حل تمرین صفحه 6 ریاضی ششم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ و ۲ صفحه ۶ ریاضی ششم ### ۱. پاسخ به سؤال $\text{۱}$ (اعداد زوج و فرد) **رنگ کردن:** شما باید خانه‌هایی را رنگ کنید که رقم یکان آن‌ها $\text{۰}, \text{۲}, \text{۴}, \text{۶}, \text{۸}$ است. این‌ها **اعداد زوج** هستند. **خانه‌های رنگ نشده:** خانه‌هایی که رنگ نشدند، اعدادی را نشان می‌دهند که رقم یکان آن‌ها $\text{۱}, \text{۳}, \text{۵}, \text{۷}, \text{۹}$ است. این‌ها **اعداد فرد** هستند. **🔴 رقم یکان اعداد زوج، چه رقم‌هایی هستند؟** **پاسخ:** رقم‌های یکان اعداد زوج عبارتند از: **$\mathbf{۰}, \mathbf{۲}, \mathbf{۴}, \mathbf{۶}, \mathbf{۸}$**. **🔴 آیا رقم دهگان اعداد زوج، همیشه زوج است؟** **پاسخ:** خیر. برای مثال، عدد **$\mathbf{۳۲}$** یک عدد زوج است، اما رقم دهگان آن ($ ext{۳}$) **فرد** است. یا عدد **$\mathbf{۹۰}$** یک عدد زوج است، اما رقم دهگان آن ($ ext{۹}$) **فرد** است. **🔴 آیا رقم دهگان اعداد فرد، همیشه فرد است؟** **پاسخ:** خیر. برای مثال، عدد **$\mathbf{۲۰}$** یک عدد زوج است و رقم دهگان آن ($ ext{۲}$) زوج است. اما عدد **$\mathbf{۲۱}$** یک عدد فرد است و رقم دهگان آن ($ ext{۲}$) **زوج** است. یا عدد **$\mathbf{۸۵}$** یک عدد فرد است، اما رقم دهگان آن ($ ext{۸}$) **زوج** است. **🔴 چگونه می‌توان زوج یا فرد بودن یک عدد را مشخص کرد؟** **پاسخ:** ساده‌ترین راه برای تشخیص زوج یا فرد بودن یک عدد، نگاه کردن به **رقم یکان** آن است. * اگر رقم یکان $\mathbf{۰}, \mathbf{۲}, \mathbf{۴}, \mathbf{۶}, \mathbf{۸}$ باشد، عدد **زوج** است. * اگر رقم یکان $\mathbf{۱}, \mathbf{۳}, \mathbf{۵}, \mathbf{۷}, \mathbf{۹}$ باشد، عدد **فرد** است. ### ۲. پاسخ به سؤال $\text{۲}$ (مضرب‌های $\text{۳}$ و $\text{۵}$) **مضرب‌های $\mathbf{۳}$ تا $\text{۱۰۰}$ (مثلاً با رنگ آبی):** $$\text{۳}, \text{۶}, \text{۹}, \text{۱۲}, \text{۱۵}, \text{۱۸}, \text{۲۱}, \text{۲۴}, \text{۲۷}, \text{۳۰}, \text{۳۳}, \text{۳۶}, \text{۳۹}, \text{۴۲}, \text{۴۵}, \text{۴۸}, \text{۵۱}, \text{۵۴}, \text{۵۷}, \text{۶۰}, \text{۶۳}, \text{۶۶}, \text{۶۹}, \text{۷۲}, \text{۷۵}, \text{۷۸}, \text{۸۱}, \text{۸۴}, \text{۸۷}, \text{۹۰}, \text{۹۳}, \text{۹۶}, \text{۹۹}$$ **مضرب‌های $\mathbf{۵}$ تا $\text{۱۰۰}$ (مثلاً با رنگ زرد):** $$\text{۵}, \text{۱۰}, \text{۱۵}, \text{۲۰}, \text{۲۵}, \text{۳۰}, \text{۳۵}, \text{۴۰}, \text{۴۵}, \text{۵۰}, \text{۵۵}, \text{۶۰}, \text{۶۵}, \text{۷۰}, \text{۷۵}, \text{۸۰}, \text{۸۵}, \text{۹۰}, \text{۹۵}, \text{۱۰۰}$$ **مضرب‌های مشترک (با دو رنگ):** اعدادی که هم مضرب $\text{۳}$ و هم مضرب $\text{۵}$ هستند، **مضرب‌های $\text{۱۵}$** هستند: $\text{۱۵}, \text{۳۰}, \text{۴۵}, \text{۶۰}, \text{۷۵}, \text{۹۰}$. **سؤال پیشنهادی:** «در جدول اعداد $\text{۱}$ تا $\text{۱۰۰}$، چند عدد وجود دارد که هم مضرب $\text{۳}$ و هم مضرب $\text{۵}$ باشند و رقم یکان آن‌ها صفر باشد؟» **(پاسخ سؤال پیشنهادی: $\text{۳}$ عدد: $\text{۳۰}, \text{۶۰}, \text{۹۰}$)**

