حل تمرین صفحه 9 ریاضی یازدهم

برای تعیین وضعیت خطوط نسبت به هم، ابتدا شیب هر خط را به دست می‌آوریم. **۱. شیب خط $L$:** $L: 2x - y = 1 \Rightarrow y = 2x - 1$ $$m_L = 2$$ **۲. شیب خط $T$:** $T: y = 2x - 3$ $$m_T = 2$$ **۳. شیب خط $\Delta$:** $\Delta: x + 2y = 0 \Rightarrow 2y = -x \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x$ $$m_{\Delta} = -\frac{1}{2}$$ **مقایسهٔ وضعیت خطوط:** * **وضعیت $L$ و $T$:** چون $m_L = m_T = 2$، و عرض از مبدأ آن‌ها متفاوت است ($-1 \neq -3$)، پس خطوط $L$ و $T$ **موازی** هستند. * **وضعیت $L$ و $\Delta$:** حاصل ضرب شیب‌های آن‌ها: $m_L \cdot m_{\Delta} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$. پس خطوط $L$ و $\Delta$ **عمود** بر یکدیگرند. * **وضعیت $T$ و $\Delta$:** حاصل ضرب شیب‌های آن‌ها: $m_T \cdot m_{\Delta} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$. پس خطوط $T$ و $\Delta$ نیز **عمود** بر یکدیگرند.

**۱. محاسبهٔ مختصات نقطهٔ وسط $M$ پاره‌خط $AB$** از فرمول نقطهٔ وسط $M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ استفاده می‌کنیم: $$M = \left(\frac{14 + 10}{2}, \frac{3 + (-13)}{2}\right) = \left(\frac{24}{2}, \frac{-10}{2}\right)$$ **مختصات $M$**: $$M(12, -5)$$ **۲. محاسبهٔ فاصلهٔ مبدأ مختصات $O(0, 0)$ تا نقطهٔ $M(12, -5)$** از فرمول فاصلهٔ نقطه از مبدأ $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ استفاده می‌کنیم: $$OM = \sqrt{(12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169}$$ **فاصلهٔ مبدأ مختصات تا وسط $AB$**: $$OM = 13$$

برای اثبات متساوی‌الساقین قائم‌الزاویه بودن، باید نشان دهیم: ۱. دو ضلع آن طول برابر دارند (متساوی‌الساقین). ۲. مربع طول وتر برابر با مجموع مربع طول دو ضلع دیگر است (قائم‌الزاویه). **۱. محاسبهٔ طول اضلاع ($d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$):** * **طول $AB$**: $$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$ * **طول $BC$**: $$BC = \sqrt{(4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$$ * **طول $AC$**: $$AC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$ **۲. بررسی متساوی‌الساقین بودن:** چون $AB = \sqrt{10}$ و $AC = \sqrt{10}$، پس $AB = AC$. بنابراین، مثلث $ABC$ **متساوی‌الساقین** است. **۳. بررسی قائم‌الزاویه بودن (قضیهٔ فیثاغورس):** بزرگ‌ترین ضلع $BC = \sqrt{20}$ است. اگر $AB^2 + AC^2 = BC^2$ برقرار باشد، مثلث قائم‌الزاویه است. $$AB^2 + AC^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 10 + 10 = 20$$ $$BC^2 = (\sqrt{20})^2 = 20$$ چون $AB^2 + AC^2 = BC^2$ برقرار است، مثلث $ABC$ **قائم‌الزاویه** است. **نتیجه**: مثلث $ABC$ هم متساوی‌الساقین است و هم قائم‌الزاویه، پس **متساوی‌الساقین قائم‌الزاویه** است.

**الف) مختصات مرکز و اندازهٔ شعاع دایره** * **مختصات مرکز ($M$)**: مرکز دایره، نقطهٔ وسط قطر $AB$ است. $$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{2 + 6}{2}, \frac{-2 + 4}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{2}{2}\right)$$ **مرکز دایره**: $$M(4, 1)$$ * **اندازهٔ شعاع ($r$)**: شعاع نصف طول قطر $AB$ است. ابتدا طول قطر $AB$ را حساب می‌کنیم: $$AB = \sqrt{(6 - 2)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$ $$r = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{52}}{2} = \frac{\sqrt{4 \times 13}}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$$ **شعاع دایره**: $$r = \sqrt{13}$$ **ب) بررسی قرارگیری نقطهٔ $C(3, 7)$ روی محیط دایره** نقطهٔ $C(3, 7)$ بر روی محیط دایره قرار دارد اگر فاصلهٔ آن از مرکز دایره $M(4, 1)$، برابر با شعاع $r = \sqrt{13}$ باشد. فاصلهٔ $MC$ را محاسبه می‌کنیم: $$MC = \sqrt{(3 - 4)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$$ چون $MC = \sqrt{37}$ و $r = \sqrt{13}$ و $\sqrt{37} \neq \sqrt{13}$ است، پس نقطهٔ $C(3, 7)$ بر روی محیط دایره قرار **ندارد**. **چرا؟**: زیرا فاصلهٔ نقطهٔ $C$ تا مرکز دایره ($M$) برابر با شعاع ($r$) نیست.

