فعالیت رسم نمودار تابع درجه دوم ریاضی دهم - بخش الف
۱. معادله‌ی درجه دوم $y = x^2 - 4$ را در نظر بگیرید. این جدول را کامل کنید:
| $\mathbf{x}$ | $\mathbf{y = x^2 - 4}$ | $\mathbf{(x, y)}$ |
| :---: | :---: | :---: |
| $-2$ | $y = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$ | $(-2, 0)$ |
| $-1$ | $\underline{\hspace{1cm}}$ | $\underline{\hspace{1cm}}$ |
| $0$ | $y = (0)^2 - 4 = 0 - 4 = -4$ | $(0, -4)$ |
| $1$ | $\underline{\hspace{1cm}}$ | $\underline{\hspace{1cm}}$ |
| $2$ | $\underline{\hspace{1cm}}$ | $\underline{\hspace{1cm}}$ |
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 78 ریاضی دهم - بخش الف
سلام! این فعالیت آغازین در مورد **رسم نمودار تابع درجه دوم** است که نمودار آن به شکل یک **سهمی** (Parabola) خواهد بود. برای رسم نمودار، ابتدا با استفاده از معادله‌ی $y = x^2 - 4$، مقادیر $y$ را برای مقادیر مختلف $x$ حساب می‌کنیم تا مختصات نقاط $(x, y)$ به دست آید.
### **محاسبه و تکمیل جدول**
1. **برای $\mathbf{x = -1}$:**
$$y = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = \mathbf{-3}$$
$$\text{نقطه: } \mathbf{(-1, -3)}$$
2. **برای $\mathbf{x = 1}$:**
$$y = (1)^2 - 4 = 1 - 4 = \mathbf{-3}$$
$$\text{نقطه: } \mathbf{(1, -3)}$$
3. **برای $\mathbf{x = 2}$:**
$$y = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = \mathbf{0}$$
$$\text{نقطه: } \mathbf{(2, 0)}$$
| $\mathbf{x}$ | $\mathbf{y = x^2 - 4}$ | $\mathbf{(x, y)}$ |
| :---: | :---: | :---: |
| $-2$ | $0$ | $(-2, 0)$ |
| $-1$ | $\mathbf{-3}$ | $\mathbf{(-1, -3)}$ |
| $0$ | $-4$ | $(0, -4)$ |
| $1$ | $\mathbf{-3}$ | $\mathbf{(1, -3)}$ |
| $2$ | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{(2, 0)}$ |
فعالیت رسم نمودار تابع درجه دوم ریاضی دهم - بخش ب، پ، ت
نقاط به دست آمده در جدول بالا را در یک دستگاه مختصات مشخص کرده و آن‌ها را به یکدیگر وصل می‌کنیم (شکل‌های روبه‌رو).
ب) پایین‌ترین نقطه‌ی این نمودار چه نقطه‌ای است؟ آیا می‌توانید محور تقارن این نمودار را مشخص کنید؟
پ) برای رسم این نمودار، از چند نقطه استفاده کرده‌ایم؟ آیا با نقاط کمتری می‌توان این نمودار را رسم کنیم؟
ت) محل برخورد منحنی رسم شده با محور $x$ها در چه نقاطی است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 78 ریاضی دهم - بخش ب، پ، ت
### **ب) پایین‌ترین نقطه و محور تقارن**
1. **پایین‌ترین نقطه:** پایین‌ترین نقطه‌ی یک سهمی که رو به بالا باز می‌شود، **رأس سهمی** (Vertex) نام دارد. با توجه به جدول پرشده در بخش الف، کمترین مقدار $y$ در نقطه $(athbf{0}, athbf{-4})$ رخ داده است.
$$\text{پایین‌ترین نقطه: } \mathbf{(0, -4)}$$
2. **محور تقارن:** محور تقارن، خط عمودی است که سهمی را به دو قسمت کاملاً قرینه تقسیم می‌کند. این خط باید از رأس سهمی بگذرد.
$$\text{محور تقارن: } \mathbf{x = 0} \quad \text{(همان محور } y \text{ها)}$$
---
### **پ) تعداد نقاط لازم برای رسم**
1. **نقاط استفاده شده:** برای رسم، از $\mathbf{5}$ نقطه استفاده کرده‌ایم: $(-2, 0)$, $(-1, -3)$, $(0, -4)$, $(1, -3)$, $(2, 0)$.
2. **آیا با نقاط کمتری می‌توان رسم کرد؟** **بله.** برای رسم یک سهمی، حداقل به سه نقطه نیاز داریم، به شرط آنکه یکی از آن‌ها **رأس سهمی** باشد. در حالت ایده‌آل، بهتر است رأس، دو نقطه‌ی تقاطع با محور $x$ها و/یا چند نقطه‌ی متقارن دیگر را نیز داشته باشیم.
---
### **ت) محل برخورد با محور $x$ها (ریشه‌های تابع)**
محل برخورد نمودار با محور $x$ها، همان نقاطی هستند که در آن‌ها $\mathbf{y = 0}$ است. با نگاه به جدول (بخش الف) این نقاط عبارتند از:
* $\text{نقطه اول: } \mathbf{(-2, 0)}$
* $\text{نقطه دوم: } \mathbf{(2, 0)}$
$$\text{محل برخورد با محور } x \text{ها: } \mathbf{x = -2} \text{ و } \mathbf{x = 2}$$
