ریاضی نهم صفحه 143 - تمرین 1
1- حجم و سطح کل شکلهای زیر را پیدا و با هم مقایسه کنید.
- مکعب به ضلع a
- کره به شعاع a
- استوانه به ارتفاع و شعاع قاعده a
- استوانه به ارتفاع a و قطر قاعده a
در هر مورد، نسبت حجم به سطح ($$\frac{V}{S}$$) را به دست آورید. در کدام شکل این نسبت بزرگتر است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 143 - تمرین 1
سلام به شما دانشآموزان عزیز! در این تمرین میخواهیم ویژگیهای هندسی چهار شکل مختلف را با استفاده از متغیر **a** بررسی کنیم. این کار به ما کمک میکند تا بفهمیم ابعاد مشابه در شکلهای مختلف چگونه روی حجم و مساحت اثر میگذارند.
**1. مکعب به ضلع a:**
- **حجم ($$V$$):** $$a \times a \times a = a^3$$
- **مساحت کل ($$S$$):** $$6 \times (a \times a) = 6a^2$$
- **نسبت $$\frac{V}{S}$$:** $$\frac{a^3}{6a^2} = \frac{a}{6}$$
**2. کره به شعاع a:**
- **حجم ($$V$$):** $$\frac{4}{3}\pi a^3$$
- **مساحت کل ($$S$$):** $$4\pi a^2$$
- **نسبت $$\frac{V}{S}$$:** $$\frac{\frac{4}{3}\pi a^3}{4\pi a^2} = \frac{a}{3}$$
**3. استوانه به ارتفاع a و شعاع قاعده a:**
- **حجم ($$V$$):** مساحت قاعده ($$\pi a^2$$) در ارتفاع ($$a$$) = $$\pi a^3$$
- **مساحت کل ($$S$$):** دو قاعده ($$2\pi a^2$$) + بدنه جانبی ($$2\pi a \times a$$) = $$4\pi a^2$$
- **نسبت $$\frac{V}{S}$$:** $$\frac{\pi a^3}{4\pi a^2} = \frac{a}{4}$$
**4. استوانه به ارتفاع a و قطر قاعده a (شعاع $$0.5a$$):**
- **حجم ($$V$$):** $$\pi (0.5a)^2 \times a = 0.25\pi a^3$$
- **مساحت کل ($$S$$):** $$2\pi (0.25a^2) + 2\pi (0.5a)(a) = 0.5\pi a^2 + \pi a^2 = 1.5\pi a^2$$
- **نسبت $$\frac{V}{S}$$:** $$\frac{0.25\pi a^3}{1.5\pi a^2} = \frac{0.25a}{1.5} = \frac{a}{6}$$
**مقایسه نهایی:**
با مقایسه کسرها ($$\frac{a}{6}, \frac{a}{3}, \frac{a}{4}, \frac{a}{6}$$)، میبینیم که کسر **$$\frac{a}{3}$$** بزرگترین مقدار را دارد. بنابراین در **کره به شعاع a**، نسبت حجم به سطح از بقیه شکلها بزرگتر است.
ریاضی نهم صفحه 143 - تمرین 2
2- از یک مقوا به ضلع a گوشههای مربع شکل به ضلع x را بریده و با سطح باقیمانده یک جعبه مکعب مستطیل شکل درست کردهایم. چه رابطهای باید بین a و x باشد تا بتوان چهار کره را به شعاع x داخل این جعبه جای داد به طوری که هر کره به کرهٔ مجاورش و به دیوارهٔ جعبه مماس باشد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه 143 - تمرین 2
این یک مسئله ترکیبی زیبا از ساخت جعبه و هندسه کرههاست. بیایید مرحله به مرحله پیش برویم.
**گام 1: تحلیل ابعاد جعبه ساخته شده**
وقتی از یک مقوای مربع به ضلع **a**، چهار مربع به ضلع **x** از گوشهها میبریم، ابعاد کف جعبه و ارتفاع آن به این صورت میشود:
- **طول کف:** $$a - 2x$$
- **عرض کف:** $$a - 2x$$
- **ارتفاع جعبه:** $$x$$
**گام 2: تحلیل فضای مورد نیاز برای 4 کره**
ما میخواهیم 4 کره به شعاع **x** را داخل این جعبه قرار دهیم. دقت کنید که قطر هر کره **2x** است. برای اینکه 4 کره به صورت 2 در 2 در کف جعبه جا بگیرند و به هم مماس باشند:
- **طول مورد نیاز در کف:** حاصلجمع دو قطر کره، یعنی $$2x + 2x = 4x$$
- **عرض مورد نیاز در کف:** مشابه طول، یعنی $$4x$$
- **ارتفاع مورد نیاز:** ارتفاع جعبه باید حداقل برابر قطر کره باشد، یعنی **2x**. اما ارتفاع جعبه ما طبق ساختار مقوا **x** است.
**نکته کلیدی:** اگر بخواهیم کرهها کاملاً داخل جعبه باشند، ارتفاع جعبه باید **2x** باشد، اما سوال بر مماس بودن در کف و دیواره تاکید دارد. بنابراین ابعاد کف جعبه ($$a - 2x$$) باید برابر با فضای اشغال شده توسط دو کره در کنار هم باشد:
$$a - 2x = 4x$$
**گام 3: یافتن رابطه نهایی**
با ساده کردن معادله بالا:
$$a = 4x + 2x$$
$$a = 6x$$
بنابراین رابطه باید **$$a = 6x$$** باشد تا این شرایط برقرار شود.
