ادامه حل تمرین صفحه 105 و 106 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 105 - تمرین 4 بیایید این مسئله فیزیکی را به زبان ریاضی مدل‌سازی کنیم: **۱. محاسبه زمان خاموشی:** چون ارتفاع ۲۰ است و در هر ساعت ۴ واحد کم می‌شود، پس $20 \div 4 = 5$ ساعت طول می‌کشد تا شمع تمام شود. **۲. تشکیل جدول و ضابطه:** اگر $x$ زمان و $y$ ارتفاع باشد، رابطه به صورت $y = 20 - 4x$ است. * در ساعت $x=0$: ارتفاع ۲۰ است. * در ساعت $x=1$: ارتفاع ۱۶ است. * در ساعت $x=5$: ارتفاع ۰ است. **۳. نمودار:** نمودار یک **پاره‌خط** در ناحیه اول است که نقطه $(0, 20)$ را به $(5, 0)$ وصل می‌کند. **۴. چرا خطی است؟** زیرا تغییرات ارتفاع نسبت به زمان **ثابت** است (نرخ تغییر ثابت) و ضابطه آن به فرم کلی $y = ax + b$ می‌باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 105 - تمرین 5 این یک سوال کلیدی برای درک مفهوم آزمون خط عمودی است: * **خط $x = 2$:** **تابع نیست**. زیرا این یک خط کاملاً عمودی است. برای ورودی $x=2$، بی‌شمار خروجی (تمام مقادیر $y$) وجود دارد. این رابطه شرط «یک خروجی برای هر ورودی» را نقض می‌کند. * **خط $y = 5$:** **تابع است**. این یک خط افقی است. برای هر ورودی $x$، فقط یک خروجی (همیشه عدد ۵) داریم. این یک تابع ثابت است. * **نتیجه کلی:** در دستگاه مختصات، هر خطی که **عمودی نباشد**، نمایش‌دهنده یک تابع است. به عبارت دیگر، خطوطی که دارای شیب (تعریف شده) هستند، تابع می‌باشند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 105 - تمرین 6 وقتی دامنه مشخص است، ما می‌توانیم بی‌شمار ضابطه خطی متفاوت بنویسیم. تنها کافی است فرم $f(x) = ax + b$ را رعایت کنیم. **سه مثال:** ۱. $f(x) = x + 1, \quad x \in [-3, 5]$ ۲. $g(x) = -2x, \quad x \in [-3, 5]$ ۳. $h(x) = 4, \quad x \in [-3, 5]$ **تعداد توابع:** **بی‌شمار** تابع با این دامنه وجود دارد؛ چون می‌توانیم مقادیر $a$ (شیب) و $b$ (عرض از مبدأ) را به دلخواه از بین تمام اعداد حقیقی انتخاب کنیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 105 - تمرین 7 برای پیدا کردن ضابطه از روی نمودار، دو نقطه مشخص را انتخاب می‌کنیم. با توجه به تصویر، خط از نقاط $(0, 1)$ و $(2, 2)$ می‌گذرد. **گام ۱: محاسبه شیب ($a$):** $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{2 - 0} = \frac{1}{2}$$ **گام ۲: عرض از مبدأ ($b$):** چون خط در نقطه ۱ محور $y$ را قطع کرده است، پس $b = 1$. **گام ۳: ضابطه نهایی:** $$y = \frac{1}{2}x + 1$$ **مناسب‌ترین نمایش:** در اینجا **نمایش جبری (معادله)** و **نمودار مختصاتی** بهترین گزینه‌ها هستند؛ زیرا دامنه اعداد حقیقی است و نمی‌توان تمام نقاط را در جدول یا زوج مرتب لیست کرد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 105 - تمرین 8 بیایید رابطه‌ی بین عمق زمین و حرارت را تحلیل کنیم: **الف) چرا تابع است؟** چون به هر عمق مشخص، دقیقاً یک دمای واحد نسبت داده شده است. **ب) پیدا کردن معادله:** اختلاف دماها را چک می‌کنیم: $90-55=35$ و $125-90=35$. چون تغییرات ثابت است، تابع خطی با شیب $a=35$ داریم. با استفاده از نقطه $(1, 55)$: $55 = 35(1) + b \Rightarrow b = 20$ **معادله:** $T = 35d + 20$ (که $T$ دما و $d$ عمق است). **پ) دمای در عمق ۱۰ کیلومتری:** کافی است $d=10$ را در معادله قرار دهیم: $T = 35(10) + 20 = 350 + 20 = 370$ درجه سانتی‌گراد.