حل کار در کلاس های صفحه 25 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: برای پیدا کردن اعداد گنگ بین $ \sqrt{۵} $ و $ \sqrt{۱۰} $، می‌توانیم از دو روش استفاده کنیم: **روش اول: استفاده از جذر اعداد غیر کامل** ما به دنبال اعداد گنگ $x$ هستیم که $ \sqrt{۵} < x < \sqrt{۱۰} $ باشد. این نامساوی معادل $ ۵ < x^2 < ۱۰ $ است. پس کافی است اعدادی را بین ۵ و ۱۰ پیدا کنیم که جذر کامل **نداشته باشند**. اعداد صحیح بین ۵ و ۱۰ عبارتند از ۶، ۷، ۸ و ۹. عدد ۹ جذر کامل دارد ($ \sqrt{۹}=۳ $)، پس گنگ نیست. بنابراین، سه عدد گنگ به سادگی به دست می‌آید: $ \sqrt{۶}, \sqrt{۷}, \sqrt{۸} $ برای پیدا کردن عدد چهارم، می‌توانیم یک عدد غیرصحیح بین ۵ و ۱۰ انتخاب کنیم، مثلاً ۶.۵. پس $ \sqrt{۶.۵} $ نیز یک عدد گنگ در این بازه است. **چهار عدد گنگ:** $ \sqrt{۶}, \sqrt{۷}, \sqrt{۸}, \sqrt{۶.۵} $ **روش دوم: جمع یک عدد گویا و یک عدد گنگ** می‌دانیم $ \sqrt{۵} \approx ۲.۲۳ $ و $ \sqrt{۱۰} \approx ۳.۱۶ $. می‌توانیم اعدادی گنگ در این بازه بسازیم. * $ \sqrt{۲} + ۱ \approx ۱.۴۱۴ + ۱ = ۲.۴۱۴ $ (بین ۲.۲۳ و ۳.۱۶ است) * $ \sqrt{۳} + ۱ \approx ۱.۷۳۲ + ۱ = ۲.۷۳۲ $ (بین ۲.۲۳ و ۳.۱۶ است) پس $ \sqrt{۶}, \sqrt{۷}, \sqrt{۸}, \sqrt{۲}+۱ $ نیز یک پاسخ معتبر است.

پاسخ تشریحی: برای پیدا کردن اعداد گنگ بین دو عدد صحیح، بهترین راه این است که آن دو عدد را به صورت رادیکالی بنویسیم و اعداد گنگ را بین آنها پیدا کنیم. **مرحله ۱: تبدیل اعداد به حالت رادیکالی** * $ ۲ = \sqrt{۴} $ * $ ۳ = \sqrt{۹} $ **مرحله ۲: پیدا کردن اعداد گنگ میانی** حالا باید چهار عدد گنگ بین $ \sqrt{۴} $ و $ \sqrt{۹} $ پیدا کنیم. برای این کار، کافی است اعداد صحیحی را بین ۴ و ۹ انتخاب کنیم که جذر کامل **نداشته باشند**. اعداد صحیح بین ۴ و ۹ عبارتند از: ۵، ۶، ۷، ۸. هیچ‌کدام از این اعداد مربع کامل نیستند، بنابراین جذر همه‌ی آنها یک عدد گنگ خواهد بود. **چهار عدد گنگ مورد نظر:** $ \sqrt{۵}, \sqrt{۶}, \sqrt{۷}, \sqrt{۸} $

پاسخ تشریحی: **الف) آیا نمایش مجموعه‌ی A درست است؟** **خیر،** این نمایش **درست نیست**. * **دلیل:** مجموعه‌ی A شامل **فقط اعداد گویا** ($ \mathbb{Q} $) بین ۲ و ۳ است. اما نمایش یک **خط ممتد** روی محور اعداد، نشان‌دهنده‌ی **تمام اعداد حقیقی** ($ \mathbb{R} $) در آن بازه است. اعداد حقیقی شامل اعداد گویا و **گنگ** می‌شوند. برای مثال، عدد $ \sqrt{۵} \approx ۲.۲۳۶ $ یک عدد گنگ است که در این بازه قرار دارد. نقطه‌ی مربوط به $ \sqrt{۵} $ در خط ممتد نمایش داده شده وجود دارد، اما این عدد عضو مجموعه‌ی A (که فقط گویا است) نیست. بنابراین، این نمایش صحیح نمی‌باشد. --- **ب) مشخص کردن نقطه‌ی $ \sqrt{۵} $ روی محور** برای مشخص کردن دقیق $ \sqrt{۵} $ روی محور، از **قضیه‌ی فیثاغورس** استفاده می‌کنیم. ما می‌دانیم که $ ۲^۲ + ۱^۲ = ۴ + ۱ = ۵ $، پس در یک مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع قائم ۲ و ۱، طول وتر برابر با $ \sqrt{۵} $ است. **مراحل رسم:** ۱. روی محور اعداد، از مبدأ (نقطه‌ی ۰) تا نقطه‌ی ۲ یک پاره‌خط رسم می‌کنیم (این ضلع اول مثلث با طول ۲ است). ۲. از نقطه‌ی ۲، یک پاره‌خط به طول ۱ و عمود بر محور اعداد رسم می‌کنیم. ۳. انتهای این پاره‌خط عمود را به مبدأ (نقطه‌ی ۰) وصل می‌کنیم. این خط، وتر مثلث است و طول آن دقیقاً $ \sqrt{۵} $ می‌باشد. ۴. یک پرگار را باز کرده، سوزن آن را روی مبدأ (۰) قرار می‌دهیم و نوک دیگر آن را روی انتهای وتر می‌گذاریم (به اندازه‌ی $ \sqrt{۵} $ باز می‌شود). ۵. یک کمان می‌زنیم تا محور اعداد را قطع کند. نقطه‌ی برخورد این کمان با محور اعداد، دقیقاً نقطه‌ی $ \sqrt{۵} $ است.

