|
ریاضی دهم صفحه 131 - تمرین 1
۱) یک مربی فوتبال قصد دارد برای بازی پیشرو در تیم خود یک دفاع راست، یک دفاع چپ، یک دفاع جلو و یک دفاع عقب قرار دهد. او شش بازیکن دفاعی دارد که میتوانند در هر کدام از این چهار پست بازی کنند. در شروع بازی چند حالت برای چیدن این خط دفاعی برای این مربی وجود دارد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 131 - تمرین 1
سلام به دوستان ورزشکار و ریاضیدوست! در این مسئله میخواهیم تعداد چیدمانهای مختلف خط دفاعی یک تیم فوتبال را پیدا کنیم.
**تحلیل مسئله:**
در اینجا مربی باید ۴ پست مختلف (دفاع راست، چپ، جلو و عقب) را با استفاده از ۶ بازیکن متمایز پر کند. چون هر بازیکن در یک پست خاص قرار میگیرد، پس **ترتیب** قرارگیری آنها مهم است. این یعنی ما با یک مسئله **جایگشت** روبرو هستیم.
**حل گام به گام به روش اصل ضرب:**
1. **پست اول (مثلاً دفاع راست):** مربی از بین هر ۶ بازیکن میتواند یکی را انتخاب کند. (**۶ حالت**)
2. **پست دوم (دفاع چپ):** چون یک نفر در پست قبلی قرار گرفته، ۵ بازیکن باقی میماند. (**۵ حالت**)
3. **پست سوم (دفاع جلو):** حالا ۴ بازیکن برای انتخاب باقی مانده است. (**۴ حالت**)
4. **پست چهارم (دفاع عقب):** در نهایت ۳ بازیکن برای این پست باقی میمانند. (**۳ حالت**)
**محاسبه نهایی:**
طبق اصل ضرب، حاصلضرب این انتخابها تعداد کل حالات را به ما میدهد:
$$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$$
همچنین میتوانستیم از فرمول جایگشت $$P(n, r)$$ استفاده کنیم:
$$P(6, 4) = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$$
بنابراین مربی **۳۶۰** حالت مختلف برای ارنج کردن خط دفاعی خود دارد.
ریاضی دهم صفحه 131 - تمرین 2
۲) از بین تعدادی کتاب مختلف میخواهیم سه کتاب را انتخاب کنیم و در قفسهای بچینیم. اگر تعداد حالتهای مختلف برای این کار ۲۱۰ تا باشد، تعداد کتابها چند تاست؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 131 - تمرین 2
در این سوال، مجهول ما تعداد کل اشیاء ($$n$$) است و میدانیم که قرار است ۳ تا از آنها را در قفسه بچینیم.
**گام اول: مدلسازی ریاضی**
چون کتابها را در قفسه میچینیم، ترتیب قرارگیری آنها مهم است، پس از فرمول جایگشت ۳ از $$n$$ استفاده میکنیم:
$$P(n, 3) = n \times (n-1) \times (n-2) = 210$$
**گام دوم: پیدا کردن سه عدد متوالی**
باید عدد ۲۱۰ را به صورت حاصلضرب سه عدد طبیعی متوالی بنویسیم. بیایید امتحان کنیم:
* $$5 \times 6 \times 7 = 210$$
بزرگترین عدد در این حاصلضرب ($$n$$)، همان تعداد کل کتابهاست.
**نتیجه نهایی:**
چون $$7 \times 6 \times 5 = 210$$ است، پس تعداد کل کتابها برابر با **۷** جلد میباشد.
ریاضی دهم صفحه 131 - تمرین 3
۳) کدامیک از موارد زیر درست و کدام نادرست است؟
الف) $$6! = 3! + 3!$$
ب) $$6! = 6 \times 5!$$
پ) $$8! = 4! \times 2!$$
ت) $$2 \times 3! = 6!$$
ث) $$(3!)^2 = 9!$$
ج) $$4! = \frac{8!}{2!}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 131 - تمرین 3
بیایید با محاسبات دقیق، درستی هر عبارت فاکتوریلی را بررسی کنیم:
1. **الف) $$6! = 3! + 3!$$:**
$$720 = 6 + 6$$ (غلط). عمل جمع در فاکتوریل به این صورت ساده نمیشود.
2. **ب) $$6! = 6 \times 5!$$:**
$$720 = 6 \times 120$$ (**درست**). این ویژگی اصلی تعریف بازگشتی فاکتوریل است.
3. **پ) $$8! = 4! \times 2!$$:**
$$40320 = 24 \times 2$$ (غلط). حاصلضرب فاکتوریلها با فاکتوریل حاصلضرب برابر نیست.
4. **ت) $$2 \times 3! = 6!$$:**
$$2 \times 6 = 720$$ (غلط). عدد پشت فاکتوریل نمیتواند مستقیماً با عدد داخل فاکتوریل ضرب شود.
