حل کار در کلاس صفحه 13 ریاضی ششم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۱۲ ریاضی ششم دانش‌آموزان عزیز! این فعالیت جذاب، پایه‌ی درک **بخش‌پذیری بر $\mathbf{۳}$ و $\mathbf{۹}$** را به ما نشان می‌دهد. برخلاف $\text{۲}$ و $\text{۵}$، $\mathbf{۱۰}$ و $\mathbf{۱۰۰}$ بر $\mathbf{۳}$ و $\mathbf{۹}$ بخش‌پذیر نیستند، اما باقی‌مانده‌های جالبی دارند! ### ۱. بخش‌پذیری بر $\mathbf{۳}$ (تقسیم بر $\mathbf{۳}$) * **تقسیم $\mathbf{۱۰۰}$ بر $\mathbf{۳}$ (بسته‌ی صدتایی):** $\text{۱۰۰} \div \text{۳} = \text{۳۳}$ و $\mathbf{۱}$ باقی‌مانده. * $\text{در تقسیم هر بسته‌ی صدتایی کلوچه به سه قسمت مساوی، } \mathbf{۱}$ کلوچه باقی می‌ماند. * **تقسیم $\mathbf{۱۰}$ بر $\mathbf{۳}$ (بسته‌ی ده‌تایی):** $\text{۱۰} \div \text{۳} = \text{۳}$ و $\mathbf{۱}$ باقی‌مانده. * $\text{در تقسیم هر بسته‌ی ده‌تایی کلوچه به سه قسمت مساوی، } \mathbf{۱}$ کلوچه باقی می‌ماند. * **بنابراین در تقسیم هر بسته‌ی صدتایی و ده‌تایی بر $\text{۳}$، باقی‌مانده $\mathbf{۱}$ است.** * **تقسیم $\mathbf{۲}$ بسته‌ی صدتایی ($athbf{۲۰۰}$) بر $\mathbf{۳}$:** * $\text{۲۰۰} \div \text{۳} = \text{۶۶}$ و $\mathbf{۲}$ باقی‌مانده. * **روش ساده‌تر:** هر $\text{۱۰۰}$ تایی $\text{۱}$ باقی‌مانده دارد. پس $\text{۲}$ تا $\text{۱۰۰}$ تایی، $\text{۱} + \text{۱} = \mathbf{۲}$ باقی‌مانده دارد. * **تقسیم $\mathbf{۲}$ بسته‌ی ده‌تایی ($athbf{۲۰}$) بر $\mathbf{۳}$:** * $\text{۲۰} \div \text{۳} = \text{۶}$ و $\mathbf{۲}$ باقی‌مانده. ### ۲. بخش‌پذیری بر $\mathbf{۹}$ (تقسیم بر $\mathbf{۹}$) * **تقسیم $\mathbf{۱۰۰}$ بر $\mathbf{۹}$ (بسته‌ی صدتایی):** $\text{۱۰۰} \div \text{۹} = \text{۱۱}$ و $\mathbf{۱}$ باقی‌مانده. * $\text{در تقسیم هر بسته‌ی صدتایی کلوچه به نه قسمت مساوی، } \mathbf{۱}$ کلوچه باقی می‌ماند. * **تقسیم $\mathbf{۱۰}$ بر $\mathbf{۹}$ (بسته‌ی ده‌تایی):** $\text{۱۰} \div \text{۹} = \text{۱}$ و $\mathbf{۱}$ باقی‌مانده. * $\text{در تقسیم هر بسته‌ی ده‌تایی کلوچه به } \text{۹}$ قسمت مساوی، $\mathbf{۱}$ کلوچه باقی می‌ماند. * **بنابراین در تقسیم هر بسته‌ی صدتایی و ده‌تایی بر $\text{۹}$، باقی‌مانده $\mathbf{۱}$ است.** * **تقسیم $\mathbf{۲}$ بسته‌ی صدتایی ($athbf{۲۰۰}$) بر $\mathbf{۹}$:** * $\text{۲۰۰} \div \text{۹} = \text{۲۲}$ و $\mathbf{۲}$ باقی‌مانده. * **روش ساده‌تر:** $\text{۱} + \text{۱} = \mathbf{۲}$ باقی‌مانده. * **تقسیم $\mathbf{۲}$ بسته‌ی ده‌تایی ($athbf{۲۰}$) بر $\mathbf{۹}$:** * $\text{۲۰} \div \text{۹} = \text{۲}$ و $\mathbf{۲}$ باقی‌مانده. * **تقسیم $\mathbf{۳}$ بسته‌ی صدتایی ($athbf{۳۰۰}$) بر $\mathbf{۹}$:** * $\text{۳۰۰} \div \text{۹} = \text{۳۳}$ و $\mathbf{۳}$ باقی‌مانده. * **روش ساده‌تر:** $\text{۱} + \text{۱} + \text{۱} = \mathbf{۳}$ باقی‌مانده. * **تقسیم $\mathbf{۳}$ بسته‌ی ده‌تایی ($athbf{۳۰}$) بر $\mathbf{۹}$:** * $\text{۳۰} \div \text{۹} = \text{۳}$ و $\mathbf{۳}$ باقی‌مانده. **قانون کلی:** باقی‌مانده تقسیم هر $athbf{۱۰۰}$ تایی و هر $athbf{۱۰}$ تایی بر $athbf{۳}$ یا $athbf{۹}$، برابر $athbf{۱}$ است. این نتیجه‌ی مهم باعث می‌شود که برای بخش‌پذیری بر $athbf{۳}$ و $athbf{۹}$، **مجموع ارقام** را بررسی کنیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۲ ریاضی ششم برای تعیین بخش‌پذیری یک عدد بر $\mathbf{۲}$، کافی است به **رقم یکان** آن عدد نگاه کنیم. اگر رقم یکان **زوج** ($athbf{۰}, \mathbf{۲}, \mathbf{۴}, \mathbf{۶}, \mathbf{۸}$) باشد، عدد بر $\text{۲}$ بخش‌پذیر است. | عدد | رقم یکان | زوج/فرد | بخش‌پذیر بر $\text{۲}$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{۱۲۷}$ | $\text{۷}$ | فرد | خیر | | $\text{۴۶}$ | $\mathbf{۶}$ | زوج | **بله** | | $\text{۳۵۸}$ | $\mathbf{۸}$ | زوج | **بله** | | $\text{۹۳}$ | $\text{۳}$ | فرد | خیر | | $\text{۵,۵۳۲}$ | $\mathbf{۲}$ | زوج | **بله** | | $\text{۷۴}$ | $\mathbf{۴}$ | زوج | **بله** | | $\text{۷,۰۰۰}$ | $\mathbf{۰}$ | زوج | **بله** | **اعدادی که باید دور آن‌ها خط کشیده شود:** $\mathbf{۴۶}, \mathbf{۳۵۸}, \mathbf{۵,۵۳۲}, \mathbf{۷۴}, \mathbf{۷,۰۰۰}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۲ ریاضی ششم برای تعیین بخش‌پذیری یک عدد بر $\mathbf{۵}$، کافی است به **رقم یکان** آن عدد نگاه کنیم. اگر رقم یکان **$\mathbf{۰}$ یا $\mathbf{۵}$** باشد، عدد بر $\text{۵}$ بخش‌پذیر است. | عدد | رقم یکان | بخش‌پذیر بر $\text{۵}$ | |:---:|:---:|:---:| | $\text{۸۰}$ | $\mathbf{۰}$ | **بله** | | $\text{۶۸۳}$ | $\text{۳}$ | خیر | | $\text{۹۹۵}$ | $\mathbf{۵}$ | **بله** | | $\text{۱۳۴,۷۸۶,۰۵۲}$ | $\text{۲}$ | خیر | | $\text{۱۱,۱۱۵}$ | $\mathbf{۵}$ | **بله** | | $\text{۵۵۲}$ | $\text{۲}$ | خیر | **اعدادی که باید دور آن‌ها خط کشیده شود:** $\mathbf{۸۰}, \mathbf{۹۹۵}, \mathbf{۱۱,۱۱۵}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه ۱۲ ریاضی ششم با کارت‌های $\mathbf{۵}, \mathbf{۰}, \mathbf{۹}$ می‌توانیم اعداد سه‌رقمی مختلفی بسازیم، مثل $ ext{۵۰۹}, \text{۵۹۰}, \text{۹۰۵}, \text{۹۵۰}$. بیایید شرایط خواسته شده را بررسی کنیم: ### الف - بر $\mathbf{۲}$ بخش‌پذیر باشد **قانون:** رقم یکان باید $\mathbf{۰}$ یا $\mathbf{۲}$ یا $\mathbf{۴}$ یا $\mathbf{۶}$ یا $\mathbf{۸}$ باشد. تنها رقم