نقاط $A(2, 0)$، $B(5, 4)$ و $C(-2, 3)$ را در نظر بگیرید و آن‌ها را روی دستگاه مختصات مشخص کنید.
الف) محیط مثلث $ABC$ را با محاسبهٔ طول اضلاع آن به دست آورید.
$$AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} = \sqrt{(2 - 5)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
$$AC = \dots$$
$$BC = \dots$$
محیط $P = \dots$
ب) مثلث $ABC$ چه نوع مثلثی است؟
پ) به دو روش نشان دهید $ABC$ یک مثلث قائم‌الزاویه است. سپس مساحت آن را حساب کنید.
نقاط: $A(2, 0)$, $B(5, 4)$, $C(-2, 3)$.
**الف) محاسبهٔ طول اضلاع و محیط**
طول اضلاع با استفاده از فرمول فاصلهٔ دو نقطه $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ محاسبه می‌شود:
* **طول $AB$** (داده شده است):
$$AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
* **طول $AC$**:
$$AC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$
* **طول $BC$**:
$$BC = \sqrt{(-2 - 5)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$$
**محیط $P$**:
محیط برابر است با مجموع طول اضلاع:
$$P = AB + AC + BC = 5 + 5 + \sqrt{50}$$
$$P = 10 + 5\sqrt{2} \quad (\text{زیرا } \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2})$$
**ب) نوع مثلث $ABC$**
چون $AB = 5$ و $AC = 5$، دو ضلع مثلث با هم برابرند. پس مثلث $ABC$ **متساوی‌الساقین** است.
**پ) اثبات قائم‌الزاویه بودن و محاسبهٔ مساحت**
**روش اول: قضیهٔ فیثاغورس**
بزرگ‌ترین ضلع $\sqrt{50}$ است. اگر مثلث قائم‌الزاویه باشد، باید $AB^2 + AC^2 = BC^2$ برقرار باشد:
$$(5)^2 + (5)^2 = 25 + 25 = 50$$
$$BC^2 = (\sqrt{50})^2 = 50$$
چون $AB^2 + AC^2 = BC^2$ برقرار است، مثلث $ABC$ در رأس $A$ **قائم‌الزاویه** است.
**روش دوم: محاسبهٔ شیب‌ها**
اگر دو ضلع بر هم عمود باشند، حاصل ضرب شیب‌های آن‌ها $-1$ است:
* **شیب $AB$** ($m_{AB}$): $$m_{AB} = \frac{4 - 0}{5 - 2} = \frac{4}{3}$$
* **شیب $AC$** ($m_{AC}$): $$m_{AC} = \frac{3 - 0}{-2 - 2} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$$
* **حاصل ضرب شیب‌ها**: $$m_{AB} \cdot m_{AC} = \frac{4}{3} \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) = -1$$
چون حاصل ضرب شیب‌ها $-1$ است، ضلع $AB$ بر $AC$ عمود است. پس مثلث $ABC$ در رأس $A$ **قائم‌الزاویه** است.
**محاسبهٔ مساحت**
در مثلث قائم‌الزاویه، مساحت برابر است با نصف حاصل ضرب دو ضلع قائم‌الزاویه ($AB$ و $AC$):
$$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{25}{2} = 12.5$$
در یکی از جاده‌های کشور، تصادفی رخ داده است که مختصات نقطهٔ تصادف روی نقشهٔ مرکز امداد به صورت $P(50, 30)$ است. پایگاه‌های امداد هوایی که به محل تصادف نزدیک‌اند، در نقاط $A(10, 20)$ و $B(80, 90)$ واقع‌اند. شما کدام پایگاه را برای اعزام بالگرد امداد به محل حادثه پیشنهاد می‌کنید؟ (اعداد بر حسب کیلومتر هستند).
برای تصمیم‌گیری، باید فاصلهٔ هر پایگاه را تا محل تصادف $P(50, 30)$ محاسبه کنیم.
**۱. محاسبهٔ فاصلهٔ پایگاه $A(10, 20)$ تا محل تصادف $P(50, 30)$**
$$AP = \sqrt{(x_P - x_A)^2 + (y_P - y_A)^2}$$
$$AP = \sqrt{(50 - 10)^2 + (30 - 20)^2} = \sqrt{(40)^2 + (10)^2}$$
$$AP = \sqrt{1600 + 100} = \sqrt{1700}$$
**۲. محاسبهٔ فاصلهٔ پایگاه $B(80, 90)$ تا محل تصادف $P(50, 30)$**
$$BP = \sqrt{(x_P - x_B)^2 + (y_P - y_B)^2}$$
$$BP = \sqrt{(50 - 80)^2 + (30 - 90)^2} = \sqrt{(-30)^2 + (-60)^2}$$
$$BP = \sqrt{900 + 3600} = \sqrt{4500}$$
**۳. مقایسهٔ فواصل**
چون $1700 < 4500$، پس $\sqrt{1700} < \sqrt{4500}$ است.
$$AP < BP$$
**نتیجه**: پایگاه $A$ به محل حادثه نزدیک‌تر است.
**پیشنهاد**: باید پایگاه **$A$** را برای اعزام بالگرد امداد پیشنهاد کرد.
الف) فاصلهٔ نقطهٔ $N(6, -8)$ تا مبدأ مختصات را محاسبه کنید.
ب) فاصلهٔ نقطهٔ $E(x_E, y_E)$ تا مبدأ مختصات را به دست آورید.
مبدأ مختصات را با $O(0, 0)$ نشان می‌دهیم. فاصلهٔ هر نقطه تا مبدأ از فرمول کلی $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ به دست می‌آید که در این حالت ساده می‌شود به: $$d = \sqrt{x^2 + y^2}$$
**الف) فاصلهٔ نقطهٔ $N(6, -8)$ تا مبدأ**
با استفاده از فرمول فاصله تا مبدأ:
$$ON = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64}$$
$$ON = \sqrt{100} = 10$$
**ب) فاصلهٔ نقطهٔ $E(x_E, y_E)$ تا مبدأ**
با استفاده از فرمول فاصله تا مبدأ:
$$OE = \sqrt{(x_E - 0)^2 + (y_E - 0)^2} = \sqrt{x_E^2 + y_E^2}$$
