 450$$ واحد مربع > **نتیجه:** ورق گالوانیزه‌ی بیشتری در ساخت **بسته‌بندی مکعبی ($600$ واحد)** به کار رفته است. --- ### **بخش سوم: تحلیل مدیریتی و حمل‌ونقل** #### **مدیر کارخانه کدام را انتخاب می‌کند؟** انتخاب بستگی به هدف دارد: * **اگر هدف کاهش هزینه مواد اولیه باشد:** **بسته‌بندی استوانه‌ای** انتخاب می‌شود، زیرا ورق کمتری (مواد اولیه ارزان‌تر) استفاده می‌کند ($450$ در مقابل $600$). * **اگر هدف حداکثر کردن ظرفیت و حجم باشد:** **بسته‌بندی مکعبی** انتخاب می‌شود، زیرا چای بیشتری در خود جای می‌دهد ($1000$ در مقابل $750$). **به طور کلی، در این مقایسه خاص، بسته‌بندی استوانه‌ای به ازای هر واحد حجم، ورق کمتری مصرف می‌کند (اقتصادی‌تر است)، اما مکعبی ظرفیت بیشتری دارد.** #### **کدام بسته‌بندی برای حمل‌ونقل مناسب‌تر است؟** **بسته‌بندی مکعبی** برای حمل‌ونقل مناسب‌تر است، زیرا: * به راحتی در کنار هم قرار می‌گیرند و **فضای خالی کمتری** بین آن‌ها باقی می‌ماند. * قوطی‌های استوانه‌ای به دلیل گرد بودن، بین خود فضای خالی بیشتری ایجاد می‌کنند (مانند گذاشتن چند سکه کنار هم) و حمل و نقل آن‌ها به صورت فشرده، سخت‌تر است.