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۶ ریاضی ششم ### ۱. رسم شکل چهارم و تکمیل جدول الگوی داده شده، یک الگوی افزایشی است که در آن، در هر مرحله $\mathbf{۲}$ مربع به شکل قبلی اضافه می‌شود. این الگو از لحاظ تعداد مربع‌ها، **اعداد زوج** را نشان می‌دهد که از $\text{۴}$ شروع شده‌اند. * **شکل (۱):** $\text{۴}$ مربع * **شکل (۲):** $\text{۶}$ مربع ($ ext{۴} + \mathbf{۲}$) * **شکل (۳):** $\text{۸}$ مربع ($ ext{۶} + \mathbf{۲}$) * **شکل (۴):** برای رسم شکل $\text{۴}$، باید $\text{۲}$ مربع دیگر به شکل $\text{۳}$ اضافه کنیم: $\text{۸} + \text{۲} = \mathbf{۱۰}$ مربع. (به سادگی، یک ردیف $\text{۴}$ تایی و یک ردیف $\text{۶}$ تایی، یا یک مربع $\text{۳} \times \text{۳}$ با یک مربع کم شده، و $\text{۲}$ مربع اضافه شده به گوشه‌های آن) | شماره‌ی شکل | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | **تعداد مربع‌ها** | ۴ | ۶ | ۸ | **۱۰** | **۱۲** | **۱۴** | | **رابطه‌ی بین تعداد مربع‌ها و شماره‌ی شکل‌ها** | $\mathbf{۲} \times \text{۱} + \mathbf{۲}$ | $\mathbf{۲} \times \text{۲} + \mathbf{۲}$ | $\mathbf{۲} \times \text{۳} + \mathbf{۲}$ | $\mathbf{۲} \times \mathbf{۴} + \mathbf{۲}$ | $\mathbf{۲} \times \mathbf{۵} + \mathbf{۲}$ | $\mathbf{۲} \times \mathbf{۶} + \mathbf{۲}$ | ### ۲. کشف و نمایش رابطه **🔴 چه رابطه‌ای بین تعداد مربع‌ها و شماره‌ی شکل‌ها وجود دارد؟** **پاسخ:** تعداد مربع‌ها برابر است با **دو برابر شماره‌ی شکل، به علاوه $\mathbf{۲}$**. $$\text{تعداد مربع‌ها} = (\text{شماره‌ی شکل} \times \text{۲}) + \text{۲}$$ **رابطه‌ی خود را با قرار دادن $\mathbf{\text{\text{☐}}}$ به جای شماره‌ی شکل‌ها و $\mathbf{\text{\text{◯}}}$ به جای تعداد مربع‌ها بنویسید.** $$\mathbf{\text{\text{◯}}} = (\mathbf{\text{\text{☐}}} \times \mathbf{۲}) + \mathbf{۲}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۶ ریاضی ششم این یک الگوی سه بُعدی است! بیایید ببینیم در هر مرحله چند مکعب اضافه می‌شود و رابطه را کشف کنیم. ### ۱. پیدا کردن الگوی افزایشی * **شکل (۱):** $\text{۵}$ مکعب * **شکل (۲):** $\text{۸}$ مکعب ($ ext{۵} + \mathbf{۳}$) * **شکل (۳):** $\text{۱۱}$ مکعب ($ ext{۸} + \mathbf{۳}$) مشاهده می‌کنیم که در هر مرحله، $\mathbf{۳}$ مکعب به شکل قبلی اضافه می‌شود. ### ۲. محاسبه‌ی شکل چهارم برای ساخت شکل چهارم، باید $\text{۳}$ مکعب به شکل $\text{۳}$ اضافه کنیم: $$\text{تعداد مکعب‌های شکل ۴} = \text{۱۱} + \mathbf{۳} = \mathbf{۱۴}$$ **پاسخ:** شکل چهارم الگو با **$\text{۱۴}$ مکعب** ساخته می‌شود. ### ۳. کشف و نوشتن رابطه ما می‌دانیم که الگوی ما $\mathbf{۳}$ تا $\mathbf{۳}$ تا اضافه می‌شود، پس رابطه‌ی ما حتماً $\mathbf{\text{شماره‌ی شکل} \times \text{۳}}$ را شامل می‌شود. حالا باید ببینیم چند واحد به آن اضافه یا کم می‌شود: * شکل (۱): $\text{۱} \times \text{۳} = \text{۳}$. ما $\text{۵}$ مکعب داریم. پس: $\text{۳} + \mathbf{۲} = \text{۵}$ * شکل (۲): $\text{۲} \times \text{۳} = \text{۶}$. ما $\text{۸}$ مکعب داریم. پس: $\text{۶} + \mathbf{۲} = \text{۸}$ * شکل (۳): $\text{۳} \times \text{۳} = \text{۹}$. ما $\text{۱۱}$ مکعب داریم. پس: $\text{۹} + \mathbf{۲} = \text{۱۱}$ **رابطه:** $\text{تعداد مکعب‌ها} = (\text{شماره‌ی شکل} \times \mathbf{۳}) + \mathbf{۲}$ ### ۴. پیدا کردن شکل با $\text{۲۵}$ مکعب با استفاده از رابطه، می‌توانیم شکل چندم را پیدا کنیم. اگر $\mathbf{\text{۲۵}}$ تعداد مکعب‌ها باشد، عملیات را برعکس انجام می‌دهیم: 1. **کم کردن $\mathbf{۲}$:** $\text{۲۵} - \mathbf{۲} = \text{۲۳}$ 2. **تقسیم بر $\mathbf{۳}$:** $\text{۲۳}$ بر $\text{۳}$ بخش‌پذیر **نیست**. ($ ext{۲۳} \div \text{۳} = \text{۷}$ با $ ext{۲}$ باقی‌مانده) **پاسخ:** این سؤال در حالت عادی **اشتباه** است، چون $\text{۲۵}$ مکعب در این الگو **وجود ندارد**. اگر فرض کنیم سؤال $\mathbf{۲۶}$ مکعب بوده باشد (که $\text{۲۶} - \text{۲} = \text{۲۴}$ و $\text{۲۴} \div \text{۳} = \mathbf{۸}$): شکل **هشتم** با $\text{۲۶}$ مکعب ساخته می‌شود. **بررسی شکل‌های بعدی:** شکل $\text{۸}$ $ ightarrow$ $(\text{۸} \times \text{۳}) + \text{۲} = \mathbf{۲۶}$. **اما بر اساس متن صریح سؤال:** چون $\text{۲۵}$ مکعب دقیقاً در این الگو قرار نمی‌گیرد، باید پاسخ داد: **هیچ شکلی** با $\text{۲۵}$ مکعب ساخته نمی‌شود، زیرا تقسیم $\text{۲۵} - \text{۲} = \text{۲۳}$ بر $\text{۳}$ باقی‌مانده دارد و شماره‌ی شکل باید یک عدد طبیعی باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۶ ریاضی ششم ### ۱. پیدا کردن جایگاه نفر وسط وقتی تعداد کل افراد یک گروه $\mathbf{۳۱}$ نفر است، برای پیدا کردن نفر وسط، باید افراد را به دو قسمت مساوی تقسیم کنیم. چون $\text{۳۱}$ عدد فرد است، نفر وسط به دست می‌آید: $$\text{جایگاه نفر وسط} = (\text{تعداد کل افراد} + \text{۱}) \div \text{۲}$$ $$\text{جایگاه نفر وسط} = (\text{۳۱} + \text{۱}) \div \text{۲} = \text{۳۲} \div \text{۲} = \mathbf{۱۶}$$ **نتیجه:** فاطمه نفر **شانزدهم** ($ ext{۱۶}$) صف است. ### ۲. بررسی جملات **جمله‌ی اول:** $ ext{فاطمه نفر پانزدهم صف است. } \rightarrow \text{۱۵} \text{ نفر قبل از فاطمه و } \text{۱۵} \text{ نفر بعد از فاطمه در صف هستند.