۱_ یک تشک کشتی به شکل مربع است. جدول زیر را کامل کنید.
برای کامل کردن جدول، از رابطه بین اندازه ضلع و محیط مربع استفاده می‌کنیم. در یک مربع با طول ضلع $s$، محیط ($P$) از فرمول $P = ۴ \times s$ به دست می‌آید. برعکس، اگر محیط را داشته باشیم، طول ضلع از فرمول $s = P \div ۴$ محاسبه می‌شود. 🤼
- **اگر اندازه ضلع ۴ باشد:**
$$P = ۴ \times ۴ = ۱۶$$
- **اگر اندازه ضلع ۶.۵ باشد:**
$$P = ۴ \times ۶.۵ = ۲۶$$
- **اگر اندازه ضلع $۵\frac{۱}{۳}$ باشد:**
$$P = ۴ \times ۵\frac{۱}{۳} = ۴ \times \frac{۱۶}{۳} = \frac{۶۴}{۳} = ۲۱\frac{۱}{۳}$$
- **اگر محیط ۲۲ باشد:**
$$s = ۲۲ \div ۴ = ۵.۵$$
- **اگر محیط ۳۰ باشد:**
$$s = ۳۰ \div ۴ = ۷.۵$$
- **اگر محیط a باشد:**
$$s = \frac{a}{۴}$$
**جدول کامل شده:**
| اندازه ضلع تشک | ۴ | ۶.۵ | $۵\frac{۱}{۳}$ | **۵.۵** | **۷.۵** | **$\frac{a}{۴}$** |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| **محیط تشک** | **۱۶** | **۲۶** | **$۲۱\frac{۱}{۳}$** | ۲۲ | ۳۰ | a |
۲_ اکنون با توجه به شکل‌های زیر و الگویی که مشاهده می‌کنید، ابتدا شکل پنجم و ششم را رسم و سپس جدول را کامل کنید.
با بررسی شکل‌ها، الگوی زیر را کشف می‌کنیم:
- **شکل ۱:** ۱ دایره
- **شکل ۲:** ۳ دایره
- **شکل ۳:** ۵ دایره
- **شکل ۴:** ۷ دایره
**رابطه الگو:** متوجه می‌شویم که هر شکل جدید، ۲ دایره به شکل قبلی اضافه می‌کند. تعداد دایره‌ها یک الگوی حسابی با قدر نسبت ۲ تشکیل می‌دهد. رابطه جبری بین شماره شکل ($n$) و تعداد دایره‌ها به صورت $۲n-۱$ است.
- **شکل پنجم ($n=۵$):** تعداد دایره‌ها $۲(۵)-۱ = ۹$ خواهد بود. (شامل ۴ جفت دایره و یک دایره تکی)
- **شکل ششم ($n=۶$):** تعداد دایره‌ها $۲(۶)-۱ = ۱۱$ خواهد بود. (شامل ۵ جفت دایره و یک دایره تکی)
**جدول کامل شده:**
| شماره شکل | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | ... | n |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| **تعداد دایره** | **۱** | **۳** | **۵** | **۷** | **۹** | **۱۱** | ... | **$۲n-۱$** |
۳_ شکل‌های زیر با چوب کبریت درست شده‌اند و به همین ترتیب ادامه پیدا می‌کنند. با توجه به الگوی آنها جدول را کامل کنید.
ابتدا شکل‌های چهارم و پنجم را رسم کنید.
با توجه به الگویی که در جدول مشاهده می‌کنید، توضیح دهید چه رابطه‌ای بین شمارهٔ شکل و تعداد چوب کبریت‌ها وجود دارد؟
شکل nام چند چوب کبریت خواهد داشت؟ تعداد چوب کبریت‌ها را بر حسب n بنویسید.
حال با توجه به رابطه‌ای که به دست آوردید، تعداد چوب کبریت‌های شکل بیستم را پیدا کنید.
با تحلیل شکل‌ها و تعداد چوب کبریت‌ها، الگوی مشخصی را پیدا می‌کنیم.
- **شکل ۱:** ۱ مثلث، ۳ چوب کبریت
- **شکل ۲:** ۲ مثلث، ۵ چوب کبریت
- **شکل ۳:** ۳ مثلث، ۷ چوب کبریت
**رسم شکل چهارم و پنجم:**
- **شکل چهارم:** ۴ مثلث خواهد داشت و تعداد چوب کبریت‌های آن $۷+۲=۹$ است.
- **شکل پنجم:** ۵ مثلث خواهد داشت و تعداد چوب کبریت‌های آن $۹+۲=۱۱$ است.
**جدول کامل شده:**
| شماره شکل | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | ۷ | ۸ | ۹ | ۱۰ |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| **تعداد چوب کبریت** | **۳** | **۵** | **۷** | **۹** | **۱۱** | **۱۳** | **۱۵** | **۱۷** | **۱۹** | **۲۱** |
**رابطه بین شماره شکل و تعداد چوب کبریت:**
برای ساختن اولین مثلث به ۳ چوب کبریت نیاز داریم و برای هر مثلث بعدی، ۲ چوب کبریت اضافه می‌شود. رابطه جبری بین شماره شکل ($n$) و تعداد چوب کبریت‌ها به صورت زیر است:
تعداد چوب کبریت = $۲ \times (\text{شماره شکل}) + ۱$
**تعداد چوب کبریت‌ها بر حسب n:**
فرمول جبری تعداد چوب کبریت‌ها برای شکل $n$ام برابر است با: $$۲n+۱$$
**تعداد چوب کبریت‌های شکل بیستم:**
با استفاده از فرمول بالا و قرار دادن $n=۲۰$، تعداد چوب کبریت‌ها را محاسبه می‌کنیم:
$$۲(۲۰) + ۱ = ۴۰ + ۱ = ۴۱$$
شکل بیستم **۴۱** چوب کبریت خواهد داشت.
