ادامه حل تمرین صفحه 105 و 106 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 105 - تمرین 9 این تمرین مربوط به **تابع ثابت** است که خروجی آن به ورودی بستگی ندارد. **بخش الف:** در تابع ثابت $f(x) = -3$، خروجی برای هر ورودی همیشه $-3$ است. * $f(2) = -3$ * $f(100) = -3$ * $f(-5) = -3$ * $f(\sqrt{5}) = -3$ **بخش ب (دامنه $\mathbb{R}$):** نمودار یک **خط افقی ممتد** است که از عدد $-3$ روی محور $y$ می‌گذرد و از هر دو طرف تا بی‌نهایت ادامه دارد. **بخش پ (دامنه $[-2, 5]$):** نمودار محدود می‌شود. این بار یک **پاره‌خط افقی** داریم که از طول $x=-2$ شروع شده و در طول $x=5$ تمام می‌شود (هر دو انتها پر هستند).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 108 - تمرین 11 سلام به شما دانش‌آموزان عزیز! بیایید این جدول را با هم بررسی کنیم تا ببینیم آیا شرط اصلی **تابع** بودن را دارد یا خیر. **بررسی مفهوم تابع در جدول:** یک رابطه زمانی تابع است که به ازای هر **ورودی ($x$)**، دقیقاً **یک خروجی ($y$)** وجود داشته باشد. در این جدول: * به ازای $x=1$ خروجی $1$ است. * به ازای $x=2$ خروجی $4$ است. * به ازای $x=3$ خروجی $9$ است. * به ازای $x=4$ خروجی $15$ است. * به ازای $x=5$ خروجی $25$ است. * به ازای $x=6$ خروجی $36$ است. همان‌طور که می‌بینید، برای هر مقدار در سطر اول، فقط یک مقدار در سطر دوم تعریف شده است و هیچ ورودی ($x$) تکراری با خروجی‌های متفاوت نداریم. **پاسخ نهایی:** بله، این جدول یک **تابع** را نشان می‌دهد. **نکته آموزشی:** اگرچه اکثر اعداد این جدول مجذور کامل هستند (مثل $2^2=4$ یا $6^2=36$)، اما مقدار مقابل عدد $4$ به جای $16$ عدد $15$ نوشته شده است. این موضوع باعث نمی‌شود که رابطه تابع نباشد، بلکه فقط نشان می‌دهد که ضابطه این تابع لزوماً $y=x^2$ نیست. مهم این است که برای عدد $4$ فقط یک خروجی (یعنی $15$) داریم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 108 - تمرین 12 برای حل این سوال، باید رابطه‌ی بین زمان و مسافت طی شده را به زبان ریاضی بنویسیم. **تحلیل مسئله:** وقتی علی در **یک دقیقه** مسافت $0/1$ کیلومتر را می‌رود، پس: * در **۲ دقیقه**: $2 \times 0/1 = 0/2$ کیلومتر. * در **۳ دقیقه**: $3 \times 0/1 = 0/3$ کیلومتر. * در نتیجه در **$t$ دقیقه**: $t \times 0/1$ کیلومتر. این نوع رابطه که در آن با گذشت زمان، مقدار مسافت به صورت ضریبی افزایش می‌یابد، یک **رابطه مستقیم** است. **انتخاب گزینه صحیح:** عبارت جبری که این ضرب را نشان می‌دهد، $f(t) = 0/1t$ است. بنابراین **گزینه (ب)** پاسخ صحیح است. **نکته:** در این تابع، $0/1$ در واقع **سرعت** علی بر حسب کیلومتر بر دقیقه است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 108 - تمرین 13 در این تمرین یاد می‌گیریم که چگونه اطلاعات یک تابع را از فرم نمادین به فرم **زوج مرتب** و سپس **نمودار** تبدیل کنیم. **گام اول: نوشتن زوج‌های مرتب** هر عبارت به فرم $g(x)=y$ به زوج مرتب $(x, y)$ تبدیل می‌شود: * از $g(0) = 2$ زوج $(0, 2)$ به دست می‌آید. * از $g(1) = 5$ زوج $(1, 5)$ به دست می‌آید. * از $g(-2) = \frac{1}{3}$ زوج $(-2, \frac{1}{3})$ به دست می‌آید. * از $g(4) = 3$ زوج $(4, 3)$ به دست می‌آید. مجموعه تابع $g$ برابر است با: $$g = \{(-2, \frac{1}{3}), (0, 2), (1, 5), (4, 3)\}$$ **گام دوم: رسم نمودار** برای رسم نمودار، کافی است این ۴ نقطه را در دستگاه مختصات مشخص کنید: 1. نقطه ای با طول $0$ و عرض $2$ (روی محور عرض‌ها). 2. نقطه‌ای با طول $1$ و عرض $5$. 3. نقطه‌ای با طول $-2$ و عرض بسیار کم (یک سوم واحد). 