حل فعالیت صفحه 77 ریاضی دوازدهم

حل تمرین فعالیت صفحه 77 ریاضی دوازدهم تابع داده شده: $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \ne 2 \\ 1 & x = 2 \end{cases}$ ### الف) استدلال هندسی برای عدم وجود $f'(2)$ **تعریف مشتق:** مشتق تابع در یک نقطه ($f'(a)$) برابر است با شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه. همچنین، مشتق‌پذیری تابع در یک نقطه، مستلزم **پیوستگی** تابع در آن نقطه است. 1. **بررسی پیوستگی در $x=2$:** * **حد تابع:** $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} x^2 = 2^2 = 4$ * **مقدار تابع:** $f(2) = 1$ * **نتیجه:** چون $\lim_{x \to 2} f(x) \ne f(2)$ (یعنی $4 \ne 1$)، تابع $f(x)$ در $x=2$ **پیوسته نیست**. 2. **استدلال نهایی (هندسی):** * **از نظر نمودار:** در $x=2$ یک **گسستگی (حفره)** در نمودار وجود دارد و نقطه $(2, 1)$ از منحنی جدا شده است. نمودار در $x=2$ یک **جهش عمودی** دارد. * **تفسیر مشتق:** اگر نمودار در یک نقطه پیوسته نباشد، نمی‌توان خط مماسی تعریف کرد که بتواند به صورت منحصر به فرد شیب نرخ تغییر را نشان دهد. به عبارت دیگر، **شرط لازم برای مشتق‌پذیری، پیوستگی است.** $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ به دلیل گسستگی تابع در } x=2 \text{، تابع در این نقطه مشتق‌پذیر نیست و } f'(2) \text{ وجود ندارد.}$$ --- ### ب) محاسبه حد $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x - 2}$ **توضیح:** صورت کسر مشتق $f(x) - f(2)$، به صورت $x^2 - 1$ آمده است. اگر این عبارت را به عنوان تابعی مستقل در نظر بگیریم: 1. **بررسی ابهام:** جایگذاری $x = 2$: $\frac{2^2 - 1}{2 - 2} = \frac{3}{0}$. (ابهام $\frac{k}{0}$) 2. **تعیین علامت مخرج:** * **حد چپ:** $\lim_{x \to 2^-} \frac{3}{x - 2} = \frac{3}{0^-} = -\infty$ * **حد راست:** $\lim_{x \to 2^+} \frac{3}{x - 2} = \frac{3}{0^+} = +\infty$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ چون حد چپ و راست برابر نیستند (و بی‌نهایت هستند)، حد } \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x - 2} \text{ وجود ندارد.}$$ **توضیح تکمیلی (ریاضیات مشتق):** اگر عبارت مشتق را به درستی می‌نوشتیم:$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x - 2}$$ همانطور که دیدیم، این حد وجود ندارد و مقدار آن به بی‌نهایت میل می‌کند، که این نیز تأیید می‌کند مشتق $f'(2)$ به عنوان یک عدد حقیقی وجود ندارد.