حل تمرین صفحه 10 ریاضی ششم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۰ ریاضی ششم بچه‌های باهوش! در این تمرین از کارت‌های $\mathbf{۱}, \mathbf{۰}, \mathbf{۰}, \mathbf{۳}, \mathbf{۷}, \mathbf{۲}, \mathbf{۴}, \mathbf{۲}$ استفاده می‌کنیم تا اعداد را با شرایط خاص بسازیم. بیایید مرحله به مرحله پیش برویم: ### ۱. بزرگ‌ترین عدد $\text{۳}$ رقمی زوج بین $\text{۴۰۰}$ و $\text{۶۰۰}$ * **شرایط:** $\text{۳}$ رقمی، زوج، شروع با $\mathbf{۴}$ یا $\mathbf{۵}$ (چون بین $\text{۴۰۰}$ و $\text{۶۰۰}$ است)، رقم یکان باید $\text{۰}, \text{۲}, \text{۴}, \text{...}$ باشد. * **ارقام موجود برای صدگان (از $\text{۴۰۰}$ تا $\text{۶۰۰}$):** $\mathbf{۴}$ و $\mathbf{۷}$ (که $\text{۷}$ قابل استفاده نیست چون عدد بزرگتر از $\text{۶۰۰}$ می‌شود.) * **انتخاب ارقام (بزرگ‌ترین):** صدگان: $\mathbf{۴}$. دهگان: $\mathbf{۷}$ (بزرگ‌ترین موجود). یکان: $\mathbf{۲}$ یا $\mathbf{۰}$ (برای زوج بودن، بزرگترین را انتخاب می‌کنیم: $\mathbf{۲}$). * **به رقم:** $\mathbf{۴۷۲}$ * **به حروف:** چهارصد و هفتاد و دو --- ### ۲. کوچک‌ترین عدد $\text{۶}$ رقمی فرد با رقم دهگان هزار $\text{۳}$ و رقم دهگان $\text{۱}$ * **شرایط:** $\text{۶}$ رقمی (صد هزار تا یکی)، فرد (رقم یکان فرد)، دهگان هزار: $\mathbf{۳}$, دهگان: $\mathbf{۱}$. * **ارقام استفاده شده:** $\text{۳}$ و $\text{۱}$. * **ارقام باقی‌مانده:** $\mathbf{۰}, \mathbf{۰}, \mathbf{۲}, \mathbf{۷}, \mathbf{۴}, \mathbf{۲}$. 1. **صدگان هزار (کوچک‌ترین):** $\mathbf{۲}$ (کوچک‌ترین غیر صفر باقی‌مانده) 2. **دهگان هزار:** $\mathbf{۳}$ (ثابت شده) 3. **یکان هزار (کوچک‌ترین):** $\mathbf{۰}$ (کوچک‌ترین باقی‌مانده) 4. **صدگان یکی (کوچک‌ترین):** $\mathbf{۰}$ (کوچک‌ترین باقی‌مانده) 5. **دهگان یکی:** $\mathbf{۱}$ (ثابت شده) 6. **یکان یکی (فرد و کوچک‌ترین):** از ارقام باقیمانده ($\text{۲}, \text{۴}, \text{۷}$) باید کوچک‌ترین رقم **فرد** را انتخاب کنیم: $\mathbf{۷}$ (تنها رقم فرد باقی‌مانده). * **به رقم:** $\mathbf{۲۳۰,۰۱۰,۷}$ (این عدد $\text{۷}$ رقمی است، باید از ارقام داده شده استفاده کنیم.) **اصلاح با توجه به کارت‌ها ($\text{۱}, \text{۰}, \text{۰}, \text{۳}, \text{۷}, \text{۲}, \text{۴}, \text{۲}$):** | ارزش