4. نقطه‌ای با طول $4$ و عرض $3$. توجه داشته باشید که چون دامنه فقط همین ۴ عدد است، نقاط را به هم وصل نمی‌کنیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 108 - تمرین 14 این سوال یک کاربرد بسیار مهم از **توابع خطی** در علوم را نشان می‌دهد. **الف) تبدیل $-20$ سانتی‌گراد به فارنهایت:** مقدار $C = -20$ را در فرمول قرار می‌دهیم: $$F = \frac{9}{5}(-20) + 32 = 9(-4) + 32 = -36 + 32 = -4$$ پس $-20^\circ C$ معادل $-4^\circ F$ است. **ب) تبدیل $104$ فارنهایت به سانتی‌گراد:** مقدار $F = 104$ را در فرمول قرار داده و $C$ را پیدا می‌کنیم: $$104 = \frac{9}{5}C + 32 \Rightarrow 104 - 32 = \frac{9}{5}C \Rightarrow 72 = \frac{9}{5}C$$ $$C = 72 \times \frac{5}{9} = 8 \times 5 = 40$$ پس $104^\circ F$ معادل $40^\circ C$ است. **پ) معکوس کردن فرمول (سانتی‌گراد بر حسب فارنهایت):** باید $C$ را در یک طرف تساوی تنها کنیم: $$F - 32 = \frac{9}{5}C \Rightarrow C = \frac{5}{9}(F - 32)$$ **ت) بررسی نوع تابع:** بله، این یک **تابع خطی** است. چون متغیر $C$ دارای توان $1$ است و نمودار آن در دستگاه مختصات یک خط راست خواهد بود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 108 - تمرین 15 بیایید با استفاده از متغیرها، یک مدل ریاضی برای محیط مستطیل بسازیم. **گام اول: تعریف متغیرها** * عرض مستطیل را $x$ فرض می‌کنیم. * طبق صورت سوال، طول مستطیل ۳ واحد بیشتر است، پس طول برابر است با: $x + 3$. **گام دوم: نوشتن فرمول محیط** می‌دانیم محیط مستطیل ($P$) برابر است با: $2 \times (\text{طول} + \text{عرض})$ $$P(x) = 2 \times ( (x+3) + x )$$ **گام سوم: ساده‌سازی** $$P(x) = 2 \times (2x + 3) = 4x + 6$$ **نتیجه:** تابع محیط برحسب عرض به صورت $P(x) = 4x + 6$ می‌باشد. این یک **تابع خطی** است که با داشتن عرض، سریعاً محیط را به ما می‌دهد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 108 - تمرین 16 این یک سوال هوشمندانه است که تفاوت بین «مجموعه مقادیر» و «نحوه نسبت دادن» آن‌ها را نشان می‌دهد. **مثال پیشنهادی:** فرض کنید دامنه و برد هر دو تابع مجموعه $\{1, 2\}$ باشد. * **تابع اول ($f$):** هر عدد را به خودش نسبت دهد. $$f = \{(1, 1), (2, 2)\}$$ * **تابع دوم ($g$):** هر عدد را به عدد دیگر نسبت دهد. $$g = \{(1, 2), (2, 1)\}$$ **تحلیل مثال:** 1. **دامنه:** در هر دو تابع دامنه $\{1, 2\}$ است. 2. **برد:** در هر دو تابع برد $\{1, 2\}$ است. 3. **اشتراک:** این دو تابع هیچ زوج مرتب مشترکی ندارند (مثلاً در اولی $1$ به $1$ رفته ولی در دومی $1$ به $2$ رفته است). این نشان می‌دهد که حتی با دامنه و برد یکسان، رفتار تابع‌ها می‌تواند کاملاً متفاوت باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 108 - تمرین 17 در این تمرین باید نموداری بکشیم که در محدوده مشخصی از محور $x$ و $y$ قرار بگیرد. **تحلیل شرایط:** * **دامنه $[0, 2]$:** یعنی نمودار باید از نظر افقی بین $x=0$ و $x=2$ باشد. * **برد $[-2, 1]$:** یعنی نمودار باید از نظر عمودی بین پایین‌ترین نقطه ($y=-2$) و بالاترین نقطه ($y=1$) نوسان کند. (توجه: در صورت سوال به اشتباه $[1, -2]$ نوشته شده که طبق استاندارد بازه‌ها باید از عدد کوچک به بزرگ یعنی $[-2, 1]$ نوشته شود). **مثال برای رسم:** یک خط راست که نقطه $(0, 1)$ را به $(2, -2)$ وصل می‌کند، یکی از این توابع است. **تعداد توابع:** ما می‌توانیم **بی‌شمار** تابع با این ویژگی رسم کنیم. چون بین این دو محدوده، می‌توان خطوط شکسته، منحنی‌های مختلف یا الگوهای متفاوتی کشید که همگی در این دامنه و برد صدق کنند.