حل فعالیت صفحه 109 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۰۹ - فعالیت ۱ در این فعالیت می‌خواهیم رابطه‌ی بین ابعاد هندسی و مساحت را در قالب تابع بررسی کنیم. **گام اول: تکمیل جدول مربع** فرمول مساحت مربع برابر است با یک ضلع ضرب‌در خودش، یعنی $S = x^2$. * اگر $x = \frac{1}{2}$ باشد، مساحت برابر است با $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} = 0/25$. * اگر $x = 1$ باشد، مساحت برابر است با $1^2 = 1$. * اگر $x = 3$ باشد، مساحت برابر است با $3^2 = 9$. * اگر مساحت $16$ باشد، طول ضلع برابر است با $\sqrt{16} = 4$. * اگر مساحت $144$ باشد، طول ضلع برابر است با $\sqrt{144} = 12$. بنابراین، نمایش جبری این تابع به صورت **$f(x) = x^2$** است. **گام دوم: تکمیل جدول دایره** فرمول مساحت دایره برابر است با شعاع به توان دو ضرب‌در عدد پی، یعنی $S = \pi r^2$. * اگر $r = 3$ باشد، مساحت برابر است با $\pi(3)^2 = 9\pi$. * اگر $r = 5$ باشد، مساحت برابر است با $\pi(5)^2 = 25\pi$. بنابراین، نمایش جبری این تابع به صورت **$g(r) = \pi r^2$** است. **نکته آموزشی:** در هر دو مورد، مساحت تابعی از درجه دوم نسبت به ضلع یا شعاع است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۰۹ - فعالیت ۲ در این بخش با مفهوم **تابع همانی** در نمایش‌های مختلف آشنا می‌شویم. تابع همانی تابعی است که هر ورودی را دقیقاً به همان مقدار به عنوان خروجی برمی‌گرداند. **۱. تحلیل تابع f:** * **دامنه:** مجموعه‌ی مولفه‌های اول یعنی $D_f = \{a, b, c\}$. * **برد:** مجموعه‌ی مولفه‌های دوم یعنی $R_f = \{a, b, c\}$. **۲. تحلیل نمودار پیکانی:** * **دامنه:** تمام اعداد ورودی یعنی $D = \{1, \sqrt{2}, -\frac{3}{4}, 5\}$. * **برد:** تمام اعداد خروجی که با ورودی‌ها یکسان هستند یعنی $R = \{1, \sqrt{2}, -\frac{3}{4}, 5\}$. **۳. تحلیل نمودار خطی ($y=x$):** * **دامنه:** تمام اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$)، چون خط در تمام طول محور $x$ ادامه دارد. * **برد:** تمام اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$)، چون تمام مقادیر محور $y$ را پوشش می‌دهد. **مقایسه نهایی:** * **شباهت:** در هر سه تابع، خروجی با ورودی برابر است ($y=x$). به این توابع، **توابع همانی** می‌گوییم. * **تفاوت:** تفاوت اصلی در **دامنه** آن‌هاست. اولی دامنه‌ای شامل سه حرف، دومی دامنه‌ای با چهار عدد مشخص، و سومی دامنه‌ای نامتناهی (اعداد حقیقی) دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه ۱۰۹ - فعالیت ۳ این فعالیت به معرفی **توابع ثابت** می‌پردازد. در این توابع، مهم نیست ورودی چیست، خروجی همیشه یک مقدار ثابت و تکراری است. **۱. تحلیل جدول دما:** * **دامنه:** مجموعه‌ی ساعت‌ها یعنی $\{8, 9, 10\}$. * **برد:** فقط شامل یک عضو است: $\{19\}$. **۲. تحلیل خط $y=3$:** * **دامنه:** مجموعه‌ی اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$). * **برد:** تک‌عضوی است: $\{3\}$. **۳. تحلیل نمودار نقاط:** * **دامنه:** شامل ۵ عدد مشخص روی محور $x$ (طول نقاط). * **برد:** تک‌عضوی است (عرض تمام نقاط یکسان است). **ویژگی مشترک:** ویژگی اصلی و مشترک این توابع این است که **برد آن‌ها تنها یک عضو دارد**. به عبارت ساده‌تر، تمام اعضای دامنه به یک عضو واحد در مقصد وصل می‌شوند. در ریاضیات به این نوع توابع، **تابع ثابت** می‌گوییم.