پاسخ تشریحی: برای هر عبارت، عضویت عدد در مجموعه را بر اساس تعاریف مجموعه‌های اعداد ($ \mathbb{Z} $: صحیح، $ \mathbb{Q} $: گویا، $ \mathbb{Q}' $: گنگ، $ \mathbb{R} $: حقیقی) بررسی می‌کنیم. * $۴ \in \mathbb{Z}$ (۴ یک عدد صحیح است.) * $۰.۲ \in \mathbb{Q}$ (چون $۰.۲ = \frac{۲}{۱۰}$، یک عدد گویا است.) * $\sqrt{۱۸} \in \mathbb{R}$ ($ \sqrt{۱۸} $ یک عدد گنگ است و تمام اعداد گنگ، حقیقی هستند.) * $\frac{\sqrt{۷}}{\sqrt{۲}} \in \mathbb{R}$ (این عدد گنگ و در نتیجه حقیقی است.) * $-۵ \in \mathbb{R}$ (۵- یک عدد صحیح و در نتیجه حقیقی است.) * $-\frac{۷}{۳} \notin \mathbb{Z}$ (این کسر به عدد صحیح تبدیل نمی‌شود.) * $\sqrt{۲۵} \notin \mathbb{Q}'$ (چون $ \sqrt{۲۵}=۵ $ و ۵ یک عدد گویا است، نه گنگ.) * $\frac{۰}{-۶} \in \mathbb{R}$ (حاصل این کسر صفر است و صفر یک عدد حقیقی است.) * $\sqrt{۳.۵} \in \mathbb{Q}'$ (چون ۳.۵ مربع کامل نیست، جذر آن گنگ است.) * $\sqrt{۰.۹} \in \mathbb{Q}'$ (چون $ \sqrt{۰.۹} = \frac{\sqrt{۹}}{\sqrt{۱۰}} = \frac{۳}{\sqrt{۱۰}} $، و مخرج آن گنگ است، کل عدد گنگ است.) * $\sqrt{۰.۰۹} \in \mathbb{Q}$ (چون $ \sqrt{۰.۰۹} = ۰.۳ = \frac{۳}{۱۰} $، یک عدد گویا است.) * $\frac{۹}{-۱} \in \mathbb{Z}$ (چون $ \frac{۹}{-۱} = -۹ $، یک عدد صحیح است.)

پاسخ تشریحی: در این سوال، حاصل عملیات روی مجموعه‌های معروف اعداد را پیدا می‌کنیم: ($ \mathbb{Q} $: گویا، $ \mathbb{Q}' $: گنگ، $ \mathbb{Z} $: صحیح، $ \mathbb{N} $: طبیعی، $ \mathbb{R} $: حقیقی، $ \emptyset $: تهی) * **$Q \cup Q'$ (اجتماع اعداد گویا و گنگ):** این دو مجموعه با هم کل اعداد حقیقی را تشکیل می‌دهند. پس پاسخ **$ \mathbb{R} $** است. * **$Q' \cap \mathbb{R}$ (اشتراک اعداد گنگ و حقیقی):** چون اعداد گنگ زیرمجموعه‌ی اعداد حقیقی هستند، اشتراک آنها خود مجموعه‌ی کوچکتر، یعنی **$ \mathbb{Q}' $** است. * **$Z \cap \mathbb{N}$ (اشتراک اعداد صحیح و طبیعی):** چون اعداد طبیعی زیرمجموعه‌ی اعداد صحیح هستند، اشتراک آنها خود مجموعه‌ی کوچکتر، یعنی **$ \mathbb{N} $** است. * **$Q \cap Z$ (اشتراک اعداد گویا و صحیح):** چون اعداد صحیح زیرمجموعه‌ی اعداد گویا هستند، اشتراک آنها خود مجموعه‌ی کوچکتر، یعنی **$ \mathbb{Z} $** است. * **$Q \cap Q'$ (اشتراک اعداد گویا و گنگ):** این دو مجموعه هیچ عضو مشترکی ندارند (یک عدد نمی‌تواند هم گویا و هم گنگ باشد). پس اشتراک آنها **$ \emptyset $** (مجموعه‌ی تهی) است.