حل تمرین صفحه 117 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 117 - تمرین 1 برای پیدا کردن نزدیک‌ترین عدد طبیعی به ریشه دوم یک عدد، باید آن عدد را بین دو **مجذور کامل** متوالی قرار دهیم و ببینیم به کدام مجذور کامل نزدیک‌تر است. ### **1. $\sqrt{401}$** * **مجذورهای کامل اطراف:** $20^2 = 400$ و $21^2 = 441$. * **مقایسه:** عدد 401 بسیار به 400 نزدیک است ($401 - 400 = 1$). فاصله تا 441 برابر $441 - 401 = 40$ است. * **نزدیک‌ترین عدد طبیعی:** **20** ### **2. $\sqrt{310}$** * **مجذورهای کامل اطراف:** $17^2 = 289$ و $18^2 = 324$. * **مقایسه:** * فاصله تا 289: $310 - 289 = 21$ * فاصله تا 324: $324 - 310 = 14$ * **نزدیک‌ترین عدد طبیعی:** **18** ### **3. $\sqrt{9999}$** * **مجذورهای کامل اطراف:** $99^2 = 9801$ و $100^2 = 10000$. * **مقایسه:** عدد 9999 بسیار به 10000 نزدیک است ($10000 - 9999 = 1$). فاصله تا 9801 برابر $9999 - 9801 = 198$ است. * **نزدیک‌ترین عدد طبیعی:** **100** ### **4. $\sqrt{280}$** * **مجذورهای کامل اطراف:** $16^2 = 256$ و $17^2 = 289$. * **مقایسه:** * فاصله تا 256: $280 - 256 = 24$ * فاصله تا 289: $289 - 280 = 9$ * **نزدیک‌ترین عدد طبیعی:** **17** ### **5. $\sqrt{175}$** * **مجذورهای کامل اطراف:** $13^2 = 169$ و $14^2 = 196$. * **مقایسه:** * فاصله تا 169: $175 - 169 = 6$ * فاصله تا 196: $196 - 175 = 21$ * **نزدیک‌ترین عدد طبیعی:** **13**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 117 - تمرین 2 برای مشخص کردن این اعداد روی محور اعداد به صورت تقریبی، ابتدا باید آن‌ها را بین دو عدد صحیح متوالی قرار دهیم و سپس با دقت بیشتری، مقدار تقریبی‌شان را تخمین بزنیم. ### **محاسبه حدود تقریبی:** * **$$\sqrt{14}$$:** $$ \sqrt{9} < \sqrt{14} < \sqrt{16} \implies 3 < \sqrt{14} < 4 $$ چون $14$ به $16$ نزدیک‌تر است ($16-14=2$) تا $9$ ($14-9=5$)، پس $\sqrt{14}$ به **4** نزدیک‌تر است. (تقریباً $3.7$) * **$$\sqrt{20}$$:** $$ \sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25} \implies 4 < \sqrt{20} < 5 $$ چون $20$ به $16$ نزدیک‌تر است ($20-16=4$) تا $25$ ($25-20=5$)، پس $\sqrt{20}$ به **4** نزدیک‌تر است. (تقریباً $4.4$) * **$$\sqrt{24}$$:** $$ \sqrt{16} < \sqrt{24} < \sqrt{25} \implies 4 < \sqrt{24} < 5 $$ چون $24$ بسیار به $25$ نزدیک است ($25-24=1$)، پس $\sqrt{24}$ بسیار به **5** نزدیک است. (تقریباً $4.9$) * **$$-\sqrt{43}$$:** $$ \sqrt{36} < \sqrt{43} < \sqrt{49} \implies 6 < \sqrt{43} < 7 $$ چون $43$ به $49$ نزدیک‌تر است ($49-43=6$) تا $36$ ($43-36=7$)، پس $\sqrt{43}$ به **7** نزدیک‌تر است. در نتیجه $-\sqrt{43}$ به **$-7$** نزدیک‌تر است. (تقریباً $-6.6$) * **$$-\sqrt{8}$$:** $$ \sqrt{4} < \sqrt{8} < \sqrt{9} \implies 2 < \sqrt{8} < 3 $$ چون $8$ بسیار به $9$ نزدیک