رأس‌های داده شده: $A(2, 3)$, $B(-1, 0)$, $C(1, -2)$. فرض می‌کنیم ترتیب رأس‌ها متوالی است. **راه حل اول: استفاده از خاصیت متوازی‌الاضلاع (برابری بردارها)** چون مستطیل، یک متوازی‌الاضلاع است، از برابری بردارها استفاده می‌کنیم. در مستطیل $ABCD$ باید $\vec{AD} = \vec{BC}$ باشد. اگر $D(x_D, y_D)$ باشد: $$\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (1 - (-1), -2 - 0) = (2, -2)$$ $$\vec{AD} = (x_D - x_A, y_D - y_A) = (x_D - 2, y_D - 3)$$ با مساوی قرار دادن مؤلفه‌ها: $$x_D - 2 = 2 \Rightarrow x_D = 4$$ $$y_D - 3 = -2 \Rightarrow y_D = 1$$ **مختصات رأس $D$**: $$D(4, 1)$$ **راه حل دوم: استفاده از خاصیت منصف بودن قطرها (کوتاه‌تر)** در هر مستطیل، نقطه‌ی وسط قطر $AC$ با نقطه‌ی وسط قطر $BD$ برابر است. نقطه‌ی وسط قطر $AC$ را $M$ و نقطه‌ی وسط قطر $BD$ را $M'$ می‌نامیم. پس $M = M'$. **۱. محاسبهٔ نقطهٔ وسط $M$ قطر $AC$**: $$M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{2 + 1}{2}, \frac{3 + (-2)}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$$ **۲. استفاده از $M$ برای یافتن $D(x_D, y_D)$**: نقطهٔ $M$ باید وسط $BD$ نیز باشد: $$\frac{x_B + x_D}{2} = x_M \Rightarrow \frac{-1 + x_D}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow -1 + x_D = 3 \Rightarrow x_D = 4$$ $$\frac{y_B + y_D}{2} = y_M \Rightarrow \frac{0 + y_D}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow y_D = 1$$ **مختصات رأس $D$**: $$D(4, 1)$$ این راه‌حل، با استفاده از خاصیت منصف بودن قطرها، **کوتاه‌تر** است.

نکتهٔ کلیدی در این مسئله، این است که میلهٔ پرچم در نقطه‌ای قرار دارد که **فاصلهٔ آن از چهار نقطهٔ $A, B, C, D$ یکسان است**. همچنین، با توجه به عبارت «فاصلهٔ هر یک از چهار نقطه تا پای میله برابر است با فاصله‌ی نقطهٔ مقابل آن تا پای میله»، این چهار نقطه، **رأس‌های یک مستطیل یا مربع** هستند و **پای میله (نقطهٔ $M$) مرکز این مستطیل** است (محل تقاطع و تنصیف قطرها). نقاط معلوم: $A(-3, 1)$, $B(5, 3)$, $C(-1, -1)$. اگر ترتیب رأس‌ها $ABCD$ باشد، $M$ وسط $AC$ و $M$ وسط $BD$ است. **۱. محاسبهٔ مختصات پای میله ($M$)** $M$ وسط قطر $AC$ است: $$M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{-3 + (-1)}{2}, \frac{1 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{-4}{2}, \frac{0}{2}\right)$$ **مختصات $M$**: $$M(-2, 0)$$ **۲. یافتن مختصات نقطهٔ $D$** $M(-2, 0)$ باید وسط قطر $BD$ باشد، که $B(5, 3)$ و $D(x_D, y_D)$ است: $$\frac{x_B + x_D}{2} = x_M \Rightarrow \frac{5 + x_D}{2} = -2 \Rightarrow 5 + x_D = -4 \Rightarrow x_D = -9$$ $$\frac{y_B + y_D}{2} = y_M \Rightarrow \frac{3 + y_D}{2} = 0 \Rightarrow 3 + y_D = 0 \Rightarrow y_D = -3$$ **مختصات نقطهٔ $D$**: $$D(-9, -3)$$

