۱- اگر $a=۰/۲۵, b=-\frac{۱}{۴}, c=۲\frac{۱}{۲}$ باشد، حاصل عبارت زیر را به دست آورید:
$|a+b| + ۲|a-b-c|$
پاسخ تشریحی:
برای حل، ابتدا مقادیر داده شده را به شکل کسر ساده می‌نویسیم:
* $ a = ۰.۲۵ = \frac{۱}{۴} $
* $ b = -\frac{۱}{۴} $
* $ c = ۲\frac{۱}{۲} = \frac{۵}{۲} $
**مرحله ۱: محاسبه‌ی عبارت اول $ |a+b| $**
$ a+b = \frac{۱}{۴} + (-\frac{۱}{۴}) = ۰ $
$ |a+b| = |۰| = ۰ $
**مرحله ۲: محاسبه‌ی عبارت دوم $ |a-b-c| $**
$ a-b-c = \frac{۱}{۴} - (-\frac{۱}{۴}) - \frac{۵}{۲} = \frac{۱}{۴} + \frac{۱}{۴} - \frac{۱۰}{۴} = \frac{۲-۱۰}{۴} = \frac{-۸}{۴} = -۲ $
$ |a-b-c| = |-۲| = ۲ $
**مرحله ۳: محاسبه‌ی حاصل نهایی**
$ |a+b| + ۲|a-b-c| = ۰ + ۲(۲) = ۴ $
بنابراین، حاصل نهایی عبارت برابر **۴** است.
۲- عبارات زیر را بدون استفاده از قدرمطلق بنویسید:
الف) $|-۳ - \sqrt{۵}|$
ب) $|۷ - ۵\sqrt{۳}|$
ج) $|۱۰ + \sqrt{۵}|$
پاسخ تشریحی:
برای حذف قدرمطلق، علامت عبارت داخل آن را تعیین می‌کنیم.
**الف) $|-۳ - \sqrt{۵}|$**
* عدد $ -۳ $ منفی است و $ -\sqrt{۵} $ نیز منفی است. مجموع دو عدد منفی، حتماً منفی است.
* چون عبارت داخل قدرمطلق منفی است، آن را قرینه می‌کنیم:
$| -۳ - \sqrt{۵} | = -(-۳ - \sqrt{۵}) = ۳ + \sqrt{۵}$
**ب) $|۷ - ۵\sqrt{۳}|$**
* برای تعیین علامت، دو عدد $۷$ و $۵\sqrt{۳}$ را مقایسه می‌کنیم. می‌توانیم مربع آنها را مقایسه کنیم:
$ ۷^۲ = ۴۹ $
$ (۵\sqrt{۳})^۲ = ۵^۲ \times (\sqrt{۳})^۲ = ۲۵ \times ۳ = ۷۵ $
* چون $۴۹ < ۷۵$ است، پس $۷ < ۵\sqrt{۳}$ و عبارت $۷ - ۵\sqrt{۳}$ منفی است.
* حاصل قدرمطلق برابر با قرینه‌ی آن است:
$|۷ - ۵\sqrt{۳}| = -(۷ - ۵\sqrt{۳}) = ۵\sqrt{۳} - ۷$
**ج) $|۱۰ + \sqrt{۵}|$**
* عدد ۱۰ مثبت است و $ \sqrt{۵} $ نیز مثبت است. مجموع دو عدد مثبت، حتماً مثبت است.
* چون عبارت داخل قدرمطلق مثبت است، خود آن را می‌نویسیم:
$|۱۰ + \sqrt{۵}| = ۱۰ + \sqrt{۵}$
۳- جای خالی را با عدد مناسب پر، و جواب‌هایتان را در کلاس با سایر دوستانتان مقایسه کنید.
$|۵-۱۲| > ۱ + \square$
پاسخ تشریحی:
برای پیدا کردن عدد مناسب، ابتدا سمت چپ نامساوی را ساده می‌کنیم.
**مرحله ۱: محاسبه‌ی قدرمطلق**
$ |۵-۱۲| = |-۷| = ۷ $
**مرحله ۲: حل نامساوی**
حالا نامساوی به شکل زیر درآمده است:
$ ۷ > ۱ + \square $
برای پیدا کردن مقدار ممکن برای مربع، عدد ۱ را از ۷ کم می‌کنیم:
$ ۷ - ۱ > \square $
$ ۶ > \square $
**نتیجه:**
جای خالی را می‌توان با **هر عددی که از ۶ کوچکتر باشد**، پر کرد.
