حل فعالیت صفحه 7 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: برای پاسخ به این سوال، ابتدا باید مجموعه‌ی D را مشخص کنیم. با توجه به سوالات مربوط به بخش‌پذیری بر ۳ و اعداد زوج، یک مجموعه‌ی مرسوم در این مباحث، مجموعه‌ی اعداد روی یک تاس است. بنابراین، فرض می‌کنیم: $D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ **۱. نوشتن اعضا در نمودار ون:** باید اعداد ۱, ۲, ۳, ۴, ۵, و ۶ را داخل دایره‌ای که با حرف D مشخص شده است، بنویسیم. **۲. مشخص کردن مجموعه‌ی B:** * اعضای D که بر ۳ بخش‌پذیر هستند، اعداد **۳** و **۶** می‌باشند. پس مجموعه‌ی B برابر است با: $B = \{3, 6\}$ * **آیا هر عضو B، عضوی از D نیز هست؟** بله. هر دو عضو B (یعنی ۳ و ۶) در مجموعه‌ی D نیز وجود دارند. **۳. مشخص کردن مجموعه‌ی C:** * اعضای D که زوج هستند، اعداد **۲**، **۴** و **۶** می‌باشند. پس مجموعه‌ی C برابر است با: $C = \{2, 4, 6\}$ * **آیا C = D است؟** خیر. دو مجموعه زمانی برابرند که تمام اعضایشان یکسان باشد. مجموعه‌ی D اعضای ۱، ۳ و ۵ را دارد که در C نیستند. پس $C \neq D$. **۴. بررسی زیرمجموعه بودن C:** * **آیا مجموعه‌ی C زیرمجموعه‌ی D است؟** بله. یک مجموعه زیرمجموعه‌ی مجموعه‌ی دیگر است اگر تمام اعضای آن در مجموعه‌ی دوم نیز باشند. چون تمام اعضای C ($ \{2, 4, 6\} $) در مجموعه‌ی D ($ \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $) وجود دارند، پس C زیرمجموعه‌ی D است. به زبان ریاضی می‌نویسیم: $C \subseteq D$.

پاسخ تشریحی: این سوال ادامه‌ی فعالیت قبلی است. ما فرض کردیم که $D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. **۱. زیرمجموعه‌ی اعداد فرد:** * زیرمجموعه‌ای از D که اعضای آن فرد هستند، شامل اعداد **۱**، **۳** و **۵** است. می‌توانیم این مجموعه را F بنامیم: $F = \{1, 3, 5\}$ * **نام دیگر این مجموعه چیست؟** با توجه به اینکه در بخش قبل مجموعه‌ی اعداد زوج را C نامیدیم ($C = \{2, 4, 6\}$)، این مجموعه‌ی جدید در واقع **متمم مجموعه‌ی C نسبت به D** است که آن را با $D - C$ یا $C'$ نمایش می‌دهند. **۲. بررسی عبارت $ \{۲, ۴, -۶, ۱۰\} \subseteq D $:** * این عبارت **درست نیست**. * **چرا؟** برای اینکه یک مجموعه زیرمجموعه‌ی D باشد، باید **تمام** اعضای آن در D وجود داشته باشند. در اینجا: * عدد **۲** عضو D است ($2 \in D$). * عدد **۴** عضو D است ($4 \in D$). * اما عدد **-۶** عضو D نیست ($-6 \notin D$). * و عدد **۱۰** عضو D نیست ($10 \notin D$). * چون حداقل یک عضو (در اینجا دو عضو -۶ و ۱۰) در مجموعه‌ی $ \{2, 4, -6, 10\} $ وجود دارد که در D نیست، این مجموعه زیرمجموعه‌ی D محسوب نمی‌شود.

پاسخ تشریحی: خیر، چنین عضوی وجود ندارد. **توضیح:** * **تعریف مجموعه‌ی تهی ($ \emptyset $):** مجموعه‌ی تهی مجموعه‌ای است که **هیچ عضوی ندارد**. * **استدلال:** سوال می‌پرسد آیا می‌توانیم عضوی در مجموعه‌ی تهی پیدا کنیم که ویژگی خاصی (نبودن در مجموعه‌ی A) را داشته باشد. از آنجایی که مجموعه‌ی تهی **اصلاً عضوی ندارد**، ما هرگز نمی‌توانیم عضوی در آن پیدا کنیم، چه رسد به اینکه آن عضو ویژگی خاصی داشته باشد. * **نتیجه‌گیری مهم:** به دلیل همین استدلال، یک اصل مهم در نظریه‌ی مجموعه‌ها شکل می‌گیرد: **مجموعه‌ی تهی، زیرمجموعه‌ی هر مجموعه‌ای است.** به زبان ریاضی، برای هر مجموعه‌ی A، همواره داریم: $ \emptyset \subseteq A $. زیرا شرط زیرمجموعه بودن (اینکه تمام اعضای مجموعه‌ی اول در دومی باشند) به طور بدیهی برقرار است، چون مجموعه‌ی تهی عضوی ندارد که این شرط را نقض کند.