حل کاردرکلاس صفحه 122 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 122 - فعالیت الف سلام به دانش‌آموزان پرانرژی! بیایید با هم یاد بگیریم چطور بدون شمردن تک‌تک اعداد، تعداد کل حالت‌ها را با یک منطق ریاضی قوی به دست بیاوریم. **تحلیل مفهومی:** وقتی می‌خواهیم با ارقام $$2$$، $$3$$ و $$5$$ یک عدد سه رقمی بسازیم، در واقع با سه جایگاه خالی برای **صدگان**، **دهگان** و **یکان** روبرو هستیم. چون در صورت سوال قیدی برای عدم تکرار ارقام نیامده، یعنی ما اجازه داریم از هر رقم چند بار استفاده کنیم (مثل عدد ۳۳۵). **حل گام به گام:** * **مرحله اول (جایگاه صدگان):** ما ۳ انتخاب داریم (ارقام ۲ یا ۳ یا ۵). * **مرحله دوم (جایگاه دهگان):** باز هم ۳ انتخاب داریم، چون تکرار مجاز است. * **مرحله سوم (جایگاه یکان):** در اینجا هم ۳ انتخاب داریم. طبق **اصل ضرب**، وقتی چند کار باید پشت سر هم انجام شوند تا هدف نهایی (ساخت عدد) محقق شود، تعداد حالات هر مرحله را در هم ضرب می‌کنیم: $$3 \times 3 \times 3 = 27$$ پس در مجموع ما **27** عدد سه رقمی مختلف می‌توانیم بسازیم. به نمودار درختی کنار صفحه دقت کنید؛ این نمودار به زیبایی نشان می‌دهد که چطور از هر انتخاب اولیه، شاخه‌های جدیدی برای انتخاب‌های بعدی جوانه می‌زنند!

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 122 - فعالیت ب در این قسمت بازی کمی متفاوت می‌شود! این بار شرط داریم که «رقم تکراری نباشد». این یعنی با انتخاب هر رقم، آن رقم از کیسه انتخاب‌های ما برای مراحل بعدی خارج می‌شود. **حل گام به گام به روش جایگاه‌ها:** * **گام اول (صدگان):** در ابتدا هر ۳ رقم ($$2, 3, 5$$) موجود هستند. پس ما **3** حالت انتخاب داریم. * **گام دوم (دهگان):** حالا یکی از ارقام در جایگاه صدگان نشسته است. چون تکرار مجاز نیست، فقط **2** رقم دیگر برای ما باقی مانده است. * **گام سوم (یکان):** دو رقم قبلاً استفاده شده‌اند. پس برای جایگاه آخر فقط **1** انتخاب باقی می‌ماند. **محاسبه نهایی طبق اصل ضرب:** تعداد کل اعداد سه رقمی بدون تکرار رقم برابر است با: $$3 \times 2 \times 1 = 6$$ **نکته آموزشی:** تفاوت این بخش با بخش قبلی در این است که با هر انتخاب، تعداد گزینه‌های مرحله بعد **کاهش** می‌یابد. این مفهوم پایه و اساس **جایگشت** در ریاضیات است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 122 - فعالیت پ حالا می‌خواهیم اعدادی بسازیم که یک ویژگی خاص داشته باشند: **زوج بودن**. **نکته کلیدی:** یک عدد زمانی زوج است که رقم **یکان** آن زوج باشد. بین ارقام ما ($$2, 3, 5$$)، تنها رقم زوج، عدد **۲** است. **حل مرحله‌ای:** 1. **بررسی یکان (سمت راست):** طبق شرط زوج بودن، فقط می‌توانیم رقم **۲** را قرار دهیم. پس برای این جایگاه فقط **1** حالت انتخاب داریم. 2. **بررسی صدگان و دهگان:** در این سوال حرفی از عدم تکرار زده نشده، پس می‌توانیم از هر ۳ رقم استفاده کنیم. برای هر کدام از این دو جایگاه **3** حالت انتخاب داریم. **طبق اصل ضرب:** $$3 \times 3 \times 1 = 9$$ **نتیجه:** ما می‌توانیم **9** عدد سه رقمی زوج با این ارقام بسازیم. همیشه یادتان باشد در مسائل شمارش، اول سراغ جایگاهی بروید که **شرط خاصی** (مثل زوج بودن یا فرد بودن) روی آن است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 122 - فعالیت ت در این مرحله، سخت‌گیرانه‌ترین حالت را داریم: هم عدد باید **زوج** باشد و هم ارقام **نباید تکراری** باشند. **ترتیب حل هوشمندانه:** * **مرحله ۱ (یکان):** برای زوج شدن عدد، یکان حتماً باید **۲** باشد. پس فقط **1** حالت انتخاب داریم. * **مرحله ۲ (صدگان):** رقم $$2$$ در یکان استفاده شده و دیگر اجازه تکرار ندارد. از بین ارقام $$3$$ و $$5$$، ما **2** انتخاب برای این جایگاه داریم. * **مرحله ۳ (دهگان):** حالا دو رقم (یکی در یکان و یکی در صدگان) استفاده شده‌اند. از بین سه رقم اولیه، تنها **1** رقم باقی مانده است که در این جایگاه قرار می‌گیرد. **محاسبه نهایی:** $$2 \times 1 \times 1 = 2$$ **تحلیل نهایی:** تنها دو عدد با این شرایط وجود دارند: **۳۵۲** و **۵۳۲**. دیدید که چطور ترکیب شروط مختلف، دایره انتخاب‌های ما را کوچک و کوچک‌تر کرد؟ این قدرت منطق ریاضی در شمارش است!