* **مثال‌های مناسب:** ۵, ۴.۵, ۰, -۲, -۱۰۰
۴- مقدار عددی عبارت $|a|+a$ را به ازای $a=-۲, a=۰, a=۲$ به دست آورید. آیا می‌توانید عددی حقیقی به جای a قرار دهید که حاصل $|a|+a$ منفی باشد؟
پاسخ تشریحی:
**بخش اول: محاسبه‌ی مقدار عددی**
* **برای $a=-۲$:**
$|a|+a = |-۲| + (-۲) = ۲ - ۲ = ۰$
* **برای $a=۰$:**
$|a|+a = |۰| + ۰ = ۰ + ۰ = ۰$
* **برای $a=۲$:**
$|a|+a = |۲| + ۲ = ۲ + ۲ = ۴$
**بخش دوم: آیا حاصل عبارت می‌تواند منفی باشد؟**
**خیر**. حاصل عبارت $ |a|+a $ **هرگز نمی‌تواند منفی باشد**.
* **دلیل:** ما دو حالت برای عدد حقیقی a در نظر می‌گیریم:
* **حالت ۱: اگر $a$ نامنفی باشد ($a \geq 0$)**
در این حالت، $|a| = a$. پس عبارت برابر است با: $ a + a = ۲a $. چون $a \geq 0$ است، پس $۲a \geq 0$ خواهد بود (یعنی حاصل صفر یا مثبت است).
* **حالت ۲: اگر $a$ منفی باشد ($a < 0$)**
در این حالت، $|a| = -a$. پس عبارت برابر است با: $ -a + a = ۰ $. (یعنی حاصل صفر است).
در هر دو حالت ممکن، حاصل عبارت $ |a|+a $ یک عدد نامنفی (بزرگتر یا مساوی صفر) است و هرگز منفی نمی‌شود.
۵- با ارائه‌ی یک مثال، نادرست بودن تساوی $ \sqrt{a^۲} = a $ را نشان دهید.
پاسخ تشریحی:
تساوی $ \sqrt{a^۲} = a $ به طور کلی **نادرست** است. این تساوی تنها زمانی برقرار است که $ a \geq ۰ $ باشد.
برای نشان دادن نادرستی آن، کافی است یک **مثال نقض** ارائه دهیم. برای این کار، یک عدد منفی برای $a$ انتخاب می‌کنیم.
**مثال نقض:**
فرض کنیم $ a = -۵ $.
* **سمت چپ تساوی:**
$ \sqrt{a^۲} = \sqrt{(-۵)^۲} = \sqrt{۲۵} = ۵ $
* **سمت راست تساوی:**
$ a = -۵ $
چون $ ۵ \neq -۵ $، این مثال نشان می‌دهد که تساوی $ \sqrt{a^۲} = a $ برای تمام اعداد برقرار نیست.
**نکته‌ی مهم:** تساوی صحیح به صورت $ \sqrt{a^۲} = |a| $ است.
۶- حاصل عبارات روبه‌رو را به دست آورید: $ \sqrt{(۱-\sqrt{۱۰})^۲} $ $ \sqrt{(\sqrt{۲}-۱)^۲} $
پاسخ تشریحی:
برای حل این عبارات از قاعده‌ی کلی $ \sqrt{x^۲} = |x| $ استفاده می‌کنیم. سپس با تعیین علامت عبارت داخل قدرمطلق، آن را ساده می‌کنیم.
**عبارت اول: $ \sqrt{(۱-\sqrt{۱۰})^۲} $**
۱. $ \sqrt{(۱-\sqrt{۱۰})^۲} = |۱-\sqrt{۱۰}| $
۲. برای تعیین علامت $ ۱-\sqrt{۱۰} $، می‌دانیم که $ \sqrt{۱۰} $ بزرگتر از $ \sqrt{۹}=۳ $ است. پس $ \sqrt{۱۰} \approx ۳.۱۶ $.
۳. عبارت $ ۱ - ۳.۱۶ $ مقداری منفی است.
۴. چون عبارت داخل قدرمطلق منفی است، حاصل برابر با قرینه‌ی آن است:
$ |۱-\sqrt{۱۰}| = -(۱-\sqrt{۱۰}) = \sqrt{۱۰} - ۱ $
---
**عبارت دوم: $ \sqrt{(\sqrt{۲}-۱)^۲} $**
۱. $ \sqrt{(\sqrt{۲}-۱)^۲} = |\sqrt{۲}-۱| $
۲. می‌دانیم که $ \sqrt{۲} \approx ۱.۴۱۴ $.
۳. عبارت $ ۱.۴۱۴ - ۱ $ مقداری مثبت است.
۴. چون عبارت داخل قدرمطلق مثبت است، حاصل برابر با خود آن است:
$ |\sqrt{۲}-۱| = \sqrt{۲}-۱ $
