ریاضی هفتم صفحه 87 - تمرین 1
۱ـ حاصل عبارتها را به دست آورید.
$۲^۵ + ۳^۲ =$
$۲^۵ \times ۳^۲ =$
$۲^۵ - ۳^۲ =$
$۲^۵ \div ۸ =$
$$\left(\frac{۱}{۲}\right)^۲ + \frac{۳}{۸} =$$
$۵^۲ - ۵ \times ۲ =$
$$\left(\frac{۵}{۲}\right)^۲ - \left(\frac{۲}{۵}\right)^۲ =$$
$$\frac{۱}{۲} + \left(\frac{۱}{۲}\right)^۲ + \left(\frac{۱}{۲}\right)^۳ =$$
$۲^۳ - ۳^۲ + ۱^۵ =$
$۵^۱ + ۱^۵ + ۵^۰ =$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 87 - تمرین 1
برای حل این تمرینها، ابتدا باید حاصل هر بخش **تواندار** را به دست بیاوریم و سپس با رعایت **ترتیب عملیات** (اول توان، بعد ضرب و تقسیم، و در آخر جمع و تفریق) به محاسبه نهایی بپردازیم.
### الف) محاسبه توانها:
* $۲^۵ = ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ = ۳۲$
* $۳^۲ = ۳ \times ۳ = ۹$
* $۵^۲ = ۲۵$
* $۵^۱ = ۵$ (هر عدد به توان ۱، خودش است)
* $۱^۵ = ۱$ (یک به هر توانی، یک است)
* $۵^۰ = ۱$ (هر عدد غیر صفر به توان صفر، یک است)
* $۸ = ۲^۳$
* $۱^۵ = ۱$
### ب) حل عبارتها:
1. **جمع و تفریق توانها:**
* $$۲^۵ + ۳^۲ = ۳۲ + ۹ = ۴۱$$
* $$۲^۵ - ۳^۲ = ۳۲ - ۹ = ۲۳$$
2. **ضرب و تقسیم توانها:**
* $$۲^۵ \times ۳^۲ = ۳۲ \times ۹ = ۲۸۸$$
* $$۲^۵ \div ۸ = ۳۲ \div ۸ = ۴$$ (یا $$\frac{۲^۵}{۲^۳} = ۲^{۵-۳} = ۲^۲ = ۴$$)
3. **ترکیبی از عملیات:**
* $$۵^۲ - ۵ \times ۲ = ۲۵ - ۱۰ = ۱۵$$
* $$۲^۳ - ۳^۲ + ۱^۵ = (۲ \times ۲ \times ۲) - (۳ \times ۳) + ۱ = ۸ - ۹ + ۱ = -۱ + ۱ = ۰$$
4. **عبارات کسری و اعشاری:**
* $$\left(\frac{۱}{۲}\right)^۲ + \frac{۳}{۸} = \frac{۱^۲}{۲^۲} + \frac{۳}{۸} = \frac{۱}{۴} + \frac{۳}{۸} = \frac{۲}{۸} + \frac{۳}{۸} = \frac{۵}{۸}$$
* $$\left(\frac{۵}{۲}\right)^۲ - \left(\frac{۲}{۵}\right)^۲ = \frac{۲۵}{۴} - \frac{۴}{۲۵}$$ (مخرج مشترک $۴ \times ۲۵ = ۱۰۰$)
$$= \frac{۲۵ \times ۲۵}{۱۰۰} - \frac{۴ \times ۴}{۱۰۰} = \frac{۶۲۵}{۱۰۰} - \frac{۱۶}{۱۰۰} = \frac{۶۰۹}{۱۰۰} = ۶/۰۹$$
* $$\frac{۱}{۲} + \left(\frac{۱}{۲}\right)^۲ + \left(\frac{۱}{۲}\right)^۳ = \frac{۱}{۲} + \frac{۱}{۴} + \frac{۱}{۸}$$ (مخرج مشترک $۸$)
$$= \frac{۴}{۸} + \frac{۲}{۸} + \frac{۱}{۸} = \frac{۴+۲+۱}{۸} = \frac{۷}{۸}$$
5. **قوانین خاص توان:**
* $$۵^۱ + ۱^۵ + ۵^۰ = ۵ + ۱ + ۱ = ۷$$
| عبارت | حاصل |
| :---: | :---: |
| $۲^۵ + ۳^۲$ | $۴۱$ |
| $۲^۵ \times ۳^۲$ | $۲۸۸$ |
| $۲^۵ - ۳^۲$ | $۲۳$ |
| $۲^۵ \div ۸$ | $۴$ |
| $$\left(\frac{۱}{۲}\right)^۲ + \frac{۳}{۸}$$ | $$\frac{۵}{۸}$$ |
| $۵^۲ - ۵ \times ۲$ | $۱۵$ |
| $$\left(\frac{۵}{۲}\right)^۲ - \left(\frac{۲}{۵}\right)^۲$$ | $$\frac{۶۰۹}{۱۰۰}$$ یا $۶/۰۹$ |
| $$\frac{۱}{۲} + \left(\frac{۱}{۲}\right)^۲ + \left(\frac{۱}{۲}\right)^۳$$ | $$\frac{۷}{۸}$$ |
| $۲^۳ - ۳^۲ + ۱^۵$ | $۰$ |
| $۵^۱ + ۱^۵ + ۵^۰$ | $۷$ |
ریاضی هفتم صفحه 87 - تمرین 2
۲ـ کدامیک درست و کدامیک نادرست است؟ دلیل خود را توضیح دهید.