است ($9-8=1$)، پس $\sqrt{8}$ بسیار به **3** نزدیک است. در نتیجه $-\sqrt{8}$ بسیار به **$-3$** نزدیک است. (تقریباً $-2.8$) * **$$-\sqrt{17}$$:** $$ \sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25} \implies 4 < \sqrt{17} < 5 $$ چون $17$ بسیار به $16$ نزدیک است ($17-16=1$)، پس $\sqrt{17}$ بسیار به **4** نزدیک است. در نتیجه $-\sqrt{17}$ بسیار به **$-4$** نزدیک است. (تقریباً $-4.1$) ### **ترسیم روی محور اعداد:** * **نکات مهم:** * $\sqrt{14}$ بین 3 و 4، نزدیک به 4. * $\sqrt{20}$ بین 4 و 5، کمی قبل از وسط. * $\sqrt{24}$ بین 4 و 5، بسیار نزدیک به 5. * $-\sqrt{17}$ بین -4 و -5، بسیار نزدیک به -4. * $-\sqrt{8}$ بین -2 و -3، بسیار نزدیک به -3. * $-\sqrt{43}$ بین -6 و -7، کمی نزدیک‌تر به -7.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 117 - تمرین 3 این تمرین یک **مربع جادویی** است که در آن مجموع اعداد هر سطر، هر ستون و هر قطر اصلی برابر با یک عدد ثابت (در اینجا 6) است. ابتدا باید مقادیر خانه‌های پر شده را محاسبه و ساده کنیم. ### **گام 1: ساده‌سازی خانه‌های موجود** | خانه | محاسبه | مقدار نهایی | |---|---|---| | $$-(\sqrt{4}+2)$$ | $$-(2+2) = -4$$ | $$-4$$ | $$-5^\circ$$ | هر عدد غیرصفری به توان صفر برابر با 1 است: $$-1$$ | $$-1$$ | $$-2^3$$ | $$-2 \times 2 \times 2 = -8$$ | $$-8$$ | $$.5$$ | $$0.5$$ | $$0.5$$ (یا $\frac{1}{2}$) | $$- \sqrt{9}$$ | $$-3$$ | $$-3$$ | $$15 \div 12$$ | $$\frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$$ | $$1.25$$ (یا $\frac{5}{4}$) ### **گام 2: نمایش جدول ساده شده** | $C_{11}$ | $-4$ | $-1$ | |---|---|---| | $-8$ | $C_{22}$ | $0.5$ | | $-3$ | $1.25$ | $C_{33}$ | (که در آن $C_{ij}$ خانه‌های خالی هستند.) مجموع جادویی (S) برابر است با 6. ### **گام 3: محاسبه خانه‌های خالی** **الف) خانه $C_{11}$ (از سطر 1):** $$ C_{11} + (-4) + (-1) = 6 \implies C_{11} - 5 = 6 \implies C_{11} = 6 + 5 = 11 $$ **ب) خانه $C_{33}$ (از قطر اصلی):** $$ C_{11} + C_{22} + C_{33} = 6 \implies 11 + C_{22} + C_{33} = 6 $$ (فعلاً نمی‌توان محاسبه کرد) **ج) خانه $C_{22}$ (از سطر 2):** $$ (-8) + C_{22} + 0.5 = 6 \implies C_{22} - 7.5 = 6 \implies C_{22} = 6 + 7.5 = 13.5 $$ **د) خانه $C_{33}$ (ادامه از قطر اصلی):** $$ 11 + 13.5 + C_{33} = 6 \implies 24.5 + C_{33} = 6 \implies C_{33} = 6 - 24.5 = -18.5 $$ **ه) خانه $C_{31}$ (بررسی ستون 1):** $$ C_{11} + (-8) + (-3) = 6 \implies 11 - 11 = 0 \ne 6 $$ **مشکل:** با توجه به ورودی‌های تصویر، $$-2^3 = -8$$ است. اما اگر $$-2^3$$ را **$-2$ به توان 3** بگیریم (که معمولاً پرانتز لازم دارد) جواب $-8$ می‌شود که منجر به عدم توازن مربع جادویی می‌گردد ($11 - 11 = 0 \ne 6$). احتمالاً در این سطح، منظور نویسنده از $$-2^3$$، عدد **$-2$** بوده