مکانی | صدگان هزار | دهگان هزار | یکان هزار | صدگان | دهگان | یکان | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | **رقم انتخابی** | $\mathbf{۱}$ | $\mathbf{۳}$ | $\mathbf{۰}$ | $\mathbf{۰}$ | $\mathbf{۱}$ | $\mathbf{۷}$ | * **به رقم:** $\mathbf{۱۳۰,۰۱۷}$ (ارقام استفاده شده: $\text{۱}, \text{۳}, \text{۰}, \text{۰}, \text{۱}, \text{۷}$) * **به حروف:** یکصد و سی هزار و هفده --- ### ۳. بزرگ‌ترین عددی که در عبارت $\mathbf{\square} + \text{۲۶۴} = \mathbf{۲۵۸} + \mathbf{\square}$ قرار داد * **تحلیل عبارت:** فرض کنید عدد مورد نظر $\mathbf{x}$ باشد. $\mathbf{x} + \text{۲۶۴} = \text{۲۵۸} + \mathbf{x}$. * با کم کردن $\mathbf{x}$ از دو طرف، داریم: $\text{۲۶۴} = \text{۲۵۸}$. * **نتیجه:** این عبارت **نادرست** است ($ ext{۲۶۴}$ برابر $ ext{۲۵۸}$ نیست). این نشان می‌دهد که عدد $\mathbf{x}$ باید قبل از $\text{۲۵۸}$ قرار گیرد. **فرض می‌کنیم عبارت به شکل زیر است (رابطه‌ی بزرگترین/کوچکترین):** **بزرگ‌ترین عددی که در عبارت روبه‌رو می‌توان قرار داد:** $\mathbf{\square} + \mathbf{۲۶۴} \mathbf{=}\mathbf{...}$ **اگر $\mathbf{\square}$ همان $\mathbf{x}$ باشد (معادله):** $\mathbf{x} + \text{۲۶۴} = \mathbf{۲۵۸} + \mathbf{x}$ * **پاسخ معادله:** در این معادله، هر عددی به جای $\mathbf{x}$ قرار گیرد، تساوی برقرار **نیست** ($ ext{۲۶۴} \ne \text{۲۵۸}$). **این بخش از سؤال دارای مشکل تایپی است.** **فرض منطقی (احتمال زیاد منظور این بوده):** $\mathbf{\square} + \mathbf{۲۶۴} < \mathbf{۲۵۸} + \mathbf{\square}$ (علامت کوچک‌تر از). * در این صورت هیچ عددی را نمی‌توان قرار داد. **فرض منطقی دیگر (بزرگ‌ترین عدد ممکن از کارت‌ها):** بزرگ‌ترین عددی که می‌توان با کارت‌ها ساخت: $\mathbf{۷,۴۳۲,۲۱۰}$. (استفاده از $\mathbf{۰}, \mathbf{۰}, \mathbf{۱}, \mathbf{۲}, \mathbf{۲}, \mathbf{۳}, \mathbf{۴}, \mathbf{۷}$). **با فرض اینکه منظور: بزرگ‌ترین عددی که می‌توان در $\text{۲۶۴} + \square$ قرار داد تا حاصل برابر $\text{۲۵۸}$ شود:** * $\text{۲۶۴} + \mathbf{x} = \text{۲۵۸} \rightarrow \mathbf{x} = \text{۲۵۸} - \text{۲۶۴} = \mathbf{-۶}$ (که عدد منفی نمی‌توان با کارت‌ها ساخت.) **پاسخ نهایی (بر اساس فرض درست بودن ساختار معادله):** چون در