حل تمرین و کار در کلاس صفحه 15 ریاضی ششم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۵ ریاضی ششم برای تعیین **بخش‌پذیری یک عدد بر $\mathbf{۳}$**، باید **مجموع ارقام** آن عدد را حساب کنیم. اگر مجموع ارقام بر $\text{۳}$ بخش‌پذیر باشد، خود عدد نیز بخش‌پذیر است. ### ۱. بررسی بخش‌پذیری بر $\mathbf{۳}$ | عدد | مجموع ارقام | بخش‌پذیر بر $\text{۳}$؟ (مجموع بر $\text{۳}$ بخش‌پذیر است؟) | نتیجه | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{۷۹}$ | $\text{۷} + \text{۹} = \text{۱۶}$ | خیر | خیر | | $\text{۸۴}$ | $\text{۸} + \text{۴} = \text{۱۲}$ | بله ($\text{۱۲} \div \text{۳} = \text{۴}$) | **بله** | | $\text{۹۳}$ | $\text{۹} + \text{۳} = \text{۱۲}$ | بله | **بله** | | $\text{۱۹}$ | $\text{۱} + \text{۹} = \text{۱۰}$ | خیر | خیر | | $\text{۱۵۰}$ | $\text{۱} + \text{۵} + \text{۰} = \text{۶}$ | بله | **بله** | | $\text{۳۰۶}$ | $\text{۳} + \text{۰} + \text{۶} = \text{۹}$ | بله | **بله** | | $\text{۲۳}$ | $\text{۲} + \text{۳} = \text{۵}$ | خیر | خیر | **اعدادی که باید دورشان خط کشیده شود:** $\mathbf{۸۴}, \mathbf{۹۳}, \mathbf{۱۵۰}, \mathbf{۳۰۶}$ ### ۲. بخش‌پذیری بر $\mathbf{۹}$ **🔴 آیا همه‌ی اعدادی که دورشان خط کشیدید بر $\text{۹}$ نیز بخش‌پذیرند؟** برای بخش‌پذیری بر $\mathbf{۹}$، **مجموع ارقام** باید بر $\mathbf{۹}$ بخش‌پذیر باشد. | عدد | مجموع ارقام | بخش‌پذیر بر $\text{۹}$؟ (مجموع بر $\text{۹}$ بخش‌پذیر است؟) | نتیجه | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{۸۴}$ | $\text{۱۲}$ | خیر (باقی‌مانده $\text{۳}$) | خیر | | $\text{۹۳}$ | $\text{۱۲}$ | خیر | خیر | | $\text{۱۵۰}$ | $\text{۶}$ | خیر | خیر | | $\text{۳۰۶}$ | $\text{۹}$ | **بله** ($\text{۹} \div \text{۹} = \text{۱}$) | **بله** | **پاسخ:** خیر. تنها عدد $\mathbf{۳۰۶}$ بر $\text{۹}$ بخش‌پذیر است، اما اعدادی مانند $\mathbf{۸۴}$ و $\mathbf{۹۳}$ بر $\text{۳}$ بخش‌پذیر هستند، ولی بر $\text{۹}$ بخش‌پذیر نیستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ و ۳ صفحه ۱۵ ریاضی ششم ### ۱. بررسی بخش‌پذیری بر $\mathbf{۹}$ (سؤال $\text{۲}$) برای تعیین **بخش‌پذیری یک عدد بر $\mathbf{۹}$**، باید **مجموع ارقام** آن عدد را حساب کنیم. اگر مجموع ارقام بر $\text{۹}$ بخش‌پذیر باشد، خود عدد نیز بخش‌پذیر است. | عدد | مجموع ارقام | بخش‌پذیر بر $\text{۹}$؟ (مجموع بر $\text{۹}$ بخش‌پذیر است؟) | نتیجه | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{۵۴}$ | $\text{۵} + \text{۴} = \text{۹}$ | بله | **بله** | | $\text{۱۷}$ | $\text{۱} + \text{۷} = \text{۸}$ | خیر | خیر | | $\text{۷۳}$ | $\text{۷} + \text{۳} = \text{۱۰}$ | خیر | خیر | | $\text{۸۷}$ | $\text{۸} + \text{۷} = \text{۱۵}$ | خیر | خیر | | $\text{۱۹۸}$ | $\text{۱} + \text{۹} + \text{۸} = \text{۱۸}$ | بله ($\text{۱۸} \div \text{۹} = \text{۲}$) | **بله** | | $\text{۲۱۳۶}$ | $\text{۲} + \text{۱} + \text{۳} + \text{۶} = \text{۱۲}$ | خیر | خیر | | $\text{۹۱۶}$ | $\text{۹} + \text{۱} + \text{۶} = \text{۱۶}$ | خیر | خیر | **اعدادی که باید دورشان خط کشیده شود:** $\mathbf{۵۴}, \mathbf{۱۹۸}$ **🔴 آیا عددی هست که دورش خط کشیده باشید و بر $\text{۳}$ بخش‌پذیر نباشد؟** * **پاسخ:** خیر. * **دلیل:** هر عددی که بر $\mathbf{۹}$ بخش‌پذیر است، یعنی مجموع ارقامش مضرب $\text{۹}$ است (مثل $ ext{۹}, \text{۱۸}, \text{۲۷}, \text{...}$). چون همه‌ی مضرب‌های $\text{۹}$، خودشان مضرب $\text{۳}$ نیز هستند، پس **هر عدد بخش‌پذیر بر $\mathbf{۹}$، قطعاً بر $\mathbf{۳}$ نیز بخش‌پذیر است.** ### ۲. نتیجه‌گیری (سؤال $\text{۳}$) **🔴 از سؤال $\text{۱}$ و $\text{۲}$ چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟** **نتیجه‌گیری‌ها:** 1. **اگر عددی بر $athbf{۹}$ بخش‌پذیر باشد (سؤال $\text{۲}$)، حتماً بر $athbf{۳}$ نیز بخش‌پذیر است.** (چون $\text{۹} = \text{۳} \times \text{۳}$) 2. **اگر عددی بر $athbf{۳}$ بخش‌پذیر باشد (سؤال $\text{۱}$)، لزوماً بر $athbf{۹}$ بخش‌پذیر نیست.** (مثال: $\text{۸۴}$ بر $\text{۳}$ بخش‌پذیر است اما بر $\text{۹}$ بخش‌پذیر نیست.) **قانون کلی:** بخش‌پذیری بر $athbf{۹}$، شرط **سخت‌تری** نسبت به بخش‌پذیری بر $athbf{۳}$ است. اگر یک عدد بر $\text{۹}$ بخش‌پذیر باشد، یعنی بر $\text{۳}$ بخش‌پذیر است؛ اما اگر فقط بر $\text{۳}$ بخش‌پذیر باشد، لزوماً بر $\text{۹}$ بخش‌پذیر نیست.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۵ ریاضی ششم این تمرین در مورد **مقسوم‌علیه‌ها (یا شمارنده‌ها)** است. برای اینکه بتوانیم دانش‌آموزان را در گروه‌های مساوی تقسیم کنیم، تعداد اعضای گروه باید **مقسوم‌علیه** تعداد کل دانش‌آموزان باشد. ### ۱. گروه‌بندی کلاس $\mathbf{۲۵}$ نفره برای گروه‌بندی $athbf{۲۵}$ نفر، باید مقسوم‌علیه‌های $athbf{۲۵}$ را پیدا کنیم: * $\text{۲۵} \div \mathbf{۱} = \text{۲۵}$ * $\text{۲۵} \div \mathbf{۵} = \text{۵}$ * $\text{۲۵} \div \mathbf{۲۵} = \text{۱}$ **پاسخ:** معلم می‌تواند دانش‌آموزان را در گروه‌های **$\mathbf{۱}$ نفره، $\mathbf{۵}$ نفره و $\mathbf{۲۵}$ نفره** گروه‌بندی کند. --- ### ۲. گروه‌بندی کلاس $\mathbf{۳۰}$ نفره برای گروه‌بندی $athbf{۳۰}$ نفر، باید مقسوم‌علیه‌های $athbf{۳۰}$ را پیدا کنیم: * $\text{۳۰}$ بر $\mathbf{۱}, \mathbf{۲}, \mathbf{۳}, \mathbf{۵}, \mathbf{۶}, \mathbf{۱۰}, \mathbf{۱۵}, \mathbf{۳۰}$ بخش‌پذیر است. **پاسخ:** معلم می‌تواند دانش‌آموزان را در گروه‌های **$\mathbf{۱}, \mathbf{۲}, \mathbf{۳}, \mathbf{۵}, \mathbf{۶}, \mathbf{۱۰}, \mathbf{۱۵}$ و $\mathbf{۳۰}$ نفره** گروه‌بندی کند. --- ### ۳. عدم گروه‌بندی در تعداد $\text{۲۰}$ تا $\text{۳۰}$ نفره **🔴 اگر تعداد دانش‌آموزان کلاس بین $\text{۲۰}$ تا $\text{۳۰}$ نفر باشد، در چه صورتی نمی‌توان آن‌ها را به هیچ یک از گروه‌های $\mathbf{۲}, \mathbf{۳}, \mathbf{۵}, \mathbf{۹}$ نفره با تعداد مساوی گروه‌بندی کرد؟** **شرط عدم گروه‌بندی:** تعداد کل دانش‌آموزان باید **بر هیچ یک** از اعداد $\text{۲}, \text{۳}, \text{۵}, \text{۹}$ بخش‌پذیر نباشد. * **اعدادی که باید بررسی شوند:** $\text{۲۱}, \text{۲۲}, \text{۲۳}, \text{۲۴}, \text{۲۵}, \text{۲۶}, \text{۲۷}, \text{۲۸}, \text{۲۹}$. ($\text{۲۰}$ و $\text{۳۰}$ را حذف می‌کنیم چون قابل گروه‌بندی هستند.) | عدد ($ ext{N}$) | بخش‌پذیری بر $\text{۲}$ (یکان زوج) | بخش‌پذیری بر $\text{۵}$ (یکان $\text{۰}$ یا $\text{۵}$) | بخش‌پذیری بر $\text{۳}$ (مجموع ارقام بر $\text{۳}$) | بخش‌پذیری بر $\text{۹}$ (مجموع ارقام بر $\text{۹}$) | نتیجه | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{۲۱}$ | خیر | خیر | بله ($\text{۲} + \text{۱} = \text{۳}$) | خیر | قابل گروه‌بندی ($ ext{۳}$ نفره) | | $\text{۲۲}$ | بله | خیر | خیر | خیر | قابل گروه‌بندی ($ ext{۲}$ نفره) | | $\mathbf{۲۳}$ | خیر | خیر | خیر | خیر | **غیرقابل گروه‌بندی** | | $\text{۲۴}$ | بله | خیر | بله | خیر | قابل گروه‌بندی ($ ext{۲}, \text{۳}$ نفره) | | $\text{۲۵}$ | خیر | بله | خیر | خیر | قابل گروه‌بندی ($ ext{۵}$ نفره) | | $\text{۲۶}$ | بله | خیر | خیر | خیر | قابل گروه‌بندی ($ ext{۲}$ نفره) | | $\text{۲۷}$ | خیر | خیر | بله | بله | قابل گروه‌بندی ($ ext{۳}, \text{۹}$ نفره) | | $\text{۲۸}$ | بله | خیر | خیر | خیر | قابل گروه‌بندی ($ ext{۲}$ نفره) | | $\mathbf{۲۹}$ | خیر | خیر | خیر | خیر | **غیرقابل گروه‌بندی** | **پاسخ:** اگر تعداد دانش‌آموزان $\mathbf{۲۳}$ یا $\mathbf{۲۹}$ نفر باشد، نمی‌توان آن‌ها را به هیچ یک از گروه‌های $\text{۲}, \text{۳}, \text{۵}, \text{۹}$ نفره گروه‌بندی کرد. (چون این اعداد بر هیچ کدام از مقسوم‌علیه‌های مورد نظر بخش‌پذیر نیستند.