است (یک اشتباه رایج یا ساده‌سازی بصری). اگر فرض کنیم **خانه $C_{21}$ برابر $-2$ است**، جدول را دوباره بررسی می‌کنیم: | $C_{11}$ | $-4$ | $-1$ | |---|---|---| | $\mathbf{-2}$ | $C_{22}$ | $0.5$ | | $-3$ | $1.25$ | $C_{33}$ | * **بازمحاسبه $C_{22}$ (از سطر 2):** $$ (-2) + C_{22} + 0.5 = 6 \implies C_{22} - 1.5 = 6 \implies C_{22} = 7.5 $$ * **بازمحاسبه $C_{33}$ (از قطر اصلی $C_{11}, C_{22}, C_{33}$):** $$ 11 + 7.5 + C_{33} = 6 \implies 18.5 + C_{33} = 6 \implies C_{33} = 6 - 18.5 = -12.5 $$ * **بازمحاسبه $C_{13}$ (از ستون 3):** $$ (-1) + 0.5 + C_{33} = 6 \implies C_{33} - 0.5 = 6 \implies C_{33} = 6.5 $$ باز هم مجموع‌ها منطبق نیستند ($-12.5 \ne 6.5$). **نتیجه‌گیری نهایی:** اگر فرض کنیم اعداد $$-2^3$$ و $$15 \div 12$$ در شکل اشتباه درج شده‌اند و صرفاً جای خالی هستند، یا اگر فرض کنیم $\mathbf{-2^3}$ به اشتباه **$-2$** و $\mathbf{15 \div 12}$ به اشتباه **$2$** است، باز هم محاسبات دشوار خواهد بود. **پاسخ استاندارد بر اساس ساده‌سازی دقیق اعداد وارد شده:** $$ C_{11} = 11 \quad C_{22} = 13.5 \quad C_{33} = -18.5 $$ اما اگر مربع جادویی کاملاً درست باشد، باید: $C_{11} = 11$, $C_{33} = 15$ و $C_{22} = 7.5$ و... که در هیچ حالتی منطبق نمی‌شود. **(تنها پاسخ ممکن بر اساس محاسبات دقیق و سطر 1 و 2):** * $$C_{11} = 11$$ * $$C_{22} = 13.5$$ * $$C_{33} = -18.5$$ (از قطر اصلی) * $$C_{31} = 6 - (11 + (-8)) = 3$$ (از ستون 1: $-3$) * $$C_{13} = 6 - ((-1) + 0.5) = 6.5$$ (از ستون 3: $-18.5$) **به دلیل ناسازگاری اعداد در مربع جادویی، ما فقط خانه‌های خالی را با مقادیر به دست آمده از سطرها و ستون‌های قابل محاسبه پر می‌کنیم (با فرض $C_{21}=-8$):** * **$C_{11}$:** $11$ * **$C_{22}$:** $13.5$ * **$C_{33}$:** اگر از ستون 2 حساب کنیم: $-4 + C_{22} + 1.25 = 6 \implies -2.75 + 13.5 = 10.75 \ne 6$. (ناسازگار است.) **پاسخ نهایی (بر اساس سطر 1 و 2 و قطر اصلی):** $$ C_{11} = 11 \quad C_{22} = 13.5 \quad C_{33} = -18.5 $$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 117 - تمرین 4 این تمرین شامل دو بخش است: اول، ساده‌سازی عبارات توانی و دوم، ساده‌سازی رادیکال‌های کسری با استفاده از قوانین ضرب و تقسیم رادیکال‌ها. ### **1. ساده‌سازی عبارات توانی** $$ (a^5 \times a^1) \times (b^{17} \div b^3) $$ * **ساده‌سازی پرانتز اول (قانون ضرب توان‌ها):** در ضرب، اگر پایه‌ها مساوی باشند، توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم ($a^m \times a^n = a^{m+n}$). $$ a^5 \times a^1 = a^{5+1} = a^6 $$ * **ساده‌سازی پرانتز دوم (قانون تقسیم توان‌ها):** در تقسیم، اگر پایه‌ها مساوی باشند، توان‌ها را از هم کم می‌کنیم ($b^m \div b^n = b^{m-n}$). $$ b^{17} \div b^3 = b^{17-3} = b^{14} $$ * **حاصل نهایی:** $$ (a^5 \times a^1) \times (b^{17} \div b^3) = a^6 b^{14} $$ ### **2. ساده‌سازی عبارت رادیکالی** $$ \sqrt{\frac{49 \times 25}{36}} $$ * **گام 1: اعمال قانون تقسیم رادیکال‌ها:** رادیکال را به صورت و مخرج تقسیم می‌کنیم ($\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$). $$ \sqrt{\frac{49 \times 25}{36}} = \frac{\sqrt{49 \times 25}}{\sqrt{36}} $$ * **گام 2: اعمال قانون ضرب رادیکال‌ها (در صورت):** ($\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$). $$ \frac{\sqrt{49 \times 25}}{\sqrt{36}} = \frac{\sqrt{49} \times \sqrt{25}}{\sqrt{36}} $$ * **گام 3: محاسبه ریشه‌های دوم مجذورهای کامل:** $$ \sqrt{49} = 7 \quad , \quad \sqrt{25} = 5 \quad , \quad \sqrt{36} = 6 $$ * **گام 4: جایگذاری و محاسبه نهایی:** $$ \frac{7 \times 5}{6} = \frac{35}{6} $$ * **حاصل نهایی:** $$ \frac{35}{6} $$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 117 - تمرین 5 برای محاسبه $\sqrt{700}$ تا یک رقم اعشار، از روش حدس و آزمایش و استفاده از مجذورهای کامل کمک می‌گیریم. ### **گام 1: پیدا کردن دو عدد صحیح متوالی** * باید $700$ را بین دو مجذور کامل متوالی قرار دهیم: $$ 20^2 = 400 \quad \text{و} \quad 30^2 = 900 $$ $$\sqrt{400} < \sqrt{700} < \sqrt{900} \implies 20 < \sqrt{700} < 30$$ * $\sqrt{700}$ به $30$ نزدیک‌تر است چون $900-700=200$ و $700-400=300$. ### **گام 2: تخمین یک رقم اعشار** * مجذورهای کامل نزدیک: $26^2 = 676$ و $27^2 = 729$. $$\sqrt{676} < \sqrt{700} < \sqrt{729} \implies 26 < \sqrt{700} < 27$$ * $\sqrt{700}$ به $26$ نزدیک‌تر است ($700-676=24$) تا $27$ ($729-700=29$). ### **گام 3: بررسی دهم‌ها** * از 26 شروع می‌کنیم: * $26.4^2 = 696.96$ (نزدیک و کمتر از 700) * $26.5^2 = 702.25$ (بزرگتر از 700) * **نتیجه:** $26.4 < \sqrt{700} < 26.5$. ### **گام 4: گرد کردن تا یک رقم اعشار** * برای اینکه بدانیم به 26.4 گرد می‌شود یا 26.5، باید عدد وسط $26.45$ را بررسی کنیم (یا فاصله تا $700$ را از $26.4^2$ و $26.5^2$ محاسبه کنیم): * فاصله $26.4^2$ تا 700: $700 - 696.96 = 3.04$ * فاصله $26.5^2$ تا 700: $702.25 - 700 = 2.25$ * چون فاصله تا $26.5^2$ کمتر است، $\sqrt{700}$ به $26.5$ نزدیک‌تر است. * **جذر 700 تا یک رقم اعشار:** **26.5** **بررسی با ماشین حساب:** $$\sqrt{700} \approx 26.4575 \dots$$ با گرد کردن 26.4575 به یک رقم اعشار، چون رقم دوم 5 است، رقم اول را یکی اضافه می‌کنیم: **26.5**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 117 - تمرین 6 برای پیدا کردن اعداد طبیعی (اعداد صحیح مثبت: 1، 2، 3 و...) بین $\sqrt{5}$ و $\sqrt{17}$، ابتدا باید مقدار تقریبی این دو رادیکال را مشخص کنیم. ### **گام 1: تخمین حدود رادیکال‌ها** * **حدود $\sqrt{5}$:** $$ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} \implies 2 < \sqrt{5} < 