حل کار در کلاس و فعالیت صفحه 24 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: این سوال به یکی از ویژگی‌های مهم اعداد گویا به نام **چگالی** می‌پردازد. **الف) بین دو عدد ۱ و ۲ چند عدد گویا می‌توان نوشت؟** بین دو عدد ۱ و ۲، **بی‌نهایت** عدد گویا می‌توان نوشت. * **دلیل:** بین هر دو عدد گویای متمایز، همیشه می‌توان یک عدد گویای دیگر پیدا کرد. برای مثال، می‌توانیم میانگین دو عدد را حساب کنیم. میانگین ۱ و ۲ عدد $ \frac{1+2}{2} = 1.5 $ است. حالا می‌توانیم میانگین ۱ و ۱.۵ را پیدا کنیم که $1.25$ می‌شود. این فرآیند را می‌توان تا بی‌نهایت ادامه داد و هر بار عدد جدیدی پیدا کرد. مثال‌های دیگر: $1.1, 1.01, 1.001, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, ...$ --- **ب) اگر این عددها را روی محور نمایش دهیم، متناظر با این عددها، چند نقطه روی محور می‌توان پیدا کرد؟** متناظر با این اعداد، **بی‌نهایت** نقطه روی محور می‌توان پیدا کرد. * **دلیل:** هر عدد گویا (و هر عدد حقیقی) متناظر با یک نقطه‌ی منحصر به فرد روی محور اعداد است. از آنجایی که در قسمت (الف) نتیجه گرفتیم بی‌نهایت عدد گویا بین ۱ و ۲ وجود دارد، پس بی‌نهایت نقطه‌ی متناظر با آنها نیز روی محور در این فاصله وجود خواهد داشت.

پاسخ تشریحی: برای بررسی درستی این عبارات، تعاریف مجموعه‌های اعداد را مرور می‌کنیم: * $ \mathbb{Q} $: مجموعه‌ی اعداد گویا (اعداد کسری) * $ \mathbb{Q}' $: مجموعه‌ی اعداد گنگ یا اصم (اعداد اعشاری غیرمتناوب و بی‌پایان مانند $ \sqrt{2} $) * $ \mathbb{Z} $: مجموعه‌ی اعداد صحیح ($ \{..., -1, 0, 1, ...\} $) * $ \mathbb{N} $: مجموعه‌ی اعداد طبیعی ($ \{1, 2, 3, ...\} $) حال هر عبارت را جداگانه بررسی می‌کنیم: * **$ \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}' $ (نادرست)** * **دلیل:** این عبارت می‌گوید اعداد صحیح، زیرمجموعه‌ی اعداد گنگ هستند. این نادرست است، زیرا هر عدد صحیح $z$ را می‌توان به صورت کسری $ \frac{z}{1} $ نوشت، پس تمام اعداد صحیح، گویا هستند نه گنگ. * **$ \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} $ (درست)** * **دلیل:** همانطور که در بالا گفته شد، هر عدد صحیح $z$ با نوشته شدن به صورت $ \frac{z}{1} $ در تعریف اعداد گویا صدق می‌کند. پس مجموعه‌ی اعداد صحیح، زیرمجموعه‌ای از اعداد گویا است. * **$ \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Q}' $ (نادرست)** * **دلیل:** اعداد طبیعی بخشی از اعداد صحیح هستند و در نتیجه آنها نیز گویا هستند. برای مثال، عدد طبیعی ۳ را می‌توان به صورت $ \frac{3}{1} $ نوشت. * **$ \mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}' = \emptyset $ (درست)** * **دلیل:** این عبارت می‌گوید اشتراک مجموعه‌های گویا و گنگ، تهی است. این کاملاً درست است، زیرا یک عدد نمی‌تواند همزمان هم گویا و هم گنگ باشد. این دو مجموعه هیچ عضو مشترکی ندارند و کاملاً از هم جدا هستند.