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ و ۳ صفحه ۱۵ ریاضی ششم ### ۱. بخش‌پذیری بر $\mathbf{۲}$ (سؤال $\text{۲}$) **قانون:** عدد بر $\mathbf{۲}$ بخش‌پذیر است اگر رقم **یکان** آن $\mathbf{۰}, \mathbf{۲}, \mathbf{۴}, \mathbf{۶}, \mathbf{۸}$ باشد (زوج). | عدد | رقم یکان | بخش‌پذیر بر $\text{۲}$؟ | |:---:|:---:|:---:| | $\text{۱۶}$ | $\mathbf{۶}$ | **بله** | | $\text{۱۰۵}$ | $\text{۵}$ | خیر | | $\text{۲۳۷}$ | $\text{۷}$ | خیر | | $\text{۵۸}$ | $\mathbf{۸}$ | **بله** | | $\text{۷,۰۰۰}$ | $\mathbf{۰}$ | **بله** | | $\text{۲۳۲}$ | $\mathbf{۲}$ | **بله** | **اعدادی که باید دورشان خط کشیده شود:** $\mathbf{۱۶}, \mathbf{۵۸}, \mathbf{۷,۰۰۰}, \mathbf{۲۳۲}$ --- ### ۲. بخش‌پذیری بر $\mathbf{۹}$ (سؤال $\text{۳}$) **قانون:** عدد بر $\mathbf{۹}$ بخش‌پذیر است اگر **مجموع ارقام** آن بر $\mathbf{۹}$ بخش‌پذیر باشد. | عدد | مجموع ارقام | بخش‌پذیر بر $\text{۹}$؟ (مجموع بر $\text{۹}$ بخش‌پذیر است؟) | نتیجه | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{۳۶}$ | $\text{۳} + \text{۶} = \text{۹}$ | بله | **بله** | | $\text{۲۰۷}$ | $\text{۲} + \text{۰} + \text{۷} = \text{۹}$ | بله | **بله** | | $\text{۲۲۵}$ | $\text{۲} + \text{۲} + \text{۵} = \text{۹}$ | بله | **بله** | | $\text{۶۹}$ | $\text{۶} + \text{۹} = \text{۱۵}$ | خیر | خیر | | $\text{۵,۰۱۲}$ | $\text{۵} + \text{۰} + \text{۱} + \text{۲} = \text{۸}$ | خیر | خیر | | $\text{۱۹۹}$ | $\text{۱} + \text{۹} + \text{۹} = \text{۱۹}$ | خیر | خیر | **اعدادی که باید دورشان خط کشیده شود:** $\mathbf{۳۶}, \mathbf{۲۰۷}, \mathbf{۲۲۵}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۵ ریاضی ششم ### الف - بخش‌پذیری بر $\mathbf{۳}$ **قانون:** مجموع ارقام باید بر $\mathbf{۳}$ بخش‌پذیر باشد. 1. **$\text{۲۴\square}$:** $\text{۲} + \text{۴} = \text{۶}$. برای بخش‌پذیری، $\mathbf{۶} + \text{\text{☐}}$ باید مضرب $\text{۳}$ باشد. * $\mathbf{\text{☐}}$ می‌تواند: $\mathbf{۰}, \mathbf{۳}, \mathbf{۶}, \mathbf{۹}$ باشد. (مثال: $\text{۲۴۰}, \text{۲۴۳}, \text{۲۴۶}, \text{۲۴۹}$) 2. **$\mathbf{\square۷۲}$:** $\text{۷} + \text{۲} = \text{۹}$. برای بخش‌پذیری، $\mathbf{۹} + \text{\text{☐}}$ باید مضرب $\text{۳}$ باشد. * $\mathbf{\text{☐}}$ می‌تواند: $\mathbf{۳}, \mathbf{۶}, \mathbf{۹}$ باشد. (نمی‌تواند $\text{۰}$ باشد چون رقم اول است.) (مثال: $\text{۳۷۲}, \text{۶۷۲}, \text{۹۷۲}$) 