}$ * **بررسی:** اگر $ ext{۱۵}$ نفر قبل و $ ext{۱۵}$ نفر بعد باشند، تعداد کل افراد می‌شود: $ ext{۱۵} + \text{۱} \text{ (فاطمه)} + \text{۱۵} = \mathbf{۳۱}$ نفر. **تعداد کل درست است.** * **بررسی جایگاه:** اگر $ ext{۱۵}$ نفر قبل باشند، فاطمه نفر $ ext{۱۵} + \text{۱} = \mathbf{۱۶}$ صف است، نه نفر پانزدهم. * **نتیجه:** **نادرست** است. **دلیل:** با $ ext{۱۵}$ نفر قبل، فاطمه نفر شانزدهم است نه پانزدهم. **جمله‌ی دوم:** $ ext{فاطمه نفر شانزدهم صف است. } \rightarrow \text{۱۵} \text{ نفر قبل از فاطمه و } \text{۱۶} \text{ نفر بعد از فاطمه در صف هستند.}$ * **بررسی جایگاه:** ما قبلاً اثبات کردیم که فاطمه نفر **شانزدهم** صف است (نفر وسط). * **بررسی تعداد:** اگر $ ext{۱۵}$ نفر قبل باشند، فاطمه نفر $ ext{۱۶}$ صف است. تعداد کل افراد در این حالت می‌شود: $ ext{۱۵} + \text{۱} \text{ (فاطمه)} + \text{۱۶} = \mathbf{۳۲}$ نفر. * **تعداد کل نادرست است.** صف $ ext{۳۱}$ نفری است. * **نتیجه:** **نادرست** است. **دلیل:** $ ext{۱۵}$ نفر قبل و $ ext{۱۶}$ نفر بعد، مجموعاً $ ext{۳۲}$ نفر می‌شوند. در صف $ ext{۳۱}$ نفری، $ ext{۱۵}$ نفر قبل و $athbf{۱۵}$ نفر بعد از نفر شانزدهم قرار دارند: $ ext{۱۵} + \text{۱} + \text{۱۵} = \text{۳۱}$. **پاسخ صحیح (تشریحی):** فاطمه نفر شانزدهم صف است. قبل از او $ ext{۱۵}$ نفر و بعد از او $ ext{۱۵}$ نفر هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۶ ریاضی ششم این سؤال بسیار مهم است و به مفهوم **عامل** یا **مقسوم‌علیه** اشاره دارد. وقتی می‌پرسیم عددی مضرب چه اعدادی است، در واقع می‌خواهیم ببینیم بر چه اعدادی **بخش‌پذیر** است. ### ۱. $\text{۱۲}$ مضرب چه اعدادی می‌تواند باشد؟ برای پاسخ، باید اعدادی را پیدا کنیم که $\text{۱۲}$ بر آن‌ها **بخش‌پذیر** باشد (یا به عبارت دیگر، اعدادی که در جدول ضرب آن‌ها، $\text{۱۲}$ وجود داشته باشد). $$\text{۱۲} \div \mathbf{۱} = \text{۱۲}$$ $$\text{۱۲} \div \mathbf{۲} = \text{۶}$$ $$\text{۱۲} \div \mathbf{۳} = \text{۴}$$ $$\text{۱۲} \div \mathbf{۴} = \text{۳}$$ $$\text{۱۲} \div \mathbf{۶} = \text{۲}$$ $$\text{۱۲} \div \mathbf{۱۲} = \text{۱}$$ **پاسخ:** $ ext{۱۲}$ مضرب اعدادی است که **مقسوم‌علیه** آن هستند: **$\mathbf{۱}, \mathbf{۲}, \mathbf{۳}, \mathbf{۴}, \mathbf{۶}, \mathbf{۱۲}$**. ### ۲. $\text{۱۵}$ مضرب چه اعدادی می‌تواند باشد؟ برای پاسخ، باید اعدادی را پیدا کنیم که $\text{۱۵}$ بر آن‌ها **بخش‌پذیر** باشد: $$\text{۱۵} \div \mathbf{۱} = \text{۱۵}$$ $$\text{۱۵} \div \mathbf{۳} = \text{۵}$$ $$\text{۱۵} \div \mathbf{۵} = \text{۳}$$ $$\text{۱۵} \div \mathbf{۱۵} = \text{۱}$$ **پاسخ:** $ ext{۱۵}$ مضرب اعدادی است که **مقسوم‌علیه** آن هستند: **$\mathbf{۱}, \mathbf{۳}, \mathbf{۵}, \mathbf{۱۵}$**. **نکته کلیدی:** اگر عددی مضرب عدد دیگری باشد، آن عدد دیگر **عامل** یا **مقسوم‌علیه** عدد اول است.