زوج موجود $\mathbf{۰}$ است. * **رقم یکان:** $\mathbf{۰}$ * **صدگان و دهگان (بزرگترین):** $\text{۹}$ و $\text{۵}$ * **پاسخ:** $\mathbf{۹۵۰}$ یا $\mathbf{۵۹۰}$ ### ب - بر $\mathbf{۵}$ بخش‌پذیر باشد **قانون:** رقم یکان باید $\mathbf{۰}$ یا $\mathbf{۵}$ باشد. * **رقم یکان:** $\mathbf{۰}$ یا $\mathbf{۵}$ * **پاسخ:** $\mathbf{۹۵۰}$ (رقم یکان $\text{۰}$) یا $\mathbf{۹۰۵}$ (رقم یکان $\text{۵}$) یا $\mathbf{۵۹۰}$ یا $\mathbf{۵۰۹}$ ### پ - بر $\mathbf{۵}$ بخش‌پذیر باشد ولی بر $\mathbf{۲}$ بخش‌پذیر نباشد **شرایط:** رقم یکان $\mathbf{۵}$ باشد (برای بخش‌پذیری بر $\text{۵}$) و $\mathbf{۰}$ نباشد (برای بخش‌پذیر نبودن بر $\text{۲}$). * **رقم یکان:** $\mathbf{۵}$ * **پاسخ:** $\mathbf{۹۰۵}$ یا $\mathbf{۵۹}$ (کوچکترین) $\mathbf{۹۵}$ (بزرگترین) ### ت - بر $\mathbf{۲}$ و بر $\mathbf{۵}$ بخش‌پذیر نباشد **شرایط:** رقم یکان **نه $\mathbf{۰}$** باشد و **نه $\mathbf{۵}$**. * **رقم یکان:** باید $\mathbf{۹}$ باشد (تنها رقم باقی‌مانده). * **پاسخ:** $\mathbf{۵۰۹}$ یا $\mathbf{۹۰۵}$ (توجه: در قسمت 'ب' و 'پ' بر اساس متن، $\mathbf{۹۰۵}$ عدد مناسبی است. در قسمت 'ب' اعداد $\text{۹۵۰}$ و $\text{۹۰۵}$ درست هستند. در قسمت 'ت' رقم یکان $\text{۹}$ است و این عدد نه بر $\text{۲}$ و نه بر $\text{۵}$ بخش‌پذیر است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۴ صفحه ۱۲ ریاضی ششم ### ۱. بزرگ‌ترین عدد سه‌رقمی بخش‌پذیر بر $\mathbf{۲}$ * **بزرگ‌ترین سه‌رقمی:** $\mathbf{۹۹۹}$ * **شرط بخش‌پذیری بر $\mathbf{۲}$:** رقم یکان باید $\mathbf{۰}, \mathbf{۲}, \mathbf{۴}, \mathbf{۶}, \mathbf{۸}$ باشد. * **انتخاب:** $\text{۹۹۹}$ فرد است. بزرگ‌ترین عدد زوج قبل از آن، عددی است که یکان آن بزرگترین رقم زوج ($athbf{۸}$) باشد. **پاسخ:** بزرگ‌ترین عدد $\text{سه}$ رقمی بخش‌پذیر بر $\text{۲}$، **$\mathbf{۹۹۸}$** است. --- ### ۲. کوچک‌ترین عدد سه‌رقمی بخش‌پذیر بر $\mathbf{۵}$ * **کوچک‌ترین سه‌رقمی:** $\mathbf{۱۰۰}$ * **شرط بخش‌پذیری بر $\mathbf{۵}$:** رقم یکان باید $\mathbf{۰}$ یا $\mathbf{۵}$ باشد. * **انتخاب:** $\text{۱۰۰}$ رقم یکان $athbf{۰}$ دارد و بر $ ext{۵}$ بخش‌پذیر است. **پاسخ:** کوچک‌ترین عدد $\text{سه}$ رقمی بخش‌پذیر بر $\text{۵}$، **$\mathbf{۱۰۰}$** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۵ صفحه ۱۲ ریاضی ششم ### ۱. بخش‌پذیری بر $\mathbf{۲}$ و $\mathbf{۵}$ برای اینکه یک عدد هم بر $\mathbf{۲}$ و هم بر $\mathbf{۵}$ بخش‌پذیر باشد، باید **رقم یکان** آن **هم زوج** و **هم $\mathbf{۰}$ یا $\mathbf{۵}$** باشد. تنها رقمی که این دو شرط را دارد، $\mathbf{۰}$ است. | عدد | رقم یکان | بر $\text{۲}$ بخش‌پذیر؟ | بر $\text{۵}$ بخش‌پذیر؟ | هم بر $\text{۲}$ و هم بر $\text{۵}$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\text{۸۵}$ | $\text{۵}$ | خیر | بله | خیر | | $\text{۳۴}$ | $\text{۴}$ | بله | خیر | خیر | | $\text{۷۰}$ | $\mathbf{۰}$ | بله | بله | **بله** | | $\text{۱۰۵}$ | $\text{۵}$ | خیر | بله | خیر | | $\text{۹۰}$ | $\mathbf{۰}$ | بله | بله | **بله** | **اعدادی که باید دورشان خط کشیده شود:** $\mathbf{۷۰}$ و $\mathbf{۹۰}$ (اعدادی که رقم یکان آن‌ها $\mathbf{۰}$ است). --- ### ۲. بخش‌پذیری بر $\mathbf{۱۰}$ **🔴 آیا اعدادی که دورشان خط کشیدید بر $\text{۱۰}$ بخش‌پذیرند؟** * **پاسخ:** بله. * **دلیل:** $\text{۷۰} \div \text{۱۰} = \text{۷}$ و $\text{۹۰} \div \text{۱۰} = \text{۹}$. اعدادی که هم بر $\mathbf{۲}$ و هم بر $\mathbf{۵}$ بخش‌پذیر باشند، حتماً بر $\mathbf{۲} \times \mathbf{۵} = \mathbf{۱۰}$ نیز بخش‌پذیرند. **🔴 رقم یکانشان چه عددی است؟** * **پاسخ:** رقم یکان این اعداد **$\mathbf{۰}$** است. **🔴 آیا می‌توانید عددی مثال بزنید که بر $\text{۱۰}$ بخش‌پذیر باشد و رقم یکانش صفر نباشد؟** * **پاسخ:** خیر، امکان ندارد. * **دلیل:** برای اینکه یک عدد بر $\mathbf{۱۰}$ بخش‌پذیر باشد، باید بتوان آن را به صورت $\mathbf{\text{۱۰} \times \text{k}}$ نوشت ($ ext{k}$ یک عدد طبیعی). حاصل ضرب هر عدد طبیعی در $\mathbf{۱۰}$، حتماً $athbf{۰}$ خواهد داشت. بنابراین، **تنها راه بخش‌پذیری بر $\mathbf{۱۰}$ این است که رقم یکان عدد $\mathbf{۰}$ باشد.**

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۶ صفحه ۱۲ ریاضی ششم **دلیل صفر بودن رقم یکان اعداد بخش‌پذیر بر $\mathbf{۱۰}$:** اعدادی که بر $\mathbf{۱۰}$ بخش‌پذیرند، همان **مضرب‌های $\mathbf{۱۰}$** هستند. هر عدد صحیح را می‌توان به صورت حاصل جمع دسته‌های ده تایی، صد تایی، هزارتایی و ... نوشت. مثال: $\text{۱۲۳۰} = (\text{۱} \times \text{۱۰۰۰}) + (\text{۲} \times \text{۱۰۰}) + (\text{۳} \times \text{۱۰}) + (\mathbf{۰} \times \text{۱})$ 1. **قانون:** $\text{۱۰}$ برابر است با $\mathbf{۲} \times \mathbf{۵}$. برای اینکه عددی بر $\mathbf{۱۰}$ بخش‌پذیر باشد، باید **هم‌زمان** بر $athbf{۲}$ و $athbf{۵}$ بخش‌پذیر باشد. 2. **شرط بخش‌پذیری بر $\mathbf{۲}$:** رقم یکان باید $\mathbf{۰}, \mathbf{۲}, \mathbf{۴}, \mathbf{۶}, \mathbf{۸}$ باشد (زوج). 3. **شرط بخش‌پذیری بر $\mathbf{۵}$:** رقم یکان باید $\mathbf{۰}$ یا $\mathbf{۵}$ باشد. **نتیجه:** تنها رقمی که در هر دو مجموعه شرط صدق می‌کند، $\mathbf{۰}$ است. بنابراین، هر عددی که بر $athbf{۱۰}$ بخش‌پذیر باشد، رقم یکان آن **حتماً $\mathbf{۰}$ است**.