معادله $\mathbf{x} + \text{۲۶۴} = \text{۲۵۸} + \mathbf{x}$، عدد $\text{۲۶۴}$ هرگز با $\text{۲۵۸}$ برابر نیست، هیچ عددی نمی‌تواند در جای خالی قرار گیرد. **اگر منظور:** **بزرگ‌ترین عدد ممکن با کارت‌ها** باشد: * **به رقم:** $\mathbf{۷,۴۳۲,۲۱۰}$ (استفاده از همه کارت‌ها و ساخت بزرگترین عدد ممکن) * **به حروف:** هفت میلیون و چهارصد و سی و دو هزار و دویست و ده

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۰ ریاضی ششم این تمرین درباره‌ی **تقریب** و پیدا کردن **نزدیک‌ترین عدد** است. برای تعیین نزدیک‌ترین عدد، کافی است **فاصله‌ی** عدد وسط تا هر یک از دو طرف را محاسبه کنیم. ### ۱. ردیف اول (تقریب به $\text{۱۰}$ میلیون) **عدد وسط:** $\mathbf{۳۸,۶۹۳,۴۲۷}$ * **فاصله تا $\text{۳۰,۰۰۰,۰۰۰}$:** $\text{۳۸,۶۹۳,۴۲۷} - \text{۳۰,۰۰۰,۰۰۰} = \mathbf{۸,۶۹۳,۴۲۷}$ * **فاصله تا $\text{۴۰,۰۰۰,۰۰۰}$:** $\text{۴۰,۰۰۰,۰۰۰} - \text{۳۸,۶۹۳,۴۲۷} = \mathbf{۱,۳۰۶,۵۷۳}$ **نتیجه:** چون $\mathbf{۱,۳۰۶,۵۷۳}$ از $\mathbf{۸,۶۹۳,۴۲۷}$ کوچکتر است، $\text{۳۸,۶۹۳,۴۲۷}$ به **$\mathbf{۴۰,۰۰۰,۰۰۰}$** نزدیک‌تر است. (باید $\text{۴۰,۰۰۰,۰۰۰}$ رنگ شود.) --- ### ۲. ردیف دوم (تقریب به $\text{۱}$ میلیون) **عدد وسط:** $\mathbf{۱۹,۲۳۱,۰۰۰}$ * **فاصله تا $\text{۱۹,۰۰۰,۰۰۰}$:** $\text{۱۹,۲۳۱,۰۰۰} - \text{۱۹,۰۰۰,۰۰۰} = \mathbf{۲۳۱,۰۰۰}$ * **فاصله تا $\text{۲۰,۰۰۰,۰۰۰}$:** $\text{۲۰,۰۰۰,۰۰۰} - \text{۱۹,۲۳۱,۰۰۰} = \mathbf{۷۶۹,۰۰۰}$ **نتیجه:** چون $\mathbf{۲۳۱,۰۰۰}$ از $\mathbf{۷۶۹,۰۰۰}$ کوچکتر است، $\text{۱۹,۲۳۱,۰۰۰}$ به **$\mathbf{۱۹,۰۰۰,۰۰۰}$** نزدیک‌تر است. (باید $\text{۱۹,۰۰۰,۰۰۰}$ رنگ شود.) --- ### ۳. ردیف سوم (تقریب به $\text{۰.۰۱}$) **عدد وسط:** $\mathbf{۲۱.۰۴۸}$ * **فاصله تا $\text{۲۱.۰۴}$:** $\text{۲۱.۰۴۸} - \text{۲۱.۰۴} = \mathbf{۰.۰۰۸}$ * **فاصله تا $\text{۲۱.۰۵}$:** $\text{۲۱.۰۵} - \text{۲۱.۰۴۸} = \mathbf{۰.۰۰۲}$ **نتیجه:** چون $\mathbf{۰.۰۰۲}$ از $\mathbf{۰.۰۰۸}$ کوچکتر است، $\text{۲۱.۰۴۸}$ به **$\mathbf{۲۱.۰۵}$** نزدیک‌تر است. (باید $\text{۲۱.۰۵}$ رنگ شود.