۱- بین $ \frac{۲}{۵} $ و $ \frac{۳}{۴} $ سه کسر پیدا کنید؛ روش خود را توضیح دهید.
پاسخ تشریحی:
برای پیدا کردن کسر بین دو کسر دیگر، بهترین و ساده‌ترین روش، **استفاده از مخرج مشترک** است.
**مرحله ۱: پیدا کردن مخرج مشترک**
یک مخرج مشترک برای مخرج‌های ۵ و ۴ پیدا می‌کنیم. کوچکترین مخرج مشترک (ک.م.م) آنها $ ۵ \times ۴ = ۲۰ $ است.
**مرحله ۲: هم‌مخرج کردن کسرها**
هر دو کسر را با مخرج ۲۰ بازنویسی می‌کنیم:
* $ \frac{۲}{۵} = \frac{۲ \times ۴}{۵ \times ۴} = \frac{۸}{۲۰} $
* $ \frac{۳}{۴} = \frac{۳ \times ۵}{۴ \times ۵} = \frac{۱۵}{۲۰} $
**مرحله ۳: پیدا کردن کسرهای میانی**
حالا باید سه کسر بین $ \frac{۸}{۲۰} $ و $ \frac{۱۵}{۲۰} $ پیدا کنیم. برای این کار کافی است صورت‌هایی بین ۸ و ۱۵ انتخاب کنیم. برای مثال، می‌توانیم اعداد ۹، ۱۰ و ۱۱ را انتخاب کنیم.
بنابراین، سه کسر مورد نظر عبارتند از:
$ \frac{۹}{۲۰}, \frac{۱۰}{۲۰}, \frac{۱۱}{۲۰} $
(توجه: بی‌نهایت کسر دیگر نیز می‌توان پیدا کرد. اگر به کسرهای بیشتری نیاز داشتیم، می‌توانستیم از مخرج مشترک بزرگتری مانند ۴۰ یا ۶۰ استفاده کنیم.)
۲- بین $۱-\frac{۱}{۲}$ و ۱- دو کسر پیدا کنید؛ روش خود را توضیح دهید.
پاسخ تشریحی:
برای حل این مسئله نیز از **روش مخرج مشترک** استفاده می‌کنیم.
**مرحله ۱: تبدیل اعداد به کسر ساده**
ابتدا اعداد داده شده را به صورت کسر می‌نویسیم:
* $ -۱\frac{۱}{۲} = -\frac{۳}{۲} $
* $ -۱ = -\frac{۱}{۱} $
پس باید دو کسر بین $ -\frac{۳}{۲} $ و $ -۱ $ پیدا کنیم.
**مرحله ۲: هم‌مخرج کردن کسرها**
ابتدا کوچکترین مخرج مشترک را امتحان می‌کنیم که عدد ۲ است:
* $ -\frac{۳}{۲} $
* $ -۱ = -\frac{۲}{۲} $
بین صورت‌های ۲- و ۳-، عدد صحیح دیگری وجود ندارد. پس باید از مخرج مشترک بزرگتری استفاده کنیم. برای مثال، مخرج ۶ را انتخاب می‌کنیم (می‌توانستیم ۴ یا هر مضرب دیگری از ۲ را نیز انتخاب کنیم).
* $ -\frac{۳}{۲} = -\frac{۳ \times ۳}{۲ \times ۳} = -\frac{۹}{۶} $
* $ -۱ = -\frac{۶}{۶} $
**مرحله ۳: پیدا کردن کسرهای میانی**
حالا باید دو کسر بین $ -\frac{۹}{۶} $ و $ -\frac{۶}{۶} $ پیدا کنیم. در محور اعداد، اعداد صحیح بین ۹- و ۶- عبارتند از ۸- و ۷-. پس می‌توانیم این دو عدد را به عنوان صورت انتخاب کنیم.
دو کسر مورد نظر عبارتند از:
$ -\frac{۸}{۶} $ و $ -\frac{۷}{۶} $
که می‌توان کسر اول را ساده کرد: $ -\frac{۸}{۶} = -\frac{۴}{۳} $. بنابراین ترتیب آنها به صورت $ -\frac{۳}{۲} < -\frac{۴}{۳} < -\frac{۷}{۶} < -۱ $ صحیح است.