3. **$\text{۶\square}$:** $\mathbf{۶} + \text{\text{☐}}$ باید مضرب $\text{۳}$ باشد. * $\mathbf{\text{☐}}$ می‌تواند: $\mathbf{۰}, \mathbf{۳}, \mathbf{۶}, \mathbf{۹}$ باشد. (مثال: $\text{۶۰}, \text{۶۳}, \text{۶۶}, \text{۶۹}$) --- ### ب - بخش‌پذیری هم بر $\mathbf{۲}$ و هم بر $\mathbf{۳}$ (بخش‌پذیری بر $\mathbf{۶}$) **قانون:** برای بخش‌پذیری هم بر $\mathbf{۲}$ (یکان زوج) و هم بر $\mathbf{۳}$ (مجموع ارقام بر $\text{۳}$)، باید از جواب‌های قسمت الف، آن‌هایی را انتخاب کنیم که رقم یکان آن‌ها **زوج** باشد. 1. **$\text{۲۴\square}$:** رقم‌های زوج در یکان از الف: $\mathbf{۰}, \mathbf{۶}$. * **اعداد:** $\mathbf{۲۴۰}, \mathbf{۲۴۶}$ 2. **$\mathbf{\square۷۲}$:** رقم یکان $\mathbf{۲}$ (زوج) است. همه‌ی اعداد الف بر $\text{۲}$ بخش‌پذیرند. * **اعداد:** $\mathbf{۳۷۲}, \mathbf{۶۷۲}, \mathbf{۹۷۲}$ 3. **$\text{۶\square}$:** رقم‌های زوج در یکان از الف: $\mathbf{۰}, \mathbf{۶}$. * **اعداد:** $\mathbf{۶۰}, \mathbf{۶۶}$ **🔴 آیا اعداد حاصل بر $\text{۶}$ نیز بخش‌پذیرند؟ با تقسیم کردن مشخص کنید.** **پاسخ:** بله. **قاعده‌ی بخش‌پذیری بر $\mathbf{۶}$** این است که عدد باید هم بر $\mathbf{۲}$ و هم بر $\mathbf{۳}$ بخش‌پذیر باشد. * $\text{۲۴۰} \div \text{۶} = \mathbf{۴۰}$ (بله) * $\text{۲۴۶} \div \text{۶} = \mathbf{۴۱}$ (بله) * $\text{۳۷۲} \div \text{۶} = \mathbf{۶۲}$ (بله) * $\text{۶۷۲} \div \text{۶} = \mathbf{۱۱۲}$ (بله) * $\text{۶۰} \div \text{۶} = \mathbf{۱۰}$ (بله) **نتیجه:** تمام اعدادی که هم بر $\text{۲}$ و هم بر $\text{۳}$ بخش‌پذیرند، **قطعاً بر $\mathbf{۶}$ نیز بخش‌پذیرند.**

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۵ ریاضی ششم این یک مسئله‌ی ساده‌ی **بخش‌پذیری** است. برای اینکه مادر ریحانه بتواند به طور دقیق $athbf{۳۵}$ لیتر آب را با پیمانه‌های $athbf{۲}$ یا $athbf{۵}$ لیتری اندازه‌گیری کند، $athbf{۳۵}$ باید بر حجم پیمانه **بخش‌پذیر** باشد. ### ۱. بررسی پیمانه‌ی $\mathbf{۲}$ لیتری * **قانون:** $\text{۳۵}$ باید بر $\text{۲}$ بخش‌پذیر باشد (رقم یکان زوج باشد). * **بررسی:** رقم یکان $athbf{۵}$ (فرد) است. * **نتیجه:** $\text{۳۵} \div \text{۲} = \text{۱۷}$ و $\mathbf{۱}$ لیتر باقی می‌ماند. پس با پیمانه‌ی $\mathbf{۲}$ لیتری نمی‌تواند دقیقاً $athbf{۳۵}$ لیتر آب بریزد. ### ۲. بررسی پیمانه‌ی $\mathbf{۵}$ لیتری * **قانون:** $\text{۳۵}$ باید بر $\text{۵}$ بخش‌پذیر باشد (رقم یکان $\mathbf{۰}$ یا $\mathbf{۵}$ باشد). * **بررسی:** رقم یکان $athbf{۵}$ است. * **نتیجه:** $\text{۳۵} \div \text{۵} = \mathbf{۷}$ (بدون باقی‌مانده). **پاسخ:** مادر ریحانه می‌تواند با پیمانه‌ی **$\mathbf{۵}$ لیتری**، دقیقاً $athbf{۷}$ بار $athbf{۵}$ لیتر آب بریزد و مقدار $athbf{۳۵}$ لیتر را به درستی اندازه‌گیری کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۱۵ ریاضی ششم ### الف) بخش‌پذیری بر $\mathbf{۵}$ ($athbf{۳۱\square}$) **قانون:** رقم یکان باید $\mathbf{۰}$ یا $\mathbf{۵}$ باشد. **پاسخ‌های ممکن:** $\text{۳۱۰}$ یا $\text{۳۱۵}$ **رقم مناسب:** $athbf{۰}$ یا $athbf{۵}$ --- ### ب) عددی بین $\mathbf{۴۰}$ و $\mathbf{۶۰}$ که بر $\mathbf{۳}$ بخش‌پذیر باشد ($athbf{\square \square}$) **قانون:** مجموع ارقام باید بر $\mathbf{۳}$ بخش‌پذیر باشد. * **اعداد بین $\text{۴۰}$ و $\text{۶۰}$:** $\text{۴۲}, \text{۴۵}, \text{۴۸}, \text{۵۱}, \text{۵۴}, \text{۵۷}$ **پاسخ پیشنهادی:** $athbf{۴۲}$ ($ ext{۴} + \text{۲} = \text{۶}$) **رقم‌های مناسب:** $athbf{۴}$ و $athbf{۲}$ یا $athbf{۵}$ و $athbf{۴}$ و ... --- ### پ) بخش‌پذیری بر $\mathbf{۳}$ ($athbf{۲\square}$) **قانون:** مجموع ارقام ($athbf{۲} + \text{\text{☐}}$) باید بر $\mathbf{۳}$ بخش‌پذیر باشد. * **مضرب‌های $\text{۳}$:** $\text{۳}, \text{۶}, \text{۹}, \text{۱۲}, \text{...}$ * **$\text{۲} + \text{\text{☐}} = \text{۳}$:** $\text{\text{☐}} = \mathbf{۱}$ * **$\text{۲} + \text{\text{☐}} = \text{۶}$:** $\text{\text{☐}} = \mathbf{۴}$ * **$\text{۲} + \text{\text{☐}} = \text{۹}$:** $\text{\text{☐}} = \mathbf{۷}$ **رقم مناسب:** $athbf{۱}$ یا $athbf{۴}$ یا $athbf{۷}$ --- ### ت) بر هیچ یک از اعداد $\mathbf{۲}, \mathbf{۳}, \mathbf{۵}, \mathbf{۹}$ بخش‌پذیر نباشد ($athbf{۷\square}$) **شرط عدم بخش‌پذیری:** 1. **بر $\mathbf{۲}$ و $\mathbf{۵}$ بخش‌پذیر نباشد:** رقم یکان نباید $athbf{۰}, \mathbf{۲}, \mathbf{۴}, \mathbf{۶}, \mathbf{۸}$ و $athbf{۵}$ باشد. $\rightarrow$ رقم یکان باید $athbf{۱}, \mathbf{۳}, \mathbf{۷}, \mathbf{۹}$ باشد. 2. **بر $\mathbf{۳}$ و $\mathbf{۹}$ بخش‌پذیر نباشد:** مجموع ارقام ($athbf{۷} + \text{\text{☐}}$) نباید مضرب $\text{۳}$ یا $\text{۹}$ باشد. * **انتخاب یکان $\mathbf{۱}$:** $ ext{۷} + \text{۱} = \mathbf{۸}$. $ ext{۸}$ مضرب $ ext{۳}$ یا $ ext{۹}$ نیست. $\mathbf{۷۱}$ درست است. * **انتخاب یکان $\mathbf{۷}$:** $ ext{۷} + \text{۷} = \mathbf{۱۴}$. $ ext{۱۴}$ مضرب $ ext{۳}$ یا $ ext{۹}$ نیست. $\mathbf{۷۷}$ درست است. **رقم مناسب:** $athbf{۱}$ یا $athbf{۷}$ (مثلاً)