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۰ ریاضی ششم این یک مسئله‌ی هوشمندانه درباره‌ی **اصلاح اشتباه در محاسبات** است. میثم نیازی ندارد کل محاسبه را دوباره انجام دهد؛ او فقط باید تفاوت دو عدد را پیدا کند و آن را از حاصل جمع کم یا به آن اضافه کند. ### ۱. تحلیل اشتباه * **عبارت صحیح:** $\text{۶,۳۷۸} + \mathbf{۶,۴۵۲}$ * **عبارت اشتباه (وارد شده):** $\text{۶,۳۷۸} + \mathbf{۶,۴۸۲}$ میثم به جای $\text{۶,۴۵۲}$، عدد $\text{۶,۴۸۲}$ را وارد کرده است. یعنی عددی **بزرگ‌تر** از مقدار واقعی را وارد کرده است. ### ۲. محاسبه‌ی اختلاف ابتدا باید ببینیم چقدر به اشتباه اضافه کرده است: $$\text{مقدار اشتباه} - \text{مقدار صحیح} = \text{۶,۴۸۲} - \text{۶,۴۵۲} = \mathbf{۳۰}$$ ### ۳. انجام عمل اصلاح چون میثم **$\text{۳۰}$ واحد بیشتر** از حد لازم به جمع اضافه کرده است، باید این $\mathbf{۳۰}$ واحد را از **حاصل جمع اشتباه** کم کند تا به پاسخ درست برسد. $$\text{حاصل جمع صحیح} = \text{حاصل جمع اشتباه} - \mathbf{۳۰}$$ **پاسخ:** میثم باید **$\mathbf{۳۰}$ واحد از حاصل جمعی که ماشین حساب نشان می‌دهد، کم کند.** (یک عمل **تفریق**)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۰ ریاضی ششم این تمرین یک چالش محاسباتی جذاب در مورد **تبدیل واحدها** است. شما می‌توانید حدس‌های مختلفی بزنید، مثلاً $\text{۳۰}$ میلیون ثانیه یا $\text{۳۰۰}$ میلیون ثانیه. بیایید مقدار دقیق را حساب کنیم. ### ۱. حدس شما (مثال) **حدس:** $\text{۱۰}$ سال حدوداً $\mathbf{۳۰۰,۰۰۰,۰۰۰}$ ($athbf{۳۰۰}$ میلیون) ثانیه است. ### ۲. محاسبه‌ی دقیق $\text{۱۰}$ سال بر حسب ثانیه برای محاسبه، مراحل زیر را طی می‌کنیم: 1. **تعداد روزهای $\text{۱۰}$ سال:** $\text{۱۰} \text{ سال} \times \text{۳۶۵.۲۵} \text{ روز/سال} = \mathbf{۳,۶۵۲.۵} \text{ روز}$ *(ما $\text{۳۶۵.۲۵}$ روز را در نظر می‌گیریم تا سال‌های کبیسه محاسبه شوند: $\text{۱۰}$ سال معمولی و $\text{۲}$ یا $\text{۳}$ سال کبیسه در این بازه)* 2. **تعداد ساعت:** $\text{۳,۶۵۲.۵} \text{ روز} \times \text{۲۴} \text{ ساعت/روز} = \mathbf{۸۷,۶۶۰} \text{ ساعت}$ 3. **تعداد دقیقه:** $\text{۸۷,۶۶۰} \text{ ساعت} \times \text{۶۰} \text{ دقیقه/ساعت} = \mathbf{۵,۲۵۹,۶۰۰} \text{ دقیقه}$ 4. **تعداد ثانیه:** $\text{۵,۲۵۹,۶۰۰} \text{ دقیقه} \times \text{۶۰} \text{ ثانیه/دقیقه} = \mathbf{۳۱۵,۵۷۶,۰۰۰} \text{ ثانیه}$ $$\mathbf{۱۰} \text{ سال} = \mathbf{۳۱۵,۵۷۶,۰۰۰} \text{ ثانیه}$$ **نکته:** اگر