ریاضی هشتم صفحه 99 - تمرین 1
۱- شادی و مهتاب داشتند یک کتاب هندسه را مطالعه میکردند که به این جمله برخوردند:
«هر نقطه روی عمودمنصف یک پاره خط از دو سر آن پاره خط به یک فاصله است.»
مهتاب پرسید: «چرا این جمله درست است؟»
شادی سعی کرد مثالی برای درستی آن جمله پیدا کند. او پاره خطی کشید و عمودمنصف آن را رسم کرد. نقطهای را روی آن در نظر گرفت و فاصله آن نقطه را از دو سر پاره خط اندازه گرفت: فاصلهها مساوی بود. (یادآوری: فاصله دو نقطه از هم برابر طول پاره خطی است که آن نقاط را به هم وصل میکند.)
فکر میکنید شادی توانسته است دلیلی برای درستی جملهی مورد نظر بیاورد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 99 - تمرین 1
این سؤال به مفهوم **اثبات هندسی** در مقابل **اثبات تجربی** میپردازد و اهمیت اثباتهای منطقی را نشان میدهد.
### **بررسی پاسخ شادی**
شادی با **رسم شکل و اندازهگیری**، یک مثال **تجربی** از درستی جمله ارائه کرده است. او نشان داده که "برای این یک مورد خاص، جمله درست است."
$$\mathbf{\text{خیر، شادی نتوانسته است یک دلیل (اثبات منطقی) بیاورد.}}$$
### **توضیح چرا:**
* **اثبات تجربی (مثال):** رسم شکل و اندازهگیری فقط نشان میدهد که آن جمله **ممکن است** درست باشد. ممکن است برای هزاران مثال دیگر هم درست باشد، اما برای اینکه مطمئن شویم برای **تمام نقاط** روی عمودمنصف درست است، باید یک **استدلال منطقی** یا **اثبات هندسی** ارائه کنیم.
* **اثبات منطقی:** اثبات هندسی (مانند استفاده از همنهشتی مثلثها) تضمین میکند که این ویژگی **همیشه** و **بدون استثنا** برقرار است. اندازهگیری با خطکش، هر چقدر هم که دقیق باشد، میتواند خطا داشته باشد یا صرفاً یک مورد خاص را پوشش دهد.
### **اثبات درست جمله (اثبات عکس قضیه):**
برای اثبات درستی این جمله، باید از همنهشتی مثلثهای قائمالزاویه استفاده کنیم. فرض کنید $AB$ پارهخط، $OK$ عمودمنصف آن ($K$ وسط $AB$ و $\hat{K}=90^{\circ}$) و $O$ هر نقطهای روی عمودمنصف باشد.
در دو مثلث قائمالزاویهی $\triangle OKA$ و $\triangle OKB$ داریم:
1. **ضلع قائم:** $\overline{AK} = \overline{BK}$ (چون $OK$ عمودمنصف است.)
2. **زاویهی بین:** $\hat{OKA} = \hat{OKB} = 90^{\circ}$ (چون $OK$ عمود بر $AB$ است.)
3. **ضلع مشترک:** $\overline{OK} = \overline{OK}$ (ضلع مشترک)
$$\mathbf{\triangle OKA \cong \triangle OKB} \quad (\text{حالت ض.ز.ض})$$
از همنهشتی نتیجه میشود که وترهای متناظر برابرند: $\mathbf{\overline{OA} = \overline{OB}}$. این همان اثبات فاصله مساوی نقطهی $O$ از دو سر پارهخط $A$ و $B$ است.
ریاضی هشتم صفحه 99 - تمرین 2
۲- مهتاب گفت: «از کجا بفهمیم این جمله در مورد همهی نقاط روی عمودمنصف درست است؟»
شادی سعی کرد دلیلی برای درستی آن جمله پیدا کند. آن را مانند شکل روبهرو علامتگذاری کرد و گفت: «برای همهی نقاط روی عمودمنصف $\overline{AB}$، مانند نقطه $O$، زاویهی $K$ زاویهی قائمه است. (چرا؟)
همچنین $\overline{AK} = \overline{KB}$ (چرا؟) $\overline{OK}$ هم ضلع مشترک دو مثلث است. پس $\triangle AOK \cong \triangle BOK$ (در چه حالتی؟)
و در نتیجه $\overline{OA} = \overline{OB}$ (چرا؟)»
فکر میکنید این بار شادی توانسته است دلیلی برای درستی جملهی مورد نظر بیاورد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 99 - تمرین 2
در این تمرین، شادی مراحل اثبات منطقی قضیهی عمودمنصف را بیان میکند و ما باید دلایل هر مرحله را تکمیل کنیم.
### **تکمیل دلیلهای شادی (اثبات منطقی)**
1. **زاویهی $\hat{K}$ قائمه است. (چرا؟)**
* **دلیل:** چون $\overline{OK}$ **عمودمنصف** پارهخط $\overline{AB}$ است و در تعریف عمودمنصف، خط باید بر پارهخط **عمود** باشد، پس زاویهی $\hat{K}$ برابر $90^{\circ}$ (قائمه) است.
2. **ضلع $\overline{AK} = \overline{KB}$. (چرا؟)**
* **دلیل:** چون $\overline{OK}$ عمودمنصف $\overline{AB}$ است و در تعریف عمودمنصف، خط باید از **وسط** پارهخط بگذرد. بنابراین $K$ وسط $\overline{AB}$ است و $\overline{AK} = \overline{KB}$.
3. **همنهشتی $\triangle AOK \cong \triangle BOK$. (در چه حالتی؟)**
* **دلیل:** با توجه به مراحل بالا:
* **ضلع:** $\overline{AK} = \overline{KB}$
* **زاویه:** $\hat{OKA} = \hat{OKB} = 90^{\circ}$ (زاویهی بین دو ضلع مساوی)
* **ضلع:** $\overline{OK} = \overline{OK}$ (ضلع مشترک)
$$\mathbf{\text{حالت همنهشتی: ض.ز.ض (دو ضلع و زاویهی بین آنها)}}$$
4. **نتیجه $\overline{OA} = \overline{OB}$. (چرا؟)**
* **دلیل:** چون دو مثلث $\triangle AOK$ و $\triangle BOK$ با هم **همنهشت** هستند، بنابراین **اجزای متناظر** آنها نیز مساویاند. $\overline{OA}$ و $\overline{OB}$ وترهای متناظر در این دو مثلث هستند و با هم مساوی خواهند بود.
### **پاسخ نهایی:**
$$\mathbf{\text{بله، این بار شادی توانسته است یک دلیل منطقی (اثبات هندسی) بیاورد.}}$$
این استدلال **برای هر نقطه** روی عمودمنصف صادق است، نه فقط برای یک مثال خاص. بنابراین، این یک اثبات معتبر برای قضیهی عمودمنصف است.