3 $$ پس $\sqrt{5}$ عددی بین 2 و 3 است. (تقریباً 2.23) * **حدود $\sqrt{17}$:** $$ \sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25} \implies 4 < \sqrt{17} < 5 $$ پس $\sqrt{17}$ عددی بین 4 و 5 است. (تقریباً 4.12) ### **گام 2: یافتن اعداد طبیعی بین آن‌ها** ما به دنبال اعداد طبیعی‌ای (n) هستیم که در رابطه زیر صدق کنند: $$ \sqrt{5} < n < \sqrt{17} $$ $$ 2.23 < n < 4.12 $$ اعداد طبیعی که بزرگتر از 2.23 و کوچکتر از 4.12 هستند عبارتند از: * **3** * **4** ### **پاسخ نهایی** دو عدد طبیعی بین $\sqrt{5}$ و $\sqrt{17}$، اعداد **3** و **4** هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 117 - تمرین 7 برای یافتن پنج عدد بین $\sqrt{3}$ و $\sqrt{8}$، ابتدا باید مقدار تقریبی این دو عدد را مشخص کنیم. هدف این است که اعدادی را پیدا کنیم که بزرگتر از $\sqrt{3}$ و کوچکتر از $\sqrt{8}$ باشند. ### **گام 1: تخمین حدود رادیکال‌ها** * **حدود $\sqrt{3}$:** $\sqrt{3} \approx 1.73$ $$ \sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4} \implies 1 < \sqrt{3} < 2 $$ * **حدود $\sqrt{8}$:** $\sqrt{8} \approx 2.82$ $$ \sqrt{4} < \sqrt{8} < \sqrt{9} \implies 2 < \sqrt{8} < 3 $$ ### **گام 2: یافتن اعداد بین $1.73$ و $2.82$** ما به دنبال پنج عدد (n) هستیم که: $$ 1.73 < n < 2.82 $$ اعداد مختلفی می‌توانند انتخاب شوند: 1. **اعداد گویا (اعداد اعشاری):** * **$1.8$** (زیرا $1.73 < 1.8 < 2.82$) * **$2$** (تنها عدد طبیعی بین آن‌ها) * **$2.5$** (زیرا $1.73 < 2.5 < 2.82$) 2. **اعداد گنگ (رادیکالی):** * برای پیدا کردن اعداد گنگ، می‌توانیم اعدادی را زیر رادیکال قرار دهیم که بین 3 و 8 باشند. مثلاً 4، 5، 6 و 7: $$ \sqrt{3} < \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{6} < \sqrt{7} < \sqrt{8} $$ * **$\sqrt{5}$** (تقریباً 2.23) * **$\sqrt{7}$** (تقریباً 2.64) ### **پاسخ نهایی (پنج عدد):** $$ 2 \quad, \quad 2.1 \quad, \quad \sqrt{5} \quad, \quad \sqrt{6} \quad, \quad 2.7 $$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 117 - تمرین 8 این تمرین مربوط به **ساده کردن رادیکال‌ها** است. برای ساده کردن، باید عدد زیر رادیکال را به صورت حاصل‌ضرب بزرگترین **مجذور کامل** ممکن در یک عدد دیگر بنویسیم و سپس مجذور کامل را از زیر رادیکال خارج کنیم. ### **1. ساده کردن $\sqrt{27}$** * بزرگترین مجذور کامل در 27، عدد 9 است ($27 = 9 \times 3$). $$ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} $$ ### **2. ساده کردن $\sqrt{50}$** * بزرگترین مجذور کامل در 50، عدد 25 است ($50 = 25 \times 2$). $$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $$ ### **3. ساده کردن $\sqrt{200}$** * بزرگترین مجذور کامل در 200، عدد 100 است ($200 = 100 \times 2$). $$ \sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} $$