هر سال را $\text{۳۶۵}$ روز در نظر می‌گرفتیم: $\text{۱۰} \times \text{۳۶۵} \times \text{۲۴} \times \text{۶۰} \times \text{۶۰} = \text{۳۱۵,۳۶۰,۰۰۰}$ ثانیه. ### ۳. مقایسه با حدس * **مقدار دقیق:** $\mathbf{۳۱۵,۵۷۶,۰۰۰}$ ثانیه * **حدس ما:** $\mathbf{۳۰۰,۰۰۰,۰۰۰}$ ثانیه **نتیجه:** حدس ما ($ ext{۳۰۰}$ میلیون ثانیه) با مقدار واقعی ($ ext{۳۱۵,۵۷۶,۰۰۰}$ ثانیه) **نزدیک** بوده است، اما مقدار واقعی حدود $\mathbf{۱۵}$ میلیون ثانیه بیشتر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۰ ریاضی ششم برای مقایسه‌ی اعداد، ابتدا تعداد ارقام (برای اعداد صحیح) یا بزرگ‌ترین ارزش مکانی (برای اعداد اعشاری) را بررسی می‌کنیم. ### ۱. مقایسه‌ی اول (میلیاردها در مقابل هزار میلیارد) * **عدد اول:** $\text{۶,۷۸۲,۳۹۱,۵۳۶}$ ($athbf{۱۰}$ رقم $ ightarrow$ $athbf{۶}$ میلیارد) * **عدد دوم:** $\text{۷,۲۵۱,۱۴۷,۹۳۱,۱۱}$ ($athbf{۱۲}$ رقم $ ightarrow$ $athbf{۷}$ هزار میلیارد) **پاسخ:** چون عدد دوم $\text{۱۲}$ رقمی است (هزار میلیارد) و عدد اول $\text{۱۰}$ رقمی (میلیارد) است، عدد دوم به طور قطع بزرگتر است. $$\text{۶,۷۸۲,۳۹۱,۵۳۶} < \text{۷,۲۵۱,۱۴۷,۹۳۱,۱۱}$$ --- ### ۲. مقایسه‌ی دوم (اعداد برابر) * **عدد اول:** $\text{۴۵,۴۵۰,۰۰}$ ($ ext{۴۵,۴۵۰,۰۰۰}$) * **عدد دوم:** $\text{۴۵,۴۵۰,۰۰}$ **پاسخ:** هر دو عدد کاملاً با هم برابر هستند. $$\text{۴۵,۴۵۰,۰۰} = \text{۴۵,۴۵۰,۰۰}$$ --- ### ۳. مقایسه‌ی سوم (اعداد اعشاری) * **عدد اول:** $\text{۱۲۰.۵۸}$ * **عدد دوم:** $\text{۱۲۰.۸۳}$ 1. **مقایسه قسمت صحیح:** هر دو $\text{۱۲۰}$ هستند $ ightarrow$ برابرند. 2. **مقایسه قسمت اعشاری (دهُم):** * عدد اول: $\text{۰.}\mathbf{۵}$ * عدد دوم: $\text{۰.}\mathbf{۸}$ **پاسخ:** چون رقم دهم عدد دوم ($ ext{۸}$) بزرگتر از رقم دهم عدد اول ($ ext{۵}$) است، عدد دوم بزرگتر است. $$\text{۱۲۰.۵۸} < \text{۱۲۰.۸۳}$$ --- ### ۴. مقایسه‌ی چهارم (صد میلیون در مقابل میلیارد) * **عدد اول:** $\text{۹۹,۹۴۱,۵۶۹}$ ($athbf{۸}$ رقم $ ightarrow$ $athbf{۹۹}$ میلیون) * **عدد دوم:** $\text{۱۰۰,۰۰۰,۰۰۰}$ ($athbf{۹}$ رقم $ ightarrow$ $athbf{۱۰۰}$ میلیون) **پاسخ:** چون عدد دوم $\text{۹}$ رقمی است و عدد اول $\text{۸}$ رقمی است، عدد دوم بزرگتر است. $$\text{۹۹,۹۴۱,۵۶۹} < \text{۱۰۰,۰۰۰,۰۰۰}$$