**۱. تعیین وضعیت رأس $A$ نسبت به خط $L$** ابتدا بررسی می‌کنیم که آیا رأس $A(3, 0)$ روی خط $L$ قرار دارد یا خیر. مختصات $A$ را در معادلهٔ خط جایگذاری می‌کنیم: $$y = 2x - 1 \Rightarrow 0 = 2(3) - 1 \Rightarrow 0 = 6 - 1 \Rightarrow 0 = 5 \quad (\text{نادرست})$$ چون مختصات $A$ در معادله صدق نمی‌کند، پس رأس $A$ روی ضلع واقع بر خط $L$ قرار ندارد. **۲. محاسبهٔ طول ضلع مربع ($a$)** چون $A$ روی ضلع نیست، فاصلهٔ عمودی رأس $A$ تا خط $L$، برابر با **طول ضلع** ($a$) مربع است. معادلهٔ خط $L$ به فرم کلی $ax + by + c = 0$ به صورت $2x - y - 1 = 0$ است. (پس $a = 2, b = -1, c = -1$). نقطه: $A(x_0, y_0) = A(3, 0)$. طول ضلع ($a$) از فرمول فاصلهٔ نقطه از خط به دست می‌آید: $$a = d(A, L) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ $$a = \frac{|2(3) + (-1)(0) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 0 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}}$$ $$a = \sqrt{5}$$ **۳. محاسبهٔ مساحت مربع** مساحت مربع برابر با مربع طول ضلع است: $$S = a^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$$ **مساحت مربع**: $$S = 5$$

معادلات خطوط: $$L_1: 5x - 12y + 8 = 0$$ $$L_2: 10x - 24y + 10 = 0$$ **الف) اثبات موازی بودن خطوط** دو خط زمانی موازی‌اند که شیب‌هایشان برابر باشد. شیب خط $Ax + By + C = 0$ برابر با $m = -\frac{A}{B}$ است. * **شیب $L_1$**: $$m_1 = -\frac{5}{-12} = \frac{5}{12}$$ * **شیب $L_2$**: $$m_2 = -\frac{10}{-24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$$ چون $m_1 = m_2 = \frac{5}{12}$، پس دو خط **موازی** یکدیگرند. (همچنین با تقسیم $L_2$ بر ۲، معادله $5x - 12y + 5 = 0$ به دست می‌آید که متفاوت از $L_1$ است، پس بر هم منطبق نیستند). **ب) محاسبهٔ فاصلهٔ بین دو خط** **۱. انتخاب نقطهٔ دلخواه ($P$) روی یکی از خطوط (مثلاً $L_2$)** ساده‌ترین حالت را انتخاب می‌کنیم. در معادلهٔ $L_2: 10x - 24y + 10 = 0$، اگر $x = -1$ را در نظر بگیریم: $$10(-1) - 24y + 10 = 0 \Rightarrow -10 - 24y + 10 = 0 \Rightarrow -24y = 0 \Rightarrow y = 0$$ نقطهٔ دلخواه روی $L_2$: $$P(-1, 0)$$ **۲. محاسبهٔ فاصلهٔ نقطهٔ $P(-1, 0)$ از خط $L_1: 5x - 12y + 8 = 0$** از فرمول فاصلهٔ نقطه از خط $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ استفاده می‌کنیم. $a = 5, b = -12, c = 8$. $x_0 = -1, y_0 = 0$. $$d = \frac{|5(-1) + (-12)(0) + 8|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}$$ $$d = \frac{|-5 + 0 + 8|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|3|}{\sqrt{169}} = \frac{3}{13}$$ **فاصلهٔ بین دو خط**: $$d = \frac{3}{13}$$

موقعیت دو شهر به صورت مختصات $(x, y)$: * تبریز ($T$): $T(46, 38)$ * چابهار ($C$): $C(61, 25)$ **۱. محاسبهٔ فاصلهٔ بر حسب درجه** فاصلهٔ دو شهر بر حسب درجه (با استفاده از فرمول فاصلهٔ اقلیدسی) محاسبه می‌شود: $$d_{\text{درجه}} = \sqrt{(x_C - x_T)^2 + (y_C - y_T)^2}$$ $$d_{\text{درجه}} = \sqrt{(61 - 46)^2 + (25 - 38)^2} = \sqrt{(15)^2 + (-13)^2}$$ $$d_{\text{درجه}} = \sqrt{225 + 169} = \sqrt{394}$$ $$\sqrt{394} \approx 19.85 \text{ درجه}$$ **۲. تبدیل فاصله از درجه به کیلومتر** با فرض اینکه هر درجه برابر $110$ کیلومتر است، فاصلهٔ فیزیکی برابر است با: $$\text{فاصله بر حسب کیلومتر} = d_{\text{درجه}} \times 110$$ $$\text{فاصله} \approx 19.85 \times 110 \approx 2183.5 \text{ کیلومتر}$$ **محاسبهٔ دقیق‌تر:** $$\text{فاصله} = \sqrt{394} \times 110 \approx 2183.53 \text{ کیلومتر}$$ **فاصلهٔ تقریبی دو شهر**: $$2183.5 \text{ کیلومتر}$$