$$\left(۳+۲\right)^۲ = ۳^۲+۲^۲ \qquad \left(۴ \times ۳\right)^۲ = ۴^۲ \times ۳^۲$$
$$\left(\frac{۲}{۳}\right)^۲ = \frac{۲^۲}{۳^۲} \qquad ۵ \times ۶^۲ = \left(۵ \times ۶\right)^۲$$
$$۲^۳ \times ۵^۲ = ۱۰^۶ \qquad ۳^۲ \times ۲^۳ = ۶^۵$$
**توجه:** تصویر اصلی شامل عبارت $$\frac{۲^۲}{۳^۲}$$ بوده که در خط دوم آمده، اما در متن سوال بالا بازنویسی شده است. فرض بر این است که عبارت اولیه $$\left(\frac{۲}{۳}\right)^۲ = \frac{۲^۲}{۳^۲}$$ بوده است.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 87 - تمرین 2
برای تشخیص درستی یا نادرستی هر عبارت، باید **قوانین توان** و **ترتیب عملیات** را به درستی به کار ببریم.
### ۱. قانون توزیعپذیری (جمع)
* **عبارت:** $$(۳+۲)^۲ = ۳^۲+۲^۲$$
* **محاسبه سمت چپ:** $$(۳+۲)^۲ = (۵)^۲ = ۲۵$$
* **محاسبه سمت راست:** $$۳^۲+۲^۲ = ۹ + ۴ = ۱۳$$
* **نتیجه:** $۲۵ \neq ۱۳$. پس عبارت **نادرست** است.
* **دلیل:** **توان نسبت به جمع و تفریق توزیعپذیر نیست.** یعنی نمیتوانیم توان را به هر جمله داخل پرانتز که با جمع یا تفریق جدا شدهاند، جداگانه بدهیم. این یک اشتباه رایج است.
### ۲. قانون توزیعپذیری (ضرب)
* **عبارت:** $$(۴ \times ۳)^۲ = ۴^۲ \times ۳^۲$$
* **محاسبه سمت چپ:** $$(۴ \times ۳)^۲ = (۱۲)^۲ = ۱۴۴$$
* **محاسبه سمت راست:** $$۴^۲ \times ۳^۲ = ۱۶ \times ۹ = ۱۴۴$$
* **نتیجه:** $۱۴۴ = ۱۴۴$. پس عبارت **درست** است.
* **دلیل:** **توان نسبت به ضرب توزیعپذیر است.** یعنی $$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$
### ۳. قانون توزیعپذیری (تقسیم / کسر)
* **عبارت:** $$\left(\frac{۲}{۳}\right)^۲ = \frac{۲^۲}{۳^۲}$$ (با فرض بازنویسی از تصویر)
* **محاسبه سمت چپ:** $$\left(\frac{۲}{۳}\right)^۲ = \frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۳} = \frac{۴}{۹}$$
* **محاسبه سمت راست:** $$\frac{۲^۲}{۳^۲} = \frac{۴}{۹}$$
* **نتیجه:** $$\frac{۴}{۹} = \frac{۴}{۹}$$ . پس عبارت **درست** است.
* **دلیل:** **توان نسبت به تقسیم توزیعپذیر است.** یعنی $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$
### ۴. ترتیب عملیات و پرانتز
* **عبارت:** $$۵ \times ۶^۲ = (۵ \times ۶)^۲$$
* **محاسبه سمت چپ:** $۵ \times ۶^۲ = ۵ \times ۳۶ = ۱۸۰$ (ابتدا توان، سپس ضرب)
* **محاسبه سمت راست:** $$(۵ \times ۶)^۲ = (۳۰)^۲ = ۹۰۰$ (ابتدا پرانتز، سپس توان)
* **نتیجه:** $۱۸۰ \neq ۹۰۰$. پس عبارت **نادرست** است.
* **دلیل:** در سمت چپ، فقط ۶ به توان ۲ رسیده، در حالی که در سمت راست، حاصل ضرب ۵ در ۶ به توان ۲ رسیده است. ترتیب عملیات متفاوت است.
### ۵. قانون ضرب با پایههای متفاوت
* **عبارت:** $$۲^۳ \times ۵^۲ = ۱۰^۶$$
* **محاسبه سمت چپ:** $$۲^۳ \times ۵^۲ = ۸ \times ۲۵ = ۲۰۰$$
* **محاسبه سمت راست:** $$۱۰^۶ = ۱,۰۰۰,۰۰۰$$
* **نتیجه:** $۲۰۰ \neq ۱,۰۰۰,۰۰۰$. پس عبارت **نادرست** است.
* **دلیل:** **قانون ضرب توانها** فقط زمانی قابل استفاده است که **پایهها مساوی** باشند ($a^n \times a^m = a^{n+m}$) یا **توانها مساوی** باشند ($a^n \times b^n = (a \times b)^n$). در این عبارت، نه پایهها و نه توانها مساوی نیستند.
### ۶. قانون ضرب با پایهها و توانهای متفاوت
* **عبارت:** $$۳^۲ \times ۲^۳ = ۶^۵$$
* **محاسبه سمت چپ:** $$۳^۲ \times ۲^۳ = ۹ \times ۸ = ۷۲$$
* **محاسبه سمت راست:** $$۶^۵ = ۶ \times ۶ \times ۶ \times ۶ \times ۶ = ۷,۷۷۶$$
* **نتیجه:** $۷۲ \neq ۷,۷۷۶$. پس عبارت **نادرست** است.
* **دلیل:** مانند مورد قبل، این عبارت هیچکدام از قوانین توان را رعایت نکرده است. توانها و پایهها هر دو متفاوت هستند و نمیتوان آنها را با هم ترکیب کرد.
ریاضی هفتم صفحه 87 - تمرین 3
۳ـ روش محاسبه $۲^۷ + ۸^۲ = ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ + ۸ \times ۸$ را توضیح دهید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هفتم صفحه 87 - تمرین 3
روش محاسبه عبارت $۲^۷ + ۸^۲$ شامل دو گام اصلی است: **محاسبه حاصل هر توان** و سپس **جمع کردن نتایج**.
### ۱. محاسبه حاصل توان اول ($۲^۷$)
عبارت $۲^۷$ به این معنی است که عدد **پایه** ($۲$) باید **هفت بار** در خودش ضرب شود:
$$۲^۷ = \underbrace{۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۲}_{۷ \text{ بار}} = ۱۲۸$$
### ۲. محاسبه حاصل توان دوم ($۸^۲$)
عبارت $۸^۲$ (یا مجذور $۸$) به این معنی است که عدد **پایه** ($۸$) باید **دو بار** در خودش ضرب شود:
$$۸^۲ = ۸ \times ۸ = ۶۴$$
### ۳. جمع کردن نتایج
در گام آخر، حاصل دو توان را با هم جمع میکنیم:
$$۲^۷ + ۸^۲ = ۱۲۸ + ۶۴ = ۱۹۲$$
**نکته معلمانه:** این مثال به خوبی نشان میدهد که در عبارتهایی که شامل توان، ضرب، جمع یا تفریق هستند، همیشه باید **توانها** را **اول** محاسبه کرد، سپس به ترتیب سراغ ضرب، تقسیم، جمع و تفریق رفت. (رعایت **ترتیب عملیات**)