5. **ث) $$(3!)^2 = 9!$$:**
$$6^2 = 362880$$ (غلط). توان دوم فاکتوریل بسیار کوچکتر از فاکتوریل اعداد بزرگتر است.
6. **ج) $$4! = \frac{8!}{2!}$$:**
$$24 = \frac{40320}{2}$$ (غلط). تقسیم فاکتوریلها هم از قوانین ساده تقسیم پیروی نمیکند.
ریاضی دهم صفحه 131 - تمرین 4
۴) در یک نوع ماشین حساب کوچک که دارای ۲۰ کلید است، برای انجام یک دستور خاص باید سه کلید مشخص با ترتیبی مشخص فشار داده شوند. اگر فردی نداند سه کلید مورد نظر کداماند و بخواهد به طور تصادفی این کار را انجام دهد و فشردن هر سه کلید ۲ ثانیه زمان بخواهد، این فرد حداکثر (در بدترین حالت) در چه زمانی میتواند دستور مورد نظر را اجرا کند؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 131 - تمرین 4
این مسئله ترکیبی از جایگشت و زمانسنجی است.
**گام ۱: محاسبه کل حالات ممکن**
باید ۳ کلید را از بین ۲۰ کلید با **ترتیب مشخص** انتخاب کنیم. پس تعداد کل رمزهای ۳ کلیدی ممکن برابر است با جایگشت ۳ از ۲۰:
$$P(20, 3) = 20 \times 19 \times 18 = 6840$$ حالت.
**گام ۲: محاسبه زمان کل**
در بدترین حالت، فرد باید تمام ۶۸۴۰ حالت را امتحان کند. اگر هر امتحان ۲ ثانیه طول بکشد:
زمان کل (ثانیه) = $$6840 \times 2 = 13680$$ ثانیه.
**گام ۳: تبدیل به واحد بزرگتر**
$$13680 \div 60 = 228$$ دقیقه.
$$228 \div 60 = 3$$ ساعت و $$48$$ دقیقه.
پس این فرد در بدترین حالت به **۳ ساعت و ۴۸ دقیقه** زمان نیاز دارد.
ریاضی دهم صفحه 131 - تمرین 5
۵) با حروف کلمه «گل پیرا» و بدون تکرار حروف
الف) چند کلمه ۶ حرفی میتوان نوشت؟ چند تا از آنها با «گل» شروع میشود؟
ب) چند کلمه ۴ حرفی میتوان نوشت؟
پ) چند کلمه ۶ حرفی میتوان نوشت که در آنها دو حرف «پ» و «ر» در کنار هم آمده باشند؟
ت) چند کلمه ۴ حرفی میتوان نوشت که در آنها دو حرف «پ» و «ر» در کنار هم آمده باشند؟
ث) چند کلمه ۵ حرفی میتوان نوشت که در آنها حروف «پیرا» کنار هم آمده باشند؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 131 - تمرین 5
کلمه «گل پیرا» دارای ۶ حرف متمایز است: {گ، ل، پ، ی، ر، ا}.
* **الف) کلمات ۶ حرفی:** برابر است با جایگشت ۶ تایی یا $$!6 = 720$$.
اگر با «گل» شروع شود: یعنی دو جایگاه اول ثابتاند. برای ۴ جایگاه باقیمانده، ۴ حرف داریم: $$!4 = 24$$ حالت.
* **ب) کلمات ۴ حرفی:** انتخاب و چیدمان ۴ حرف از ۶ حرف:
$$P(6, 4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$$ حالت.
* **پ) ۶ حرفی با «پ» و «ر» کنار هم:**
بستهی (پر) را یک شیء فرض میکنیم. حالا ۵ شیء داریم ($$!5 = 120$$). چون داخل بسته «پ» و «ر» میتوانند جابجا شوند ($$!2 = 2$$)، کل حالات میشود: $$120 \times 2 = 240$$ حالت.
* **ت) ۴ حرفی با «پ» و «ر» کنار هم:**
ابتدا ۲ جایگاه برای بستهی (پر) انتخاب میکنیم (۳ حالت: اول-دوم، دوم-سوم، سوم-چهارم). برای هر حالت، ۲ جایگشت داخل بسته داریم. برای ۲ جایگاه باقیمانده، ۴ حرف داریم: $$4 \times 3$$ حالت.
کل حالات = $$3 \times 2 \times (4 \times 3) = 72$$ حالت.
* **ث) ۵ حرفی با حروف «پیرا» کنار هم:**
بستهی ۴ حرفی (پیرا) را با یک حرف دیگر از بین {گ، ل} کنار هم میچینیم. ابتدا حرف پنجم را انتخاب میکنیم (۲ حالت). حالا ۲ شیء داریم (بسته و حرف انتخابی) که $$!2$$ چیدمان دارند. داخل بسته نیز $$!4$$ جابجایی داریم.
کل حالات = $$2 \times !2 \times !4 = 2 \times 2 \